Hiyerarşik hareket denklemleri - Hierarchical equations of motion

Hiyerarşik hareket denklemleri (HEOM) tekniği Yoshitaka Tanimura ve Ryogo Kubo 1989'da,^[1] bir yoğunluk matrisinin evrimini incelemek için geliştirilmiş, pertürbatif olmayan bir yaklaşımdır ${ displaystyle rho (t)}$ kuantum enerji tüketen sistemler. Yöntem, geleneksel Redfield (ana) denklemlerinin, Born, Markovian ve dönen dalga yaklaşımları gibi muzdarip olduğu tipik varsayımların engellenmesi olmaksızın, Markovian olmayan gürültü korelasyon sürelerinin yanı sıra, sistem banyosu etkileşimini pertüratif olmayan bir şekilde tedavi edebilir. HEOM, kuantum etkilerinin ihmal edilebilir olmadığı düşük sıcaklıklarda bile uygulanabilir.

Harmonik Markov banyosundaki bir sistem için hiyerarşik hareket denklemi^[2]

${ displaystyle { frac { kısmi} { kısmi t}} { hat { rho}} _ {n} = - i ({ hat {H}} _ {A} + n gama) { şapka { rho}} _ {n} - {1 over hbar} { hat {V}} ^ { times} { hat { rho}} _ {n + 1} + {in over hbar} { hat { Theta}} { hat { rho}} _ {n-1}}$

Hiyerarşik Hareket Denklemleri

HEOM'lar, yoğunluk matrisinin zaman evrimini tanımlamak için geliştirilmiştir ${ displaystyle rho (t)}$ açık bir kuantum sistemi için. Zaman içinde bir kuantum halini yaymaya yönelik tedirgin edici olmayan, Markov'cu olmayan bir yaklaşımdır. Feynman ve Vernon tarafından sunulan yol integral formalizminden motive olan Tanimura, HEOM'u istatistiksel ve kuantum dinamik tekniklerin bir kombinasyonundan türetmektedir.^[2][3][4]İki seviyeli bir spin-bozon sistemi Hamiltonian kullanarak

${ displaystyle { hat {H}} = { hat {H}} _ {A} ({ hat {a}} ^ {+}, { hat {a}} ^ {-}) + V ( { hat {a}} ^ {+}, { hat {a}} ^ {-}) toplam _ {j} c_ {j} { hat {x}} _ {j} + toplam _ { j} { büyük [} { { hat {p}} ^ {2} over {2}} + { frac {1} {2}} { hat {x}} _ {j} ^ { 2} { büyük]}}$

Banyo fononlarının spektral yoğunluğa göre karakterize edilmesi ${ displaystyle J ( omega) = toplam nolimits _ {j} c_ {j} ^ {2} delta ( omega - omega _ {j})}$

Yoğunluk matrisini yol integral gösteriminde yazarak ve Feynman-Vernon etkisini işlevsel hale getirerek, etkileşim terimlerindeki tüm banyo koordinatları, bazı özel durumlarda kapalı formda hesaplanabilen bu etki fonksiyonel olarak gruplandırılabilir. Drude spektral dağılımı ile yüksek sıcaklıkta bir ısı banyosu varsayarsak ${ displaystyle J ( omega) = hbar eta gamma ^ {2} omega / pi ( gamma ^ {2} + omega ^ {2})}$ ve yol integral form yoğunluk matrisinin zaman türevini alarak denklemin hiyerarşik formda yazılması verimi

${ displaystyle { frac { kısmi} { kısmi t}} { hat { rho}} _ {n} = - i ({ hat {H}} _ {A} + n gama) { şapka { rho}} _ {n} - {1 over hbar} { hat {V}} ^ { times} { hat { rho}} _ {n + 1} + {in over hbar} { hat { Theta}} { hat { rho}} _ {n-1}}$

nerede ${ displaystyle Theta}$ sistem uyarımını yok eder ve bu nedenle gevşeme operatörü olarak adlandırılabilir.

