Helly-Bray teoremi - Helly–Bray theorem

İçinde olasılık teorisi, Helly-Bray teoremi ilişkilendirir zayıf yakınsama nın-nin kümülatif dağılım fonksiyonları yakınsamasına beklentiler Belli ki ölçülebilir fonksiyonlar. Adını almıştır Eduard Helly ve Hubert Evelyn Bray.

İzin Vermek F ve F₁, F₂, ... kümülatif dağıtım işlevleri gerçek çizgi. Helly-Bray teoremi, eğer F_n zayıf bir şekilde birleşir F, sonra

${ displaystyle int _ { mathbb {R}} g (x) , dF_ {n} (x) quad { xrightarrow [{n - infty}] {}} quad int _ { mathbb {R}} g (x) , dF (x)}$

her biri için sınırlı, sürekli işlev g: R → R, dahil olan integraller Riemann – Stieltjes integralleri.

Unutmayın ki X ve X₁, X₂, ... vardır rastgele değişkenler bu dağılım fonksiyonlarına karşılık gelirse, Helly – Bray teoremi E (X_n) → E (X), dan beri g(x) = x sınırlı bir işlev değildir.

Aslında, daha güçlü ve daha genel bir teorem geçerlidir. İzin Vermek P ve P₁, P₂, ... olmak olasılık ölçüleri bazı Ayarlamak S. Sonra P_n zayıf bir şekilde birleşir P ancak ve ancak

${ displaystyle int _ {S} g , dP_ {n} quad { xrightarrow [{n ila infty}] {}} quad int _ {S} g , dP,}$

tüm sınırlı, sürekli ve gerçek değerli fonksiyonlar açık S. (Teoremin bu versiyonundaki integraller Lebesgue – Stieltjes integralleri.)

Yukarıdaki daha genel teorem bazen şu şekilde alınır: tanımlama ölçümlerin zayıf yakınsaması (bkz. Billingsley, 1999, s. 3).

Referanslar

1. Patrick Billingsley (1999). Olasılık Ölçütlerinin Yakınsaması, 2. baskı. John Wiley & Sons, New York. ISBN  0-471-19745-9.

Bu makale, Helly-Bray teoreminden gelen materyalleri PlanetMath altında lisanslı olan Creative Commons Atıf / Benzer Paylaşım Lisansı.