Heegner noktası - Heegner point

İçinde matematik, bir Heegner noktası bir nokta modüler eğri bu, ikinci dereceden hayali bir noktasının görüntüsüdür. üst yarı düzlem. Tarafından tanımlandılar Bryan Birch ve adını aldı Kurt Heegner, kanıtlamak için benzer fikirleri kullanan Gauss varsayımı hayali ikinci dereceden alanlar birinci sınıf.

Gross-Zagier teoremi

Gross-Zagier teoremi (Gross ve Zagier 1986 ) Tanımlar yükseklik Heegner'ın bir türevi açısından puanları L işlevi noktadaki eliptik eğrinin s = 1. Özellikle, eliptik eğri (analitik) 1. sıraya sahipse, o zaman Heegner noktaları sonsuz mertebeden eğri üzerinde bir rasyonel nokta oluşturmak için kullanılabilir (bu nedenle, Mordell – Weil grubu en az 1 sırasına sahiptir). Daha genel olarak, Brüt, Kohnen ve Zagier (1987) Heegner noktalarının inşa etmek için kullanılabileceğini gösterdi rasyonel noktalar her pozitif tamsayı için eğri üzerinde nve bu noktaların yükseklikleri modüler 3/2 ağırlık formunun katsayılarıdır. Shou-Wu Zhang Gross-Zagier teoremini eliptik eğrilerden modüler duruma genelleştirdi değişmeli çeşitleri (Zhang2001, 2004, Yuan, Zhang & Zhang  2009 ).

Birch ve Swinnerton-Dyer varsayımı

Kolyvagin daha sonra oluşturmak için Heegner puanlarını kullandı Euler sistemleri ve bunu kanıtlamak için kullandım. Birch – Swinnerton-Dyer varsayımı 1. derece eliptik eğriler için. Brown kanıtladı Birch – Swinnerton-Dyer varsayımı pozitif özellikli küresel alanlar üzerinde çoğu sıra 1 eliptik eğriler için (Kahverengi 1994 ).

Hesaplama

Heegner noktaları, 1. sıra eliptik eğrilerde çok büyük rasyonel noktaları hesaplamak için kullanılabilir (bkz.Watkins 2006 ) saf yöntemlerle bulunamayan bir anket için). Algoritmanın uygulaması şurada mevcuttur: Magma, PARI / GP, ve adaçayı.

Referanslar