Elektromanyetizmada model
Havriliak – Negami gevşeme deneysel bir modifikasyondur Debye gevşeme elektromanyetizmada model. Debye modelinden farklı olarak, Havriliak-Negami gevşemesi, asimetri ve genişliği dielektrik dağılım eğri. Model ilk olarak bazılarının dielektrik gevşemesini tanımlamak için kullanıldı. polimerler ,[1] üstel Debye denkleminin parametreleri:
ε ^ ( ω ) = ε ∞ + Δ ε ( 1 + ( ben ω τ ) α ) β , { displaystyle { hat { varepsilon}} ( omega) = varepsilon _ { infty} + { frac { Delta varepsilon} {(1+ (i omega tau) ^ { alpha}) ^ { beta}}},} nerede ε ∞ { displaystyle varepsilon _ { infty}} geçirgenlik yüksek frekans sınırında, Δ ε = ε s − ε ∞ { displaystyle Delta varepsilon = varepsilon _ {s} - varepsilon _ { infty}} ε s { displaystyle varepsilon _ {s}} τ { displaystyle tau} rahatlama vakti orta. Üsler α { displaystyle alpha} β { displaystyle beta}
Uygulamaya bağlı olarak, Fourier dönüşümü uzatılmış üstel fonksiyon bir parametresi eksik olan geçerli bir alternatif olabilir.
İçin β = 1 { displaystyle beta = 1} Cole-Cole denklemi , için α = 1 { displaystyle alpha = 1} Cole-Davidson denklemi .
Matematiksel özellikler Gerçek ve hayali parçalar Depolama kısmı ε ′ { displaystyle varepsilon '} ε ″ { displaystyle varepsilon ''} ε ^ ( ω ) = ε ′ ( ω ) − ben ε ″ ( ω ) { displaystyle { hat { varepsilon}} ( omega) = varepsilon '( omega) -i varepsilon' '( omega)}
ε ′ ( ω ) = ε ∞ + Δ ε ( 1 + 2 ( ω τ ) α çünkü ( π α / 2 ) + ( ω τ ) 2 α ) − β / 2 çünkü ( β ϕ ) { displaystyle varepsilon '( omega) = varepsilon _ { infty} + Delta varepsilon sol (1 + 2 ( omega tau) ^ { alpha} cos ( pi alpha / 2) + ( omega tau) ^ {2 alpha} right) ^ {- beta / 2} cos ( beta phi)} ve
ε ″ ( ω ) = Δ ε ( 1 + 2 ( ω τ ) α çünkü ( π α / 2 ) + ( ω τ ) 2 α ) − β / 2 günah ( β ϕ ) { Displaystyle varepsilon '' ( omega) = Delta varepsilon sol (1 + 2 ( omega tau) ^ { alpha} cos ( pi alpha / 2) + ( omega tau) ^ {2 alpha} sağ) ^ {- beta / 2} sin ( beta phi)} ile
ϕ = Arctan ( ( ω τ ) α günah ( π α / 2 ) 1 + ( ω τ ) α çünkü ( π α / 2 ) ) { displaystyle phi = arctan sol ({( omega tau) ^ { alpha} sin ( pi alpha / 2) 1'den fazla + ( omega tau) ^ { alpha} cos ( pi alpha / 2)} sağ)} Kayıp tepe Kayıp kısmının maksimum değeri
ω m a x = ( günah ( π α 2 ( β + 1 ) ) günah ( π α β 2 ( β + 1 ) ) ) 1 / α τ − 1 { displaystyle omega _ { rm {maks}} = sol ({ sin sol ({ pi alpha 2'den fazla ( beta +1)} sağ) sin sol üzerinde ({ pi alpha beta over 2 ( beta +1)} right)} right) ^ {1 / alpha} tau ^ {- 1}} Lorentzians'ın Süperpozisyonu Havriliak-Negami gevşemesi, bireysel Debye gevşemelerinin üst üste gelmesi olarak ifade edilebilir.
