Gyromanyetik oran - Gyromagnetic ratio

İçinde fizik, jiromanyetik oran (bazen olarak da bilinir manyetojik oran^[1] diğer disiplinlerde) bir parçacığın veya sistemin oran onun manyetik moment onun için açısal momentum ve genellikle sembolüyle gösterilir γ, gama. Onun Sİ birim radyan saniyede Tesla (rads⁻¹⋅T⁻¹) veya eşdeğer olarak Coulomb başına kilogram (C⋅kg⁻¹).

"Gyromanyetik oran" terimi genellikle kullanılır^[2] eşanlamlısı olarak farklı ancak yakından ilgili miktar, gfaktör. g-Faktör, jiromanyetik orandan farklı olarak, boyutsuz. Daha fazlası için g-faktör, aşağıya bakın veya makaleye bakın gfaktör.

Larmor devinim

Katı bir yük sistemi gibi sabit bir jiromanyetik orana sahip herhangi bir serbest sistem, çekirdek veya bir elektron, harici bir manyetik alan B (tesla cinsinden ölçülür) ile uyumlu olmayan manyetik moment, niyet precess bir Sıklık f (ölçülen hertz ), bu dış alanla orantılıdır:

${ displaystyle f = { frac { gamma} {2 pi}} B.}$

Bu sebeple değerleri γ/(2π), birim cinsinden hertz başına Tesla (Hz / T), genellikle γ.

Sezgisel türetme

Bu ilişkinin türetilmesi şu şekildedir: İlk önce, manyetik bir momente maruz kalmaktan kaynaklanan torkun ${ displaystyle mathbf {m}}$ manyetik alana ${ displaystyle mathbf {B}}$ dır-dir ${ displaystyle { boldsymbol { mathrm {T}}} = mathbf {m} times mathbf {B}}$. Sabit elektrik ve manyetik alanların işlevsel formunun kimliği, manyetik dipol momentinin büyüklüğünün eşit olarak tanımlanmasına yol açmıştır. ${ displaystyle m = I pi r ^ {2}}$veya şu şekilde, anı taklit ederek p bir elektrik dipolü: Manyetik dipol, hayali manyetik yükleri olan bir pusula iğnesi ile temsil edilebilir. ${ displaystyle pm q _ { rm {m}}}$ iki kutup üzerinde ve kutuplar arasındaki vektör mesafesi ${ displaystyle mathbf {d}}$ dünyanın manyetik alanının etkisi altında ${ displaystyle mathbf {B}}$. Klasik mekanikle bu iğnedeki tork, ${ displaystyle { boldsymbol { mathrm {T}}} = q _ { rm {m}} ( mathbf {d} times mathbf {B}).}$ Ama daha önce belirtildiği gibi ${ displaystyle q _ { rm {m}} mathbf {d} = I pi r ^ {2} { hat { mathbf {d}}} = mathbf {m},}$ böylece istenen formül gelir.

Türevde kullandığımız dönen elektron modelinin bir jiroskop ile açık bir benzerliği var. Dönen herhangi bir cisim için açısal momentumun değişim hızı ${ displaystyle mathbf {J}}$ uygulanan torka eşittir ${ displaystyle mathbf {T}}$:

${ displaystyle { frac {d mathbf {J}} {dt}} = mathbf {T}.}$

Örnek olarak not edin devinim bir jiroskop. Dünyanın yerçekimi çekimi, jiroskopa dikey yönde bir kuvvet veya tork uygular ve jiroskobun ekseni boyunca açısal momentum vektörü, pivot boyunca dikey bir çizgi etrafında yavaşça döner. Jiroskobun yerine, eksen etrafında dönen ve merkezi jiroskobun ekseninde ve jiroskobun ekseni boyunca, her ikisi de kürenin merkezinde, yukarı doğru çıkan iki zıt yöndeki vektörü hayal edin. ${ displaystyle mathbf {J}}$ ve aşağı doğru ${ displaystyle mathbf {m}.}$ Yerçekimini manyetik akı yoğunluğu ile değiştirin B.

${ displaystyle { frac {d mathbf {J}} {dt}}}$ okun yüksekliğinin doğrusal hızını temsil eder ${ displaystyle mathbf {J}}$ yarıçapı olan bir daire boyunca ${ displaystyle J sin { phi}}$, nerede ${ displaystyle phi}$ arasındaki açı ${ displaystyle mathbf {J}}$ ve dikey. Dolayısıyla, spinin dönüşünün açısal hızı ${ displaystyle quad omega = 2 pi f = { frac {| d mathbf {J} |} {dt cdot J cdot sin { phi}}} = { frac {| mathbf { T} |} {J cdot sin { phi}}} = { frac {| mathbf {m} times mathbf {B} |} {J cdot sin { phi}}} = { frac {mB sin { phi}} {J cdot sin { phi}}} = { frac {mB} {J}} = gamma B.}$

Sonuç olarak, ${ displaystyle f = { frac { gamma} {2 pi}} B. quad { text {q.e.d.}}}$

Bu ilişki aynı zamanda iki eşdeğer terim arasındaki açık bir çelişkiyi de açıklar: jiromanyetik oran manyetojik oran: manyetik bir özelliğin oranı iken (yani dipol moment ) bir döner (rotasyonel, itibaren Yunan: γύρος, "dönüş") özelliği (yani açısal momentum ), aynı zamanda, aynı zamandaarasında bir oran açısal devinim frekansı (bir diğeri döner Emlak) ω = 2πf ve manyetik alan.

Açısal devinim frekansının önemli bir fiziksel anlamı vardır: açısal siklotron frekansı iyonize plazmanın rezonans frekansı, yüksek frekanslı bir elektromanyetik alanı üst üste koyduğumuzda, statik sonlu bir manyetik alanın etkisi altındadır.

Klasik dönen bir gövde için

Bir düşünün yüklü simetri ekseni etrafında dönen cisim. Klasik fizik kanunlarına göre, dönüşünden dolayı hem bir manyetik dipol momentine hem de bir açısal momentuma sahiptir. Yükü ve kütlesi aynı şekilde dağıtıldığı sürece (örneğin, her ikisi de eşit dağılmış), jiromanyetik oranının olduğu gösterilebilir.

${ displaystyle gamma = { frac {q} {2m}}}$

nerede q onun ücreti ve m kütlesidir. Bu ilişkinin türevi şu şekildedir:

Bunu, vücut içinde sonsuz derecede dar dairesel bir halka için göstermek yeterlidir, çünkü genel sonuç bir entegrasyon. Halkanın yarıçapı olduğunu varsayalım r, alan Bir = πr², kitle m, şarj etmek qve açısal momentum L = mvr. O zaman manyetik dipol momentinin büyüklüğü

${ displaystyle mu = IA = { frac {qv} {2 pi r}} times pi r ^ {2} = { frac {q} {2m}} times mvr = { frac {q } {2m}} L.}$

İzole edilmiş bir elektron için

İzole edilmiş bir elektron açısal bir momentuma ve kendisinden kaynaklanan bir manyetik momente sahiptir. çevirmek. Bir elektronun dönüşü bazen bir eksen etrafında gerçek bir dönüş olarak görselleştirilirken, yüke aynı şekilde dağıtılan kütleye atfedilemez. Yukarıdaki klasik ilişki geçerli değildir, elektron adı verilen boyutsuz bir faktörle yanlış sonuç verir. gfaktör, belirtilen g_e (ya da sadece g kafa karışıklığı riski olmadığında):

${ displaystyle | gamma _ { mathrm {e}} | = { frac {| -e |} {2m _ { mathrm {e}}}} g _ { mathrm {e}} = g _ { mathrm { e}} mu _ { mathrm {B}} / hbar,}$

nerede μ_B ... Bohr manyeton.

Kendi kendine dönen elektronun jiromanyetik oranı, yörüngedeki bir elektronun değerinden iki kat daha büyüktür.

Göreli kuantum mekaniği çerçevesinde,

${ displaystyle g _ { mathrm {e}} = 2 (1 + { frac { alpha} {2 pi}} + cdots),}$

nerede ${ displaystyle alpha}$ ... ince yapı sabiti. İşte göreceli sonuç için küçük düzeltmeler g = 2 kuantum alan teorisinden gelir. Elektron g-faktörün ölçülerek on iki ondalık basamağı olduğu bilinmektedir. elektron manyetik moment tek elektronlu bir siklotronda:^[3]

${ displaystyle g _ { mathrm {e}} = 2,0023193043617 (15).}$

Elektron jiromanyetik oranı NIST tarafından verilir^[4][5][6] gibi

${ displaystyle sol | gamma _ { mathrm {e}} sağ | = 1.760 , 859 , 644 (11) times 10 ^ {11} , mathrm { { frac {rad} { s cdot T}}}}$

${ displaystyle sol | { frac { gamma _ { mathrm {e}}} {2 pi}} sağ | = 28 , 024.951 , 64 (17) mathrm { { frac {MHz } {T}}}.}$

gfaktör ve γ teori ile mükemmel bir uyum içindedir; görmek QED'nin hassas testleri detaylar için.