${ displaystyle { hat { Theta}} = - { frac {n gamma} { beta}} { big (} { hat {V}} ^ { times} -i { frac { beta hbar gamma} {2}} { hat {V}} ^ { circ} { big)}}$

İkinci terim ${ displaystyle { hat { Theta}}}$ ters sıcaklık ile sıcaklık düzeltme terimidir ${ displaystyle beta = 1 / k_ {B} T}$ ve "Hiper operatör" gösterimi tanıtıldı.

${ displaystyle { hat {A}} ^ { times} { hat { rho}} = { hat {A}} { hat { rho}} - { hat { rho}} { şapka {A}}}$

${ displaystyle { hat {A}} ^ { circ} { hat { rho}} = { hat {A}} { hat { rho}} + { hat { rho}} { şapka {A}}}$

Kubo'nun Stokastik Liouville Denkleminde olduğu gibi hiyerarşik formda, sayaç ${ displaystyle n}$ Sayısal olarak bir problem olan sonsuza kadar gidebilir, ancak Tanimura ve Kubo, sonsuz hiyerarşinin sonlu bir kümeye kesilebileceği bir yöntem sağlar. ${ displaystyle N}$ diferansiyel denklemler nerede ${ displaystyle N}$ sistemin özelliklerine, yani frekans, dalgalanmaların genliği, banyo birleştirme vb. duyarlı bazı kısıtlamalarla belirlenir. "Sonlandırıcı" hiyerarşinin derinliğini tanımlar. Ortadan kaldırmak için basit bir ilişki ${ displaystyle { hat { rho}} _ {n + 1}}$ terim bulundu. ${ displaystyle { hat { rho}} _ {N + 1} = - { hat { Theta}} { hat { rho}} _ {N} / hbar gamma}$.^[5] Bu sonlandırıcı ile hiyerarşi derinlemesine kapatılır ${ displaystyle N}$ son terime göre hiyerarşinin:${ displaystyle { frac { kısmi} { kısmi t}} { hat { rho}} _ {N} = - i ({ hat {H}} _ {A} + N gamma) { şapka { rho}} _ {N} - {1 over gamma hbar ^ {2}} { hat {V}} ^ { times} { hat { Theta}} { hat { rho }} _ {N} + {iN over hbar} { hat { Theta}} { hat { rho}} _ {N-1}}$.

HEOM yaklaşımının istatistiksel doğası, gevşeme operatörünü dengeye geri getirerek gevşeme operatörünü tanıtarak Kubo'nun SLE'sinin sonsuz enerji problemini düzelten hareket denklemine kodlanacak banyo gürültüsü ve sistem tepkisi hakkındaki bilgilerin olmasını sağlar.

Keyfi spektral yoğunluk ve düşük sıcaklık düzeltmesi

HEOM, çeşitli spektral dağılımlar için türetilebilir, yani Drude,^[6] Brownian,^[7] Lorentzian,^[8] ve Sub-Ohmik, ^[9] veya hatta herhangi bir sıcaklıkta keyfi banyo tepkisi fonksiyonları.^[10]

Drude durumunda, gürültü korelasyon fonksiyonunu kuvvetle açıklayan korelasyon fonksiyonunu değiştirerek Markovian olmayan ve pertürbatif olmayan sistem banyosu etkileşimleri ele alınabilir.^[2][6] Bu durumda hareket denklemleri şeklinde yazılabilir

${ displaystyle { begin {align} { frac { kısmi} { kısmi t}} { hat { rho}} _ {n, j_ {1}, .., j_ {K}} = & - { bigg [} {i over hbar} { hat {H}} _ {A} ^ { times} + n gamma + sum _ {k = 1} ^ {K} (j_ {k} nu _ {k} - {1 over { nu _ {k} hbar ^ {2}}} { hat {V}} ^ { times} { hat { Theta}} _ {k} ) + { hat { Gama}} _ {0} { bigg]} { hat { rho}} _ {n, j_ {1}, .., j_ {K}} - {i over hbar} { hat {V}} ^ { times} { bigg [} { hat { rho}} _ {(n + 1), j_ {1}, .., j_ {K}} + toplam _ {k = 1} ^ {K} { hat { rho}} _ {n, j_ {1}, .., (j_ {k} +1), .., j_ {K}} { bigg]} & - {in over hbar} { hat { Theta}} _ {0} { hat { rho}} _ {(n-1), j_ {1} .. j_ { K}} - sum _ {k = 1} ^ {K} {ij_ {k} over hbar} { hat { Theta}} _ {k} { hat { rho}} _ {n, j_ {1}, .., (j_ {k} -1), .., j_ {K}} end {hizalı}}}$

