Enjeksiyon demeti - Injective sheaf

İçinde matematik, enjeksiyon kasnakları nın-nin değişmeli gruplar tanımlamak için gereken çözünürlükleri oluşturmak için kullanılır demet kohomolojisi (ve diğeri türetilmiş işlevler demet gibi Dahili ).

İlgili diğer bir grup kavram vardır. kasnaklar: gevşek (matara Fransızcada), ince, yumuşak (mou Fransızcada), döngüsel olmayan. Konunun tarihinde 1957'den önce tanıtıldılar "Tohoku kağıdı " nın-nin Alexander Grothendieck gösteren değişmeli kategori kavramı enjekte edici nesne teoriyi bulmaya yetti. Diğer kasnak sınıfları tarihsel olarak daha eski kavramlardır. Kohomolojiyi ve türetilmiş işlevleri tanımlamak için soyut çerçeve bunlara ihtiyaç duymaz. Bununla birlikte, çoğu somut durumda, döngüsel olmayan kasnaklarla çözünürlüklerin oluşturulması genellikle daha kolaydır. Asiklik kasnaklar bu nedenle hesaplama amaçlarına hizmet eder, örneğin Leray spektral dizisi.

Enjeksiyon kasnakları

Bir enjeksiyon demeti ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ değişmeli kasnaklar kategorisinin enjeksiyon nesnesi olan bir demettir; başka bir deyişle, homomorfizmler ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ -e ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ her zaman herhangi bir demete uzatılabilir ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ kapsamak ${ displaystyle { mathcal {A}}.}$

Değişmeli kasnaklar kategorisