Hiperbolik manifold - Hyperbolic manifold

İçinde matematik, bir hiperbolik manifold her noktanın yerel olarak göründüğü bir alandır hiperbolik boşluk bazı boyutlarda. Özellikle adlandırıldıkları 2. ve 3. boyutlarda incelenirler. hiperbolik yüzeyler ve hiperbolik 3-manifoldlar, sırasıyla. Bu boyutlarda önemlidirler çünkü çoğu manifoldlar bir hiperbolik manifold haline getirilebilir homomorfizm. Bu bir sonucudur tekdüzelik teoremi yüzeyler için ve geometri teoremi 3-manifoldlar için Perelman.

Bir perspektif izdüşümü on iki yüzlü mozaik içinde H³. Bu, bir gözlemcinin hiperbolik bir 3-manifoldun içinde ne görebileceğinin bir örneğidir.

Pseudosphere. Bu şeklin her bir yarısı, sınırları olan bir hiperbolik 2-manifolddur (yani yüzey).

Kesin Tanım

Bir hiperbolik ${ displaystyle n}$ -manifold tam Riemanniyen ${ displaystyle n}$ -manifold sabit kesit eğriliği ${ displaystyle -1}$ .

Sabit negatif eğriliğin her tam, bağlantılı, basit bağlantılı manifoldu ${ displaystyle -1}$ dır-dir eş ölçülü gerçek hiperbolik alana ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ . Sonuç olarak, herhangi bir kapalı manifoldun evrensel kapağı ${ displaystyle M}$ sabit negatif eğriliğin ${ displaystyle -1}$ dır-dir ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ . Böylece, her biri ${ displaystyle M}$ olarak yazılabilir ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n} / Gama}$ nerede ${ displaystyle Gama}$ burulma içermeyen ayrık bir izometri grubudur ${ displaystyle mathbb {H} ^ {n}}$ . Yani, ${ displaystyle Gama}$ ayrık bir alt grubudur ${ displaystyle SO_ {1, n} ^ {+} mathbb {R}}$ . Manifoldun sınırlı hacmi vardır, ancak ve ancak ${ displaystyle Gama}$ bir kafes.

Onun kalın-ince ayrışma bir Öklid ürünü olan kapalı jeodeziklerin boru biçimli mahallelerinden ve uçlarından oluşan ince bir parçaya sahiptir ( ${ displaystyle n-1}$ ) -manifold ve kapalı yarı ışın. Manifold, ancak ve ancak kalın kısmı kompaktsa sonlu hacimdedir.

Örnekler

Hiperbolik bir manifoldun en basit örneği Hiperbolik uzay, hiperbolik uzaydaki her noktanın hiperbolik uzaya komşuluk izometrikleri olduğundan.

Bununla birlikte, önemsiz olmayan basit bir örnek, bir kez delinmiş simittir. Bu bir örnek (İzom ( ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ ), ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ ) -manifold. Bu, ideal bir dikdörtgen alarak oluşturulabilir. ${ displaystyle mathbb {H} ^ {2}}$ - yani, köşelerin sonsuzda sınırda olduğu ve dolayısıyla ortaya çıkan manifoldda bulunmadığı bir dikdörtgen - ve karşıt görüntüleri tanımlayan.

Benzer bir şekilde, iki ideal üçgeni birbirine yapıştırarak aşağıda gösterilen üç kez delinmiş küreyi oluşturabiliriz. Bu aynı zamanda yüzeyde eğrilerin nasıl çizileceğini gösterir - diyagramdaki siyah çizgi, yeşil kenarlar birbirine yapıştırıldığında kapalı eğri haline gelir. Delinmiş bir küre ile çalışırken, yüzeydeki renkli daireler - sınırları dahil - yüzeyin parçası değildir ve bu nedenle diyagramda şu şekilde temsil edilir: ideal köşeler.

(Sol) Üç kez delinmiş küre için bir yapıştırma diyagramı. Aynı renkte olan kenarlar birbirine yapıştırılır. Çizgilerin kesiştiği noktaların (sonsuzdaki nokta dahil) hiperbolik uzay sınırında yer aldığına ve dolayısıyla yüzeyin parçası olmadığına dikkat edin. (Sağda) Yüzey birbirine yapıştırılmış.

Birçok düğümler ve bağlantılar gibi daha basit düğümlerin bazıları dahil sekiz rakamı düğüm ve Borromean yüzükler, hiperboliktir ve bu nedenle içindeki düğüm veya bağlantının tamamlayıcısıdır. ${ displaystyle S ^ {3}}$ hiperbolik bir 3-manifold sonlu hacimdir.

Önemli Sonuçlar

İçin ${ displaystyle n> 2}$ bir üzerindeki hiperbolik yapı sonlu hacim hiperbolik ${ displaystyle n}$ -manifold benzersizdir Mostow sertliği ve dolayısıyla geometrik değişmezler aslında topolojik değişmezlerdir. Topolojik değişmez olarak kullanılan bu geometrik değişmezlerden biri, hiperbolik hacim ilgili manifoldların geometrisini inceleyerek iki düğümü birbirinden ayırt etmemize olanak tanıyan bir düğüm veya bağlantı tamamlayıcısı.

Düğüm tamamlayıcısının sınır alanının ne olduğunu da sorabiliriz. Bir düğüm tamamlayıcısının hacmi ile altındaki tamamlayıcının hacmi arasında bir ilişki olduğu için Dehn doldurma,^[1] Bu tür bir dolgu altında hacmin nasıl değişebileceğini bize bildirmek için sınır alanını kullanabiliriz.

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Purcell, Jessica S .; Kalfagianni, Efstratia; Futer, David (2006-12-06). "Dehn dolgusu, hacim ve Jones polinomu". arXiv:matematik / 0612138. Bibcode:2006math ..... 12138F. Alıntı dergisi gerektirir | günlük = (Yardım)

Kapovich Michael (2009) [2001], Hiperbolik manifoldlar ve ayrık gruplar, Modern Birkhäuser Classics, Boston, MA: Birkhäuser Boston, doi:10.1007/978-0-8176-4913-5, ISBN 978-0-8176-4912-8, BAY 1792613
Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), Hiperbolik 3-manifoldların aritmetiği, Matematikte Lisansüstü Metinler, 219, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98386-8, BAY 1937957
Ratcliffe, John G. (2006) [1994], Hiperbolik manifoldların temelleriMatematik Yüksek Lisans Metinleri, 149 (2. baskı), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-47322-2, ISBN 978-0-387-33197-3, BAY 2249478
Hiperbolik Voronoi diyagramları kolaylaştırıldı, Frank Nielsen

[1] Purcell, Jessica S .; Kalfagianni, Efstratia; Futer, David (2006-12-06). "Dehn dolgusu, hacim ve Jones polinomu". arXiv:matematik / 0612138. Bibcode:2006math ..... 12138F. Alıntı dergisi gerektirir | günlük = (Yardım)

[1]