Bu denklemde sadece ${ displaystyle { hat { rho}} _ {0,0, ..., 0}}$ diğer öğelerle tüm sistem banyosu etkileşimlerini içerir ${ displaystyle { hat { rho}} _ {n, j_ {1} ... j_ {K}}}$ yardımcı terimler olduğundan, hiyerarşinin derinliklerine doğru ilerledikçe, etkileşimlerin sırası azalır, bu da bu tür sistemlerin alışılageldik tedirgin edici muamelelerine aykırıdır. ${ displaystyle { hat { Theta}} _ {k} = c_ {k} { hat {V}} ^ { times}}$ nerede ${ displaystyle c_ {k}}$ korelasyon fonksiyonunda belirlenen bir sabittir.

${ displaystyle { hat { Gamma}} _ {0} equiv { eta over { beta hbar ^ {2}}} { big (} 1 - { beta over gamma n} c_ {0} { büyük)} { hat {V}} ^ { times} { hat {V}} ^ { times}}$

Bu ${ displaystyle { hat { Gama}} _ {0}}$ terimi, korelasyon fonksiyonuna eklenen Matsubara kesme teriminden kaynaklanır ve bu nedenle gürültünün hafızası hakkında bilgi tutar.

HEOM için sonlandırıcı aşağıdadır

${ displaystyle { frac { kısmi} { kısmi t}} { hat { rho}} _ {n, j_ {1}, ..., j_ {K}} simeq - { büyük (} {i over hbar} { hat {H}} _ {A} ^ { times} - sum _ {k = 1} ^ {K} {1 over { nu _ {k} hbar ^ {2}}} { hat {V}} ^ { times} { hat { Theta}} _ {k} + { hat { Gama}} _ {0} { büyük)} { hat { rho}} _ {n, j_ {1}, ..., j_ {K}}}$

Bu HEOM üzerinde bir Wigner dönüşümü gerçekleştiren kuantum Fokker-Planck denklemi, düşük sıcaklık düzeltme terimleri ile ortaya çıkar.^[11][12]

Hesaplamalı Maliyet

Ne zaman açık kuantum sistemi ile temsil edilir ${ displaystyle M}$ seviyeleri ve ${ displaystyle M}$ ile temsil edilen her banyo yanıt işlevine sahip banyolar ${ displaystyle K}$ üstel, bir hiyerarşi ${ displaystyle { mathcal {N}}}$ katmanlar şunları içerecektir:

${ displaystyle { frac { sol (MK + { mathcal {N}} sağ)!} { sol (MK sağ)! { mathcal {N}}!}}}$

matrisler, her biri ${ displaystyle M ^ {2}}$ karmaşık değerli (hem gerçek hem de sanal parçalar içeren) öğeler. Bu nedenle, HEOM hesaplamalarında sınırlayıcı faktör, Veri deposu gereklidir, çünkü her matrisin bir kopyası saklanırsa, gereken toplam RAM:

${ displaystyle 16M ^ {2} { frac { sol (MK + { mathcal {N}} sağ)!} { sol (MK sağ)! { mathcal {N}}!}}}$

bayt (çift kesinlik varsayıldığında).

Uygulamalar

HEOM yöntemi, ücretsiz olarak temin edilebilen bir dizi kodda uygulanmaktadır. Bunlardan birkaçı web sitesinde Yoshitaka Tanimura ^[13] GPU için bir sürüm dahil ^[14] David Wilkins'in tezinde sunulan iyileştirmeleri kullanan.^[15] nanoHUB sürümü çok esnek bir uygulama sağlar.^[16] Açık kaynaklı bir paralel CPU uygulaması şu adresten edinilebilir: Schulten grubu.^[17]

Ayrıca bakınız

• Kuantum ana denklemi
• Açık kuantum sistemi
• Fokker-Planck denklemi
• Kuantum dinamik yarı grup
• Kuantum dağıtımı

Referanslar