ε ^ ( ω ) − ϵ ∞ Δ ε = ∫ τ D = 0 ∞ 1 1 + ben ω τ D g ( ln τ D ) d ln τ D { displaystyle {{ hat { varepsilon}} ( omega) - epsilon _ { infty} over Delta varepsilon} = int _ { tau _ {D} = 0} ^ { infty} {1 1'den fazla + i omega tau _ {D}} g ( ln tau _ {D}) d ln tau _ {D}} dağıtım işlevi ile
g ( ln τ D ) = 1 π ( τ D / τ ) α β günah ( β θ ) ( ( τ D / τ ) 2 α + 2 ( τ D / τ ) α çünkü ( π α ) + 1 ) β / 2 { displaystyle g ( ln tau _ {D}) = {1 fazla pi} {( tau _ {D} / tau) ^ { alpha beta} sin ( beta theta) üzeri (( tau _ {D} / tau) ^ {2 alpha} +2 ( tau _ {D} / tau) ^ { alpha} cos ( pi alpha) +1) ^ { beta / 2}}} nerede
θ = Arctan ( günah ( π α ) ( τ D / τ ) α + çünkü ( π α ) ) { displaystyle theta = arctan sol ({ sin ( pi alpha) fazla ( tau _ {D} / tau) ^ { alpha} + cos ( pi alpha)} sağ )} arktanjantın argümanı pozitifse, değilse[2]
θ = Arctan ( günah ( π α ) ( τ D / τ ) α + çünkü ( π α ) ) + π { displaystyle theta = arctan sol ({ sin ( pi alpha) fazla ( tau _ {D} / tau) ^ { alpha} + cos ( pi alpha)} sağ ) + pi} Logaritmik anlar Bu dağılımın ilk logaritmik anı, ortalama logaritmik gevşeme süresi
⟨ ln τ D ⟩ = ln τ + Ψ ( β ) + E sen α { displaystyle langle ln tau _ {D} rangle = ln tau + { Psi ( beta) + { rm {Eu}} alpha üzerinden}} nerede Ψ { displaystyle Psi} digamma işlevi ve E sen { displaystyle { rm {Eu}}} Euler sabiti .[3]
Ters Fourier dönüşümü Havriliak-Negami fonksiyonunun ters Fourier dönüşümü (karşılık gelen zaman alanı gevşeme fonksiyonu) sayısal olarak hesaplanabilir.[4] Fox – Wright işlevi .[5] ε ^ ( ω ) { displaystyle { hat { varepsilon}} ( omega)}
X ( t ) = ε ∞ δ ( t ) + Δ ε τ ( t τ ) α β − 1 E α , α β β ( − ( t / τ ) α ) , { displaystyle X (t) = varepsilon _ { infty} delta (t) + { frac { Delta varepsilon} { tau}} sol ({ frac {t} { tau}} sağ) ^ { alpha beta -1} E _ { alpha, alpha beta} ^ { beta} (- (t / tau) ^ { alpha}),} nerede δ ( t ) { displaystyle delta (t)}
E α , β γ ( z ) = 1 Γ ( γ ) ∑ k = 0 ∞ Γ ( γ + k ) z k k ! Γ ( α k + β ) { displaystyle E _ { alpha, beta} ^ { gamma} (z) = { frac {1} { Gamma ( gamma)}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac { Gama ( gamma + k) z ^ {k}} {k! Gama ( alpha k + beta)}}} özel bir örneği Fox – Wright işlevi ve tam olarak üç parametredir Mittag-Leffler işlevi [6] E α , β γ ( z ) { displaystyle E _ { alpha, beta} ^ { gamma} (z)} [7]
Referanslar ^ Havriliak, S .; Negami, S. (1967). "Bazı polimerlerdeki dielektrik ve mekanik gevşeme süreçlerinin karmaşık düzlemsel temsili". Polimer 8 : 161–210. doi :10.1016/0032-3861(67)90021-3 . ^ Zorn, R. (1999). "Dağıtım Fonksiyonlarının Havriliak – Negami Spektral Fonksiyonu için Uygulanabilirliği". Journal of Polymer Science Part B 37 (10): 1043–1044. Bibcode :1999JPoSB..37.1043Z . doi :10.1002 / (SICI) 1099-0488 (19990515) 37:10 <1043 :: AID-POLB9> 3.3.CO; 2-8 . ^ Zorn, R. (2002). "Gevşeme zamanı dağılımlarının logaritmik anları" (PDF) . Kimyasal Fizik Dergisi 116 (8): 3204–3209. Bibcode :2002JChPh.116.3204Z . doi :10.1063/1.1446035 . ^ Schönhals, A. (1991). "Havriliak-Negami fonksiyonu için zamana bağlı dielektrik geçirgenliğin hızlı hesaplanması". Açta Polymerica 42 : 149–151. ^ Hilfer, J. (2002). "H - camsı sistemlerde uzatılmış üstel gevşeme ve Debye olmayan duyarlılıklar için işlev gösterimleri ". Fiziksel İnceleme E65 : 061510. Bibcode :2002PhRvE..65f1510H . doi :10.1103 / physreve.65.061510 . ^ Gorenflo, Rudolf; Kilbaş, Anatoly A .; Mainardi, Francesco; Rogosin, Sergei V. (2014). Springer (ed.). Mittag-Leffler Fonksiyonları, İlgili Konular ve Uygulamalar . ISBN 978-3-662-43929-6 ^ Garrappa, Roberto. "Mittag-Leffler işlevi" . Alındı 3 Kasım 2014 . Ayrıca bakınız 
