Görüntü (kategori teorisi) - Image (category theory)

İzin Vermek ${ displaystyle alpha, , beta}$ öyle ol ${ displaystyle alpha , e = beta , e}$bunu göstermek lazım ${ displaystyle alpha = beta}$. Ekolayzırdan beri ${ displaystyle ( alpha, beta)}$ var, ${ displaystyle e}$ olarak çarpanlara ayırır ${ displaystyle e = q , e '}$ ile ${ displaystyle q}$ monic. Ama sonra ${ displaystyle f = (m , q) , e '}$ çarpanlara ayırmaktır ${ displaystyle f}$ ile ${ displaystyle (m , q)}$ monomorfizm. Dolayısıyla, görüntünün evrensel özelliğine göre benzersiz bir ok vardır. ${ displaystyle v: I - Eşitlik _ { alpha, beta}}$ öyle ki ${ displaystyle m = m , q , v}$ dan beri ${ displaystyle m}$ monik ${ displaystyle { text {id}} _ {I} = q , v}$. Ayrıca, biri vardır ${ displaystyle m , q = (mqv) , q}$ ve monomorfizm özelliği ile ${ displaystyle mq}$ biri elde eder ${ displaystyle { text {id}} _ {Eq _ { alpha, beta}} = v , q}$.

Bu şu demek ${ displaystyle I equiv Eq _ { alpha, beta}}$ ve böylece ${ displaystyle { text {id}} _ {I} = q , v}$ eşitler ${ displaystyle ( alpha, beta)}$nereden ${ displaystyle alpha = beta}$.

İlk tanım ikinciyi ifade eder: Varsayalım ki (1) ile tutar ${ displaystyle m}$ düzenli monomorfizm.

• Eşitleme: bunu göstermek lazım ${ displaystyle i_ {1} , m = i_ {2} , m}$ . Cokernel çifti olarak ${ displaystyle f, i_ {1} , f = i_ {2} , f}$ ve önceki öneriye göre, çünkü ${ displaystyle C}$ tüm eşitleyicilere sahiptir, ok ${ displaystyle e}$ çarpanlara ayırmada ${ displaystyle f = m , e}$ bir epimorfizm dolayısıyla ${ displaystyle i_ {1} , f = i_ {2} , f Rightarrow i_ {1} , m = i_ {2} , m}$.
• Evrensellik: tüm colimits (veya en azından tüm pushout'lar) içeren bir kategoride ${ displaystyle m}$ kendisi bir kokernel çifti kabul ediyor ${ displaystyle (Y sqcup _ {I} Y, c_ {1}, c_ {2})}$

Dahası, düzenli bir monomorfizm olarak, ${ displaystyle (I, m)}$ bir çift morfizmin eşitleyicisidir ${ displaystyle b_ {1}, b_ {2}: Y longrightarrow B}$ ancak burada aynı zamanda eşitleyici olduğunu iddia ediyoruz ${ displaystyle c_ {1}, c_ {2}: Y longrightarrow Y sqcup _ {I} Y}$.

Aslında, inşaat yoluyla ${ displaystyle b_ {1} , m = b_ {2} , m}$ dolayısıyla "cokernel pair" diyagramı ${ displaystyle m}$ benzersiz bir morfizm verir ${ displaystyle u ': Y sqcup _ {I} Y longrightarrow B}$ öyle ki ${ displaystyle b_ {1} = u ', c_ {1}, b_ {2} = u' , c_ {2}}$. Şimdi bir harita ${ displaystyle m ': I' longrightarrow Y}$ eşitleyen ${ displaystyle (c_ {1}, c_ {2})}$ ayrıca tatmin eder ${ displaystyle b_ {1} , m '= u' , c_ {1} , m '= u' , c_ {2} , m '= b_ {2} , m'}$dolayısıyla ekolayzır diyagramı ile ${ displaystyle (b_ {1}, b_ {2})}$eşsiz bir harita var ${ displaystyle h ': I' - I}$ öyle ki ${ displaystyle m '= m , h'}$.

Son olarak, kokernel çifti diyagramını kullanın ( ${ displaystyle f}$) ile ${ displaystyle j_ {1}: = c_ {1}, j_ {2}: = c_ {2}, Z: = Y sqcup _ {I} Y}$ : benzersiz bir ${ displaystyle u: Y sqcup _ {X} Y longrightarrow Y sqcup _ {I} Y}$ öyle ki ${ displaystyle c_ {1} = u , i_ {1}, c_ {2} = u , i_ {2}}$. Bu nedenle, herhangi bir harita ${ displaystyle g}$ eşitleyen ${ displaystyle (i_ {1}, i_ {2})}$ ayrıca eşitler ${ displaystyle (c_ {1}, c_ {2})}$ ve böylece benzersiz bir şekilde çarpanlara ayırır ${ displaystyle g = m , h '}$. Bu tam olarak şu anlama geliyor ${ displaystyle (I, m)}$ ekolayzır ${ displaystyle (i_ {1}, i_ {2})}$.

İkinci tanım, ilkini ima eder:

• Faktorizasyon: alma ${ displaystyle m ': = f}$ ekolayzır diyagramında (${ displaystyle m '}$ karşılık gelir ${ displaystyle g}$), çarpanlara ayırma elde edilir ${ displaystyle f = m , h}$.
• Evrensellik: İzin Vermek ${ displaystyle f = m ', e'}$ ile çarpanlara ayırmak ${ displaystyle m '}$ düzenli monomorfizm, yani bir çiftin ekolayzeri ${ displaystyle (d_ {1}, d_ {2})}$.

Sonra ${ displaystyle d_ {1} , m '= d_ {2} , m' Rightarrow d_ {1} , f = d_ {1} , m ', e = d_ {2} , m ', e = d_ {2} , f}$ böylece "kokernel çifti" diyagramı ( ${ displaystyle f}$), ile ${ displaystyle j_ {1}: = d_ {1}, j_ {2}: = d_ {2}, Z: = D}$benzersiz bir ${ displaystyle u '': Y sqcup _ {X} Y longrightarrow D}$ öyle ki ${ displaystyle d_ {1} = u '' , i_ {1}, d_ {2} = u '' , i_ {2}}$.

Şimdi ${ displaystyle i_ {1} , m = i_ {2} , m}$ (m ekolayzerden (ben₁, ben₂) diyagramı), biri elde eder ${ displaystyle d_ {1} , m = u '' , i_ {1} , m = u '' , i_ {2} , m = d_ {2} , m}$, dolayısıyla (ekolayzerindeki evrensellik (d₁, d₂) diyagramı ile f ile ikame edilmiş m), benzersiz bir ${ displaystyle v: Im longrightarrow I '}$ öyle ki ${ displaystyle m = m ', v}$.