G denklemi - G equation

İçinde Yanma, G denklemi skalerdir ${ displaystyle G ( mathbf {x}, t)}$ tarafından sunulan anlık alev konumunu tanımlayan alan denklemi Forman A. Williams 1985'te^[1][2] önceden karıştırılmış türbülanslı yanma çalışmasında. Denklem aşağıdakilere göre türetilmiştir: Seviye belirleme yöntemi. Denklem incelendi George H. Markstein daha önce, kısıtlayıcı bir biçimde.^[3][4]

Matematiksel açıklama^[5][6]

G denklemi şu şekilde okunur

${ displaystyle { frac { kısmi G} { kısmi t}} + mathbf {v} cdot nabla G = U_ {L} | nabla G |}$

nerede

• ${ displaystyle mathbf {v}}$ akış hızı alanı
• ${ displaystyle U_ {L}}$ yerel yanma hızı

Alev konumu şu şekilde verilir: ${ displaystyle G ( mathbf {x}, t) = G_ {o}}$ keyfi olarak tanımlanabilen ${ displaystyle G ( mathbf {x}, t)> G_ {o}}$ yanmış gaz bölgesidir ve ${ displaystyle G ( mathbf {x}, t)$ yanmamış gaz bölgesidir. Alevin normal vektörü ${ displaystyle mathbf {n} = - nabla G / | nabla G |}$.

Yerel yanma hızı

Yanma hızı gerilmiş alev küçük eğrilik ve küçük gerilme için, gerilmemiş alev hızından uygun terimlerin çıkarılmasıyla elde edilebilir.

${ displaystyle U_ {L} = S_ {L} -S_ {L} { mathcal {L}} kappa - { mathcal {L}} S}$

nerede

• ${ displaystyle S_ {L}}$ yanma hızı gerilmemiş alev
• ${ displaystyle S = - mathbf {n} cdot nabla mathbf {v} cdot mathbf {n}}$ empoze edilen karşılık gelen terimdir gerilme oranı akış alanı nedeniyle alevde
• ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ ... Markstein uzunluğu laminer alev kalınlığıyla orantılı ${ displaystyle delta _ {L}}$orantılılık sabiti Markstein numarası ${ displaystyle { mathcal {M}}}$
• ${ displaystyle kappa = nabla cdot mathbf {n} = - { frac { nabla ^ {2} G- mathbf {n} cdot nabla ( mathbf {n} cdot nabla G) } {| nabla G |}}}$ alev eğriliği olup, alev cephesi yanmamış karışıma göre dışbükey ise pozitiftir ve bunun tersi de geçerlidir.

Basit bir örnek - Slot yazıcı

G denklemi, basit bir yuva yazıcı için kesin bir ifadeye sahiptir. Yuva genişliğine sahip iki boyutlu düzlemsel bir yuva brülörü düşünün ${ displaystyle b}$ önceden karıştırılmış bir reaktan karışımı ile, sabit hızla yuvadan beslenir ${ displaystyle mathbf {v} = (0, U)}$koordinat nerede ${ displaystyle (x, y)}$ öyle seçildi ki ${ displaystyle x = 0}$ yuvanın merkezinde yer alır ve ${ displaystyle y = 0}$ yuvanın ağzının yerinde yatıyor. Karışım tutuşturulduğunda yuvanın ağzından belli bir yüksekliğe kadar alev oluşur. ${ displaystyle y = L}$ koni açılı düzlemsel konik şekilli ${ displaystyle alpha}$. Sabit durumda, G denklemi,

${ displaystyle U { frac { kısmi G} { kısmi y}} = U_ {L} { sqrt { sol ({ frac { kısmi G} { kısmi x}} sağ) ^ {2 } + left ({ frac { kısmi G} { kısmi y}} sağ) ^ {2}}}}$

Formun ayrılması ${ displaystyle G (x, y) = y + f (x)}$ girilir, denklem olur

${ displaystyle U = U_ {L} { sqrt {1+ sol ({ frac { kısmi f} { kısmi x}} sağ) ^ {2}}}, quad { text {veya} } quad { frac { kısmi f} { kısmi x}} = { frac { sqrt {U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}}} {U_ {L}}}}$

entegrasyon üzerine verir

${ displaystyle f (x) = { frac {(U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}) ^ {1/2}} {U_ {L}}} | x | + C, quad Rightarrow quad G (x, y) = { frac {(U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}) ^ {1/2}} {U_ {L}}} | x | + y + C}$

Genellik kaybı olmadan, bulunulacak alev konumunu seçin ${ displaystyle G (x, y) = G_ {o} = 0}$. Alev yuvanın ağzına tutturulduğundan ${ displaystyle | x | = b / 2, y = 0}$, sınır koşulu ${ displaystyle G (b / 2,0) = 0}$sabiti değerlendirmek için kullanılabilir ${ displaystyle C}$. Böylece skaler alan

${ displaystyle G (x, y) = { frac {(U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}) ^ {1/2}} {U_ {L}}} sol (| x | - { frac {b} {2}} sağ) + y}$

Alev ucunda, biz var ${ displaystyle x = 0, y = L, G = 0}$alev yüksekliği şu şekilde kolayca belirlenir

${ displaystyle L = { frac {b (U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}) ^ {1/2}} {2U_ {L}}}}$

ve alev açısı ${ displaystyle alpha}$ tarafından verilir

${ displaystyle tan alpha = { frac {b / 2} {L}} = { frac {U_ {L}} {(U ^ {2} -U_ {L} ^ {2}) ^ {2 }}}}$

Kullanmak trigonometrik kimlik ${ displaystyle tan ^ {2} alpha = sin ^ {2} alpha / (1- sin ^ {2} alpha)}$, sahibiz

${ displaystyle sin alpha = { frac {U_ {L}} {U}}}$

Referanslar