Altın sarmal - Golden spiral

Altın spiraller kendine benzeyen. Şekil, büyütüldüğünde sonsuz olarak tekrarlanır.

İçinde geometri, bir altın sarmal bir logaritmik sarmal kimin büyüme faktörü $φ$ , altın Oran.^[1] Yani, altın sarmal bir faktör kadar genişler (veya kökeninden uzaklaşır). $φ$ yaptığı her çeyrek dönüş için.

Altın sarmalın yaklaşımları

Yaklaşık ve gerçek altın spiraller: yeşil spiral, her karenin iç kısmına teğet olan çeyrek dairelerden yapılır. kırmızı spiral, altın bir spiraldir, özel bir tür logaritmik sarmal. Örtüşen kısımlar görünüyor Sarı. Daha büyük bir karenin kenarının bir sonraki küçük kareye olan uzunluğu altın Oran. Yan uzunluğu olan bir kare için 1, sonraki küçük kare 1 / φ geniş. Bir sonraki genişlik 1 / φ², sonra 1 / φ³, ve benzeri.

Altın spirale yaklaşan, ancak tam olarak eşit olmayan birkaç benzer spiral vardır.^[2]

Örneğin, bir altın sarmal, ilk önce uzunluğu ile genişliği arasındaki oranın altın oran olduğu bir dikdörtgenle başlayarak yaklaştırılabilir. Bu dikdörtgen daha sonra bir kareye ve benzer bir dikdörtgene bölünebilir ve bu en yeni dikdörtgen daha sonra aynı şekilde bölünebilir. Bu işleme rastgele sayıda adım için devam ettikten sonra, sonuç dikdörtgenin neredeyse tamamen karelere bölünmesi olacaktır. Bu karelerin köşeleri çeyrek daireler ile birleştirilebilir. Sonuç, gerçek bir logaritmik sarmal olmasa da, altın spirale çok yakın.^[2]

Başka bir yaklaşım da Fibonacci sarmal, biraz farklı bir şekilde inşa edilmiştir. Bir Fibonacci spirali, 2 kareye bölünmüş bir dikdörtgenle başlar. Her adımda, dikdörtgenin en uzun kenarının uzunluğuna sahip bir kare dikdörtgene eklenir. Ardışık Fibonacci sayıları arasındaki oran, altın Oran Fibonacci sayıları sonsuza yaklaştıkça, bu spiral de önceki yaklaşıma daha çok benziyor, resimde gösterildiği gibi daha fazla kare ekleniyor.

Doğada sarmallar

Yaklaşık logaritmik spiraller doğada meydana gelebilir, örneğin sarmal galaksiler^[3] - altın spiraller, bu logaritmik spirallerin özel bir durumudur, ancak bu durumun ortaya çıkmasına yönelik herhangi bir genel eğilim olduğuna dair hiçbir kanıt yoktur. Filotaksis altın oranla bağlantılıdır, çünkü birbirini izleyen yaprakları veya yaprakları altın açı; yine hiçbiri (zorunlu olarak) altın spiraller olmamasına rağmen, spirallerin ortaya çıkmasına da neden olur. Bazen sarmal galaksilerin ve Nautilus kabuklar altın sarmal modelinde genişler ve bu nedenle her ikisiyle de ilişkilidir. $φ$ ve Fibonacci serisi.^[4]Gerçekte, sarmal galaksiler ve nautilus kabukları (ve birçok yumuşakça kabukları) logaritmik sarmal büyüme sergiler, ancak çeşitli açılarda genellikle altın sarmalınkinden belirgin şekilde farklıdır.^[5]^[6]^[7] Bu kalıp, organizmanın şekil değiştirmeden büyümesine izin verir.^{[kaynak belirtilmeli ]}

Matematik

Bir Fibonacci spirali, altın spirali, aşağıdaki şekillerden türetilen karelere yazılmış çeyrek daire yayları kullanarak yaklaştırır. Fibonacci Dizisi.

İlk yarıçapı 1 olan altın spiral, kutupsal koordinatların noktalarının yeridir. ${ displaystyle (r, theta)}$ doyurucu

{ displaystyle r = varphi ^ { theta { frac {2} { pi}}} ,}

kutupsal denklem altın spiral için diğeriyle aynıdır logaritmik spiraller, ancak büyüme faktörünün özel bir değeri ile $b$ :^[8]

{ displaystyle r = ae ^ {b theta} ,}

veya

{ displaystyle theta = { frac {1} {b}} ln (r / a),}

ile $e$ temeli olmak doğal logaritmalar, $a$ spiralin başlangıç yarıçapı olmak ve $b$ öyle ki ne zaman $θ$ bir dik açı (her iki yönde de çeyrek dönüş):

{ displaystyle e ^ {b theta _ { mathrm {sağ}}} , = varphi}

Bu nedenle, $b$ tarafından verilir

{ displaystyle b = { ln { varphi} over theta _ { mathrm {sağ}}}.}

Lucas spiral, terimleri büyük olduğunda, ancak küçük olduklarında altın sarmala yaklaşır. 2'den 76'ya kadar 10 terim dahildir.

Sayısal değeri $b$ dik açının 90 derece olarak mı ölçüldüğüne bağlıdır. ${ displaystyle textstyle { frac { pi} {2}}}$ radyan; ve açı her iki yönde de olabileceğinden, en kolayı mutlak değer formülünü yazmaktır. ${ displaystyle b}$ (yani, $b$ bu değerin negatifi de olabilir):

{ displaystyle | b | = { ln { varphi} 90'dan fazla} doteq 0.0053468 ,}

için

θ

derece cinsinden;

{ displaystyle | b | = { ln { varphi} üzerinde pi / 2} doteq 0.3063489 ,}

için

θ

radyan cinsinden. OEIS: A212225

Logaritmik ve altın sarmal için alternatif bir formül şudur:^[9]

{ displaystyle r = ac ^ { theta} ,}

sabit nerede $c$ tarafından verilir:

{ displaystyle c = e ^ {b} ,}

altın sarmal için $c$ değerleri:

{ displaystyle c = varphi ^ { frac {1} {90}} doteq 1.0053611}

Eğer $θ$ derece cinsinden ölçülür ve

{ displaystyle c = varphi ^ { frac {2} { pi}} doteq 1.358456.}

OEIS: A212224

Eğer $θ$ radyan cinsinden ölçülür.

Logaritmik spiraller ile ilgili olarak, altın spiral, argümanlara ait dört eşdoğrusal spiral nokta A, B, C, D için ayırt edici özelliğe sahiptir. $θ$ , $θ + π$ , $θ + 2π$ , $θ + 3π$ C noktası yansıtmalı harmonik eşlenik B'nin A, D'ye göre, yani çapraz oran (A, D; B, C) −1 tekil değerine sahiptir. Altın spiral, (A, D; B, C) = (A, D; C, B) olan tek logaritmik spiraldir.

Polar eğim

Eğim açısı ve sektörünün tanımı

İçinde kutupsal denklem için logaritmik sarmal:

{ displaystyle r = ae ^ {b theta} ,}

parametre $b$ polar eğim açısı ile ilgilidir ${ displaystyle alpha}$ :

{ displaystyle tan alpha = b}

.

Altın bir sarmalda ${ displaystyle b}$ sabit ve eşit ${ displaystyle | b | = { ln { varphi} üzerinde pi / 2}}$ (için $θ$ radyan cinsinden, yukarıda tanımlandığı gibi), eğim açısı ${ displaystyle alpha}$ dır-dir: