Genelleştirilmiş kuvvetler - Generalized forces

Genelleştirilmiş kuvvetler kullanım bulmak Lagrange mekaniği eşlenik bir rol oynadıkları yer genelleştirilmiş koordinatlar. Uygulanan kuvvetlerden elde edilirler, F_ben, i = 1, ..., n, bir sistemi yapılandırması açısından tanımlanmış olan genelleştirilmiş koordinatlar. Formülasyonunda sanal çalışma, her bir genelleştirilmiş kuvvet, genelleştirilmiş bir koordinatın değişim katsayısıdır.

Sanal çalışma

Genelleştirilmiş kuvvetler, hesaplamadan elde edilebilir. sanal çalışma, uygulanan kuvvetlerin δW.^[1]:265

Kuvvetlerin sanal çalışması, F_ben, P parçacıklarına etki eden_ben, i = 1, ..., n, tarafından verilir

${displaystyle delta W = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot delta mathbf {r} _ {i}}$

nerede δr_ben ... sanal yer değiştirme P parçacığı_ben.

Genelleştirilmiş koordinatlar

Parçacıkların her birinin konum vektörlerini alalım, r_ben, genelleştirilmiş koordinatların bir fonksiyonu olmak, q_j, j = 1, ..., m. Sonra sanal yer değiştirmeler δr_ben tarafından verilir

${displaystyle delta mathbf {r} _ {i} = toplam _ {j = 1} ^ {m} {frac {kısmi mathbf {r} _ {i}} {kısmi q_ {j}}} delta q_ {j}, dörtlü i = 1, ldots, n,}$

nerede δq_j genelleştirilmiş koordinat q'nun sanal yer değiştirmesidir_j.

Parçacık sistemi için sanal çalışma,

${displaystyle delta W = mathbf {F} _ {1} cdot sum _ {j = 1} ^ {m} {frac {kısmi mathbf {r} _ {1}} {kısmi q_ {j}}} delta q_ {j } + ldots + mathbf {F} _ {n} cdot sum _ {j = 1} ^ {m} {frac {kısmi mathbf {r} _ {n}} {kısmi q_ {j}}} delta q_ {j} .}$

Δq katsayılarını toplayın_j Böylece

${displaystyle delta W = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {kısmi mathbf {r} _ {i}} {kısmi q_ {1}}} delta q_ {1 } + ldots + toplam _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {kısmi mathbf {r} _ {i}} {kısmi q_ {m}}} delta q_ {m} .}$

Genelleştirilmiş kuvvetler

Bir parçacık sisteminin sanal çalışması formda yazılabilir

${displaystyle delta W = Q_ {1} delta q_ {1} + ldots + Q_ {m} delta q_ {m},}$

nerede

${displaystyle Q_ {j} = toplam _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {kısmi mathbf {r} _ {i}} {kısmi q_ {j}}}, dörtlü j = 1, ldots, m,}$

genelleştirilmiş koordinatlarla ilişkili genelleştirilmiş kuvvetler denir q_j, j = 1, ..., m.

Hız formülasyonu

Sanal çalışma prensibinin uygulanmasında, genellikle sistemin hızlarından sanal yer değiştirmeler elde etmek uygundur. N parçacıklı sistem için, her parçacığın hızı P_ben olmak V_ben, sonra sanal yer değiştirme δr_ben formda da yazılabilir^[2]

${displaystyle delta mathbf {r} _ {i} = toplam _ {j = 1} ^ {m} {frac {kısmi mathbf {V} _ {i}} {kısmi {nokta {q}} _ {j}}} delta q_ {j}, dörtlü i = 1, ldots, n.}$

Bu, genelleştirilmiş kuvvetin, Q_jolarak da belirlenebilir

${displaystyle Q_ {j} = toplam _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot {frac {kısmi mathbf {V} _ {i}} {kısmi {nokta {q}} _ { j}}}, dörtlü j = 1, ldots, m.}$

D'Alembert ilkesi

D'Alembert, bir parçacığın dinamiklerini, uygulanan kuvvetlerin bir eylemsizlik kuvveti ile dengesi olarak formüle etmiştir (görünen kuvvet ), aranan D'Alembert ilkesi. Bir parçacığın atalet kuvveti, P_ben, m kütlesi_ben dır-dir

${displaystyle mathbf {F} _ {i} ^ {*} = - m_ {i} mathbf {A} _ {i}, dörtlü i = 1, ldots, n,}$

nerede Bir_ben parçacığın ivmesidir.

Parçacık sisteminin konfigürasyonu genelleştirilmiş koordinatlara bağlıysa q_j, j = 1, ..., m, sonra genelleştirilmiş atalet kuvveti ile verilir

${displaystyle Q_ {j} ^ {*} = toplam _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} ^ {*} cdot {frac {kısmi mathbf {V} _ {i}} {kısmi {nokta {q}} _ {j}}}, dörtlü j = 1, ldots, m.}$

D'Alembert'in sanal iş getirisi ilkesi biçimi

${displaystyle delta W = (Q_ {1} + Q_ {1} ^ {*}) delta q_ {1} + ldots + (Q_ {m} + Q_ {m} ^ {*}) delta q_ {m}.}$

Referanslar

Ayrıca bakınız

• Lagrange mekaniği
• Genelleştirilmiş koordinatlar
• Serbestlik derecesi (fizik ve kimya)
• Sanal çalışma