Korna işlevi - Horn function - Wikipedia
Teorisinde özel fonksiyonlar içinde matematik , Korna fonksiyonları (adına Jakob Boynuzu ) 34 farklı yakınsak hipergeometrik seriler ikinci dereceden (yani iki bağımsız değişkene sahip), Boynuz (1931) harvtxt hatası: hedef yok: CITEREFHorn1931 (Yardım) (tarafından düzeltildi Borngässer (1933) ). Listeleniyorlar (Erdélyi 1953 Bölüm 5.7.1) harv hatası: hedef yok: CITEREFErdélyi1953 (Yardım) . B. C. Carlson[1] [2]
F 1 ( α ; β , β ′ ; γ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m + n ( β ) m ( β ′ ) n ( γ ) m + n z m w n m ! n ! / ; | z | < 1 ∧ | w | < 1 { displaystyle F_ {1} ( alpha; beta, beta '; gamma; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m} ( beta ') _ {n}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | <1 land | w | <1} F 2 ( α ; β , β ′ ; γ , γ ′ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m + n ( β ) m ( β ′ ) n ( γ ) m ( γ ′ ) n z m w n m ! n ! / ; | z | + | w | < 1 { displaystyle F_ {2} ( alpha; beta, beta '; gamma, gamma'; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m} ( beta ') _ {n}} {( gamma) _ {m} ( gama ') _ {n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | + | w | <1} F 3 ( α , α ′ ; β , β ′ ; γ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m ( α ′ ) n ( β ) m ( β ′ ) n ( γ ) m + n z m w n m ! n ! / ; | z | < 1 ∧ | w | < 1 { displaystyle F_ {3} ( alpha, alpha '; beta, beta'; gamma; z, w) eşdeğeri toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m} ( alpha ') _ {n} ( beta) _ {m} ( beta') _ {n}} {( gamma ) _ {m + n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | <1 land | w | <1} F 4 ( α ; β ; γ , γ ′ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m + n ( β ) m + n ( γ ) m ( γ ′ ) n z m w n m ! n ! / ; | z | + | w | < 1 { displaystyle F_ {4} ( alpha; beta; gamma, gamma '; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m + n}} {( gamma) _ {m} ( gamma ') _ {n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; { sqrt {| z |}} + { sqrt {| w |}} <1} G 1 ( α ; β , β ′ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m + n ( β ) n − m ( β ′ ) m − n z m w n m ! n ! / ; | z | + | w | < 1 { displaystyle G_ {1} ( alpha; beta, beta '; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} toplam _ {n = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {nm} ( beta ') _ {mn} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} / ; | z | + | w | <1} G 2 ( α , α ′ ; β , β ′ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m ( α ′ ) n ( β ) n − m ( β ′ ) m − n z m w n m ! n ! / ; | z | < 1 ∧ | w | < 1 { displaystyle G_ {2} ( alpha, alpha '; beta, beta'; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {m} ( alpha ') _ {n} ( beta) _ {nm} ( beta') _ {mn} { frac {z ^ {m} w ^ { n}} {m! n!}} /; | z | <1 land | w | <1} G 3 ( α , α ′ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) 2 n − m ( α ′ ) 2 m − n z m w n m ! n ! / ; 27 | z | 2 | w | 2 + 18 | z | | w | ± 4 ( | z | − | w | ) < 1 { displaystyle G_ {3} ( alpha, alpha '; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} toplam _ {n = 0} ^ { infty} ( alpha ) _ {2n-m} ( alpha ') _ {2m-n} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! N!}} /; 27 | z | ^ {2} | w | ^ {2} +18 | z || w | pm 4 (| z | - | w |) <1} H 1 ( α ; β ; γ ; δ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m − n ( β ) m + n ( γ ) n ( δ ) m z m w n m ! n ! / ; 4 | z | | w | + 2 | w | − | w | 2 < 1 { displaystyle H_ {1} ( alpha; beta; gamma; delta; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m + n} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 4 | z || w | +2 | w | - | w | ^ {2} <1} H 2 ( α ; β ; γ ; δ ; ϵ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m − n ( β ) m ( γ ) n ( δ ) n ( δ ) m z m w n m ! n ! / ; 1 / | w | − | z | < 1 { displaystyle H_ {2} ( alpha; beta; gamma; delta; epsilon; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} toplam _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m} ( gamma) _ {n} ( delta) _ {n}} {( delta) _ {m }}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 1 / | w | - | z | <1} H 3 ( α ; β ; γ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) 2 m + n ( β ) n ( γ ) m + n z m w n m ! n ! / ; | z | + | w | 2 − | w | < 0 { displaystyle H_ {3} ( alpha; beta; gamma; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n} ( beta) _ {n}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | + | w | ^ {2} - | w | <0} H 4 ( α ; β ; γ ; δ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) 2 m + n ( β ) n ( γ ) m ( δ ) n z m w n m ! n ! / ; 4 | z | + 2 | w | − | w | 2 < 1 { displaystyle H_ {4} ( alpha; beta; gamma; delta; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n} ( beta) _ {n}} {( gamma) _ {m} ( delta) _ {n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 4 | z | +2 | w | - | w | ^ {2} <1} H 5 ( α ; β ; γ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) 2 m + n ( β ) n − m ( γ ) n z m w n m ! n ! / ; 16 | z | 2 − 36 | z | | w | ± ( 8 | z | − | w | + 27 | z | | w | 2 ) < − 1 { displaystyle H_ {5} ( alpha; beta; gamma; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2d + n} ( beta) _ {nm}} {( gamma) _ {n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m ! n!}} /; 16 | z | ^ {2} -36 | z || w | pm (8 | z | - | w | +27 | z || w | ^ {2}) <- 1 } H 6 ( α ; β ; γ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) 2 m − n ( β ) n − m ( γ ) n z m w n m ! n ! / ; | z | | w | 2 + | w | < 1 { displaystyle H_ {6} ( alpha; beta; gamma; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {nm} ( gamma) _ {n} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z || w | ^ {2} + | w | <1} H 7 ( α ; β ; γ ; δ ; z , w ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) 2 m − n ( β ) n ( γ ) n ( δ ) m z m w n m ! n ! / ; 4 | z | + 2 / | s | − 1 / | s | 2 < 1 { displaystyle H_ {7} ( alpha; beta; gamma; delta; z, w) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {n} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 4 | z | + 2 / | s | -1 / | s | ^ {2} <1} birleşik işlevler şunları içerir:
Φ 1 ( α ; β ; γ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m + n ( β ) m ( γ ) m + n x m y n m ! n ! { displaystyle Phi _ {1} sol ( alpha; beta; gamma; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} Φ 2 ( β , β ′ ; γ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( β ) m ( β ′ ) n ( γ ) m + n x m y n m ! n ! { displaystyle Phi _ {2} sol ( beta, beta '; gamma; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0 } ^ { infty} { frac {( beta) _ {m} ( beta ') _ {n}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} Φ 3 ( β ; γ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( β ) m ( γ ) m + n x m y n m ! n ! { displaystyle Phi _ {3} sol ( beta; gamma; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}} } Ψ 1 ( α ; β ; γ , γ ′ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m + n ( β ) m ( γ ) m ( γ ′ ) n x m y n m ! n ! { displaystyle Psi _ {1} sol ( alpha; beta; gamma, gamma '; x, y sağ) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} toplam _ { n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m} ( gamma ') _ {n} }} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} Ψ 2 ( α ; γ , γ ′ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m + n ( γ ) m ( γ ′ ) n x m y n m ! n ! { displaystyle Psi _ {2} sol ( alpha; gamma, gamma '; x, y sağ) eşdeğeri toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0 } ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n}} {( gamma) _ {m} ( gamma ') _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} Ξ 1 ( α , α ′ ; β ; γ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m ( α ′ ) n ( β ) m ( γ ) m + n ( γ ′ ) n x m y n m ! n ! { displaystyle Xi _ {1} sol ( alpha, alpha '; beta; gamma; x, y sağ) eşdeğeri toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ { n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m} ( alpha ') _ {n} ( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m + n} ( gamma ') _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} Ξ 2 ( α ; β ; γ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m ( α ) m ( γ ) m + n x m y n m ! n ! { displaystyle Xi _ {2} sol ( alfa; beta; gamma; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m} ( alpha) _ {m}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} Γ 1 ( α ; β , β ′ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m ( β ) n − m ( β ′ ) m − n x m y n m ! n ! { displaystyle Gama _ {1} sol ( alfa; beta, beta '; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0 } ^ { infty} ( alpha) _ {m} ( beta) _ {nm} ( beta ') _ {mn} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n !