Göreliliğin bir sonucu olarak jiromanyetik faktör

Dirac denkleminden 2'ye eşit bir jiromanyetik faktör geldiği için, bir gfaktör 2, göreliliğin bir sonucudur; o değil. Faktör 2, her ikisinin de doğrusallaştırmasından elde edilebilir. Schrödinger denklemi ve göreceli Klein-Gordon denklemi (Dirac'a götürür). Her iki durumda da 4-spinor elde edilir ve her iki doğrusallaştırma için gfaktör 2'ye eşit olduğu bulunmuştur; Bu nedenle, faktör 2 bir sonuç Dalga denkleminin uzay ve zaman açısından birinci (ikinci değil) türevlerine bağımlılığı.^[7]

Doğrusal ölçülü Dirac denklemi ile tanımlanamayan fiziksel spin-1/2 parçacıkları, ge/4σ^μνF_μν göre terim,^[8]

${ displaystyle sol (( kısmi ^ { mu} + ieA ^ { mu}) ( kısmi _ { mu} + ieA _ { mu}) + g { frac {e} {4}} sigma ^ { mu nu} F _ { mu nu} + m ^ {2} right) psi = 0, quad g not = 2.}$

Buraya, 1/2σ^μν ve F^μν Dirac uzayında Lorentz grup jeneratörlerini temsil eder ve elektromanyetik tensör sırasıyla Bir^μ ... elektromanyetik dört potansiyel. Böyle bir parçacık için bir örnek,^[8] spin-1/2, spin-3 / 2'nin D^(1/2,1) ⊕ D^(1,1/2) Lorentz grubunun temsil uzayı. Bu parçacığın şu özelliklere sahip olduğu gösterilmiştir: g = −2/3 ve sonuç olarak gerçekten ikinci dereceden bir fermiyon olarak davranmak.

Bir çekirdek için

Gyromagnetic oranın işareti, γ, devinim duygusunu belirler. Çekirdekler, örneğin ¹El ¹³C'nin saat yönünde devinime sahip olduğu söylenirken ¹⁵N, saat yönünün tersine bir devinime sahiptir.^[9][10] Burada gösterilen manyetik momentler her iki γ durumu için aynı yönlendirilirken, spin açısal momentum zıt yönlerdedir. Dönme ve manyetik moment aynı yöndedir γ > 0.

Protonlar nötronlar ve birçok çekirdek nükleer dönüş yukarıdaki gibi bir jiromanyetik oran ortaya çıkarır. Oran, basitlik ve tutarlılık adına, nötronlar ve diğer çekirdekler için bile proton kütlesi ve yükü açısından geleneksel olarak yazılır. Formül şudur:

${ displaystyle gamma _ { rm {n}} = { frac {e} {2m_ {p}}} g _ { rm {n}} = g _ { rm {n}} mu _ { mathrm {N}} / hbar,}$

nerede ${ displaystyle mu _ { mathrm {N}}}$ ... nükleer manyeton, ve ${ displaystyle g _ { rm {n}}}$ ... gfaktör söz konusu nükleon veya çekirdek. Oranı ${ displaystyle { frac { gamma _ {n}} {2 pi g _ { rm {n}}}}}$, eşittir ${ displaystyle mu _ { mathrm {N}} / h}$7,622593285 (47) MHz / T'dir.^[11]

Bir çekirdeğin jiromanyetik oranı, nükleer manyetik rezonans (NMR) ve manyetik rezonans görüntüleme (MRI). Bu prosedürler, nükleer dönüşler nedeniyle toplu manyetizasyonun precess manyetik alanda Larmor frekansı, bu basitçe jiromanyetik oranın manyetik alan kuvveti ile ürünüdür. Bu fenomenin işareti γ devinimin anlamını (saat yönüne karşı saat yönünün tersine) belirler.

Gibi en yaygın çekirdekler ¹El ¹³C pozitif jiromanyetik oranlara sahiptir.^[9][10] Bazı ortak çekirdekler için yaklaşık değerler aşağıdaki tabloda verilmiştir.^[12][13]

Çekirdek	${ displaystyle gamma _ {n}}$ (106 radüsler−1⋅T−1)	${ displaystyle gamma _ {n} / (2 pi)}$ (MHz⋅T−1)
1H	267.52218744(11)[14]	42.577478518(18)[15]
2H	41.065	6.536
3H	285.3508	45.415[16]
3O	−203.789	−32.434
7Li	103.962	16.546
13C	67.2828	10.7084
14N	19.331	3.077
15N	−27.116	−4.316
17Ö	−36.264	−5.772
19F	251.662	40.052
23Na	70.761	11.262
27Al	69.763	11.103
29Si	−53.190	−8.465
31P	108.291	17.235
57Fe	8.681	1.382
63Cu	71.118	11.319
67Zn	16.767	2.669
129Xe	−73.997	−11.777

Ayrıca bakınız

• Yük-kütle oranı
• Kimyasal kayma
• Dirac denklemi
• Landé gfaktör
• Larmor denklemi
• Proton jiromanyetik oranı

Notlar

• ^ Not 1 : Marc Knecht, Elektron ve Müonun Anormal Manyetik Momentleri, Poincaré Seminar (Paris, 12 Ekim 2002), basım: Duplantier, Bertrand; Rivasseau, Vincent (Editörler); Poincaré Semineri 2002, Matematiksel Fizikte İlerleme 30, Birkhäuser (2003), ISBN  3-7643-0579-7.

Referanslar