Cins teorisi - Genus theory

Matematiksel olarak oyun teorisi, cins teorisi içinde tarafsız oyunlar bazı oyunların altında oynadığı bir teoridir. misère oyun konvansiyonu analiz edilebilir. sonuç oyun sınıfı.

Cins teorisi ilk olarak kitapta yayınlandı Sayılar ve Oyunlar Hakkında ve daha sonra Matematik Oyunlarınız için Kazanma Yolları Cilt 2.

Aksine Sprague-Grundy teorisi normal oyun tarafsız oyunlar için, cins teorisi, yanlış oyun tarafsız oyunlar için eksiksiz bir teori değildir.

Bir oyunun cinsi

Bir oyunun cinsi, mex (minimum hariç) bir oyunun seçeneklerinden.

g + grundy değeridir veya nimber normal oyun kuralına göre bir oyunun.

g- veya λ0 misère play geleneği altındaki bir oyunun sonuç sınıfıdır.

Daha spesifik olarak, g + 'yı bulmak için * 0, g + = 0 olacak şekilde tanımlanır ve diğer tüm oyunlar, seçeneklerinin mex'ine eşit g +' ya sahiptir.

G−'yi bulmak için, * 0'ın g− = 1'i vardır ve diğer tüm oyunların g− değeri, seçeneklerinin g−'unun meksine eşittir.

λ1, λ2..., sayının alt simgeye eşit olduğu * 2 nim oyunlarının sayısına eklenen bir oyunun g− değerine eşittir.

Böylece bir oyunun cinsi gλ0λ1λ2....

* 0, 0 cinsine sahiptir120. Üst simgenin sonsuza kadar devam ettiğini unutmayın, ancak pratikte, bir üst simge sonlu sayıda basamakla yazılır, çünkü sonunda, son 2 basamağın sonsuza kadar değiştiği kanıtlanabilir ...

Toplam oyunların sonuçları

Aşağıdakilerin sonucunu tahmin etmek için kullanılabilir:

  • Herhangi bir nimber ve herhangi bir evcil oyun toplamı
  • Cinsine verilen herhangi bir oyunun toplamı, herhangi bir sayıda nim oyunu * 1, * 2 veya * 3 ve isteğe bağlı olarak nimber 4 veya daha yüksek bir başka nim oyunu
  • Bir restive oyunun ve herhangi bir boyuttaki herhangi bir sayıda nim oyununun toplamı

Ek olarak, bazı huzursuz veya huzursuz çiftler, eğer eşdeğerlerse, evcil oyunlar oluşturabilir. Aynı seçeneklere sahiplerse iki oyun eşdeğerdir, burada aynı seçenekler eşdeğer oyunlara seçenekler olarak tanımlanır. Tersine çevrilebilir bir hareketin olduğu bir seçeneğin eklenmesi, eşdeğerliği etkilemez.

Bazı huzursuz çiftler, aynı türden başka bir dinlendirici oyuna eklendiğinde hala evcildir.

Kendisine eklenen yarı evcil bir oyun * 0'a eşdeğerdir.

Tersinir hareketler

Tersine çevrilebilir hareketlerin nasıl çalıştığını bilmek, Genus teorisinin daha iyi anlaşılması için önemlidir. A ve B'nin aynı seçeneklere sahip olduğu (hamleler mevcut) iki A ve B oyunu olduğunu varsayalım, o zaman bunlar elbette eşdeğerdir.

Eğer B'nin fazladan bir seçeneği varsa, mesela bir X oyunu için, o zaman A ve B, X'ten A'ya bir hareket varsa, hala eşdeğerdir.

Yani, tersine çevrilebilen fazladan bir hareket (X) dışında, B her yönden A ile aynıdır.

Oyun türleri

Farklı oyunlar (pozisyonlar) birkaç türe ayrılabilir:

  • Nim
  • Ehlileştirmek
  • Dinlendirici
  • Huzursuz
  • Yarı evcil
  • Vahşi

Nim

Bu, bir pozisyonun tam olarak yanlış oyun sözleşmesine göre bir nim yığını olduğu anlamına gelmez, ancak bir oyunu nim olarak sınıflandırmak, bir nim yığınına eşdeğer olduğu anlamına gelir.

Oyun, aşağıdaki durumlarda nim oyunudur:

  • bir cinsi var 01, 10, 22, 33...
  • yalnızca tek nim yığınlarına hareket eder, yani * 1 veya * 2 konumuna hareket eder, ancak örn. * x + * y (ancak bir sonraki noktaya bakın)
  • aynı türden bir nim oyunu için en az bir seçeneğe sahip olması koşuluyla, nim olmayan oyunlara hamleler de olabilir.

Ehlileştirmek

Bunlar, nim konumlarmış gibi davranabileceğimiz konumlardır (birçok nim yığın eklenebilen nim konumları ile yalnızca 1 nim yığın olabilen tek bir nim öbeği arasındaki farka dikkat edin). Aşağıdaki durumlarda G oyunu uysaldır:

  • bir cinsi var 01, 10veya 00, 11, 22, 33...
  • G'nin tüm seçenekleri uysal
  • G, cinsi etkilemiyorlarsa vahşi seçeneklere (ehlileştirilmiş veya nim olmayan konumlar) sahip olabilir ve her seçenek, g cinsi ile oyunları evcilleştirmek için tersine çevrilebilir hareketlere sahip olabilir.? ve ?λ.

G'ye yapılan hareketlere dikkat edin? ve ?λ aslında aynı seçenek olabilir. ? herhangi bir sayı anlamına gelir.

Ayrıca bakınız

Referanslar