}}} Γ 2 ( β , β ′ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( β ) n − m ( β ′ ) m − n x m y n m ! n ! { displaystyle Gama _ {2} sol ( beta, beta '; x, y sağ) eşdeğer toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} ( beta) _ {nm} ( beta ') _ {mn} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} H 1 ( α ; β ; δ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m − n ( β ) m + n ( δ ) m x m y n m ! n ! { displaystyle H_ {1} sol ( alfa; beta; delta; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m + n}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n }} {m! n!}}} H 2 ( α ; β ; γ ; δ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m − n ( β ) m ( γ ) n ( δ ) m x m y n m ! n ! { displaystyle H_ {2} sol ( alfa; beta; gamma; delta; x, y sağ) eşdeğeri toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0 } ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac { x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} H 3 ( α ; β ; δ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m − n ( β ) m ( ( δ ) m x m y n m ! n ! { displaystyle H_ {3} sol ( alfa; beta; delta; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m}} {(( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n} } {m! n!}}} H 4 ( α ; γ ; δ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m − n ( γ ) n ( δ ) n x m y n m ! n ! { displaystyle H_ {4} sol ( alfa; gamma; delta; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} H 5 ( α ; δ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m − n ( δ ) m x m y n m ! n ! { displaystyle H_ {5} sol ( alfa; delta; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} H 6 ( α ; γ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) 2 m + n ( γ ) m + n x m y n m ! n ! { displaystyle H_ {6} sol ( alfa; gamma; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}} } H 7 ( α ; γ ; δ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) 2 m + n ( γ ) m ( δ ) n x m y n m ! n ! { displaystyle H_ {7} sol ( alpha; gamma; delta; x, y sağ) equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n}} {( gamma) _ {m} ( delta) _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n }} {m! n!}}} H 8 ( α ; β ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) 2 m − n ( β ) n − m x m y n m ! n ! { displaystyle H_ {8} sol ( alfa; beta; x, y sağ) eşdeğer toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {nm} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} H 9 ( α ; β ; δ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) 2 m − n ( β ) n ( δ ) m x m y n m ! n ! { displaystyle H_ {9} sol ( alfa; beta; delta; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n }} {m! n!}}} H 10 ( α ; δ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) 2 m − n ( δ ) m x m y n m ! n ! { displaystyle H_ {10} sol ( alfa; delta; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m-n}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} H 11 ( α ; β ; γ ; δ ; x , y ) ≡ ∑ m = 0 ∞ ∑ n = 0 ∞ ( α ) m − n ( β ) n ( γ ) n ( δ ) m x m y n m ! n ! { displaystyle H_ {11} sol ( alfa; beta; gamma; delta; x, y sağ) eşit toplamı _ {m = 0} ^ { infty} toplamı _ {n = 0 } ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {n} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac { x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} Bazı tam ve birleşik işlevlerin aynı gösterimi paylaştığına dikkat edin.
Referanslar Borngässer, Ludwig (1933), Über hipergeometrische funkionen zweier Veränderlichen , Tez, Darmstadt Erdélyi, Arthur; Magnus, Wilhelm ; Oberhettinger, Fritz; Tricomi, Francesco G. (1953), Daha yüksek aşkın işlevler. Cilt I (PDF) , McGraw-Hill Book Company, Inc., New York-Toronto-Londra, BAY 0058756 Boynuz, J. (1935), "Hypergeometrische Funktionen zweier Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 105 (1): 381–407, doi :10.1007 / BF01455825 J. Horn Matematik. Ann. 111 , 637 (1933) Srivastava, H. M .; Karlsson, Per W. (1985), Çoklu Gauss hipergeometrik serileri , Ellis Horwood Serisi: Matematik ve Uygulamaları, Chichester: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-85312-602-7 BAY 0834385
