Dönme tensörü - Gyration tensor

İçinde fizik, dönme tensörü bir tensör bu ikinciyi tanımlar anlar bir koleksiyonun konumu parçacıklar

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {1} {N}} toplam _ {i = 1} ^ {N} r_ {m} ^ {(i)} r_ { n} ^ {(i)}}$

nerede ${displaystyle r_ {m} ^ {(i)}}$ ... ${displaystyle mathrm {m ^ {th}}}$ Kartezyen koordinat pozisyonun vektör ${displaystyle mathbf {r} ^ {(i)}}$ of ${displaystyle mathrm {i ^ {th}}}$ parçacık. Menşei of koordinat sistemi öyle seçildi ki

${displaystyle toplamı _ {i = 1} ^ {N} mathbf {r} ^ {(i)} = 0}$

yani sisteminde kütle merkezi ${displaystyle r_ {CM}}$. Nerede

${displaystyle r_ {CM} = {frac {1} {N}} toplam _ {i = 1} ^ {N} mathbf {r} ^ {(i)}}$

Matematiksel olarak aynı olan ancak alternatif bir hesaplama yöntemi sunan başka bir tanım şudur:

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {1} {2N ^ {2}}} toplam _ {i = 1} ^ {N} toplam _ {j = 1} ^ {N} (r_ {m} ^ {(i)} - r_ {m} ^ {(j)}) (r_ {n} ^ {(i)} - r_ {n} ^ {(j)})}$

Bu nedenle, Kartezyen koordinatlarındaki parçacıklar için dönme tensörünün x-y bileşeni şöyle olacaktır:

${displaystyle S_ {xy} = {frac {1} {2N ^ {2}}} toplamı _ {i = 1} ^ {N} toplamı _ {j = 1} ^ {N} (x_ {i} -x_ { j}) (y_ {i} -y_ {j})}$

Süreklilik sınırında,

${displaystyle S_ {mn} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {dfrac {int dmathbf {r} ho (mathbf {r}) r_ {m} r_ {n}} {int dmathbf {r} ho ( mathbf {r})}}}$

nerede ${displaystyle ho (mathbf {r})}$ konumdaki parçacıkların sayı yoğunluğunu temsil eder ${displaystyle mathbf {r}}$.

Farklı birimlere sahip olmalarına rağmen, dönme tensörü, eylemsizlik momenti tensörü. Temel fark, parçacık konumlarının ağırlıklandırılmasıdır. kitle eylemsizlik tensöründe dönme tensörü sadece partikül pozisyonlarına bağlıdır; kütle dönme tensörünü tanımlamada hiçbir rol oynamaz.

Köşegenleştirme

Dönme tensörü simetrik bir 3x3 olduğundan matris, bir Kartezyen koordinat sistemi diyagonal olduğu bulunabilir

${displaystyle mathbf {S} = {egin {bmatrix} lambda _ {x} ^ {2} & 0 & 0 0 & lambda _ {y} ^ {2} & 0 0 & 0 & lambda _ {z} ^ {2} end {bmatrix}}}$

eksenlerin, köşegen elemanların sıralanacağı şekilde seçildiği yer ${displaystyle lambda _ {x} ^ {2} leq lambda _ {y} ^ {2} leq lambda _ {z} ^ {2}}$. Bu çapraz elemanlara ana anlar dönme tensörünün.

Şekil tanımlayıcıları

Temel momentler, parçacıkların dağılımını tanımlayan birkaç parametre verecek şekilde birleştirilebilir. Kare dönme yarıçapı ana anların toplamıdır

${displaystyle R_ {g} ^ {2} = lambda _ {x} ^ {2} + lambda _ {y} ^ {2} + lambda _ {z} ^ {2}}$

asferiklik ${displaystyle b}$ tarafından tanımlanır

${displaystyle b {stackrel {mathrm {def}} {=}} lambda _ {z} ^ {2} - {frac {1} {2}} sol (lambda _ {x} ^ {2} + lambda _ {y } ^ {2} ight) = {frac {3} {2}} lambda _ {z} ^ {2} - {frac {R_ {g} ^ {2}} {2}}}$

bu her zaman negatif değildir ve yalnızca üç ana moment eşit olduğunda sıfırdır, λ_x = λ_y = λ_z. Bu sıfır koşulu, parçacıkların dağılımı küresel olarak simetrik olduğunda karşılanır (dolayısıyla adı asferiklik) ama aynı zamanda, parçacık dağılımı üç koordinat eksenine göre simetrik olduğunda, örneğin, parçacıklar bir küp, dörtyüzlü veya diğeri Platonik katı.

Benzer şekilde, asilindriklik ${displaystyle c}$ tarafından tanımlanır

${displaystyle c {stackrel {mathrm {def}} {=}} lambda _ {y} ^ {2} -lambda _ {x} ^ {2}}$

her zaman negatif olmayan ve yalnızca iki ana moment eşit olduğunda sıfır olan, λ_x = λ_yBu sıfır koşulu, parçacıkların dağılımı silindirik olarak simetrik olduğunda karşılanır (dolayısıyla adı, asilindriklik), ama aynı zamanda, parçacık dağılımı iki koordinat eksenine göre simetrik olduğunda, örneğin, parçacıklar bir düzenli prizma.

Son olarak, göreli şekil anizotropisi ${displaystyle kappa ^ {2}}$ tanımlanmış

${displaystyle kappa ^ {2} {stackrel {mathrm {def}} {=}} {frac {b ^ {2} + (3/4) c ^ {2}} {R_ {g} ^ {4}}} = {frac {3} {2}} {frac {lambda _ {x} ^ {4} + lambda _ {y} ^ {4} + lambda _ {z} ^ {4}} {(lambda _ {x} ^ {2} + lambda _ {y} ^ {2} + lambda _ {z} ^ {2}) ^ {2}}} - {frac {1} {2}}}$

sıfır ile bir arasında sınırlandırılmıştır. ${displaystyle kappa ^ {2}}$ = 0 yalnızca tüm noktalar küresel olarak simetrikse oluşur ve ${displaystyle kappa ^ {2}}$ = 1 yalnızca tüm noktalar bir doğru üzerindeyse oluşur.

Referanslar

• Mattice, WL; Suter, UW (1994). Büyük Moleküllerin Konformasyonel Teorisi. Wiley Interscience. ISBN  0-471-84338-5.
• Theodorou, DN; Suter, UW (1985). "Perdahsız Doğrusal Polimerlerin Şekli: Polipropilen". Makro moleküller. 18 (6): 1206–1214. Bibcode:1985MaMol. 18.1206T. doi:10.1021 / ma00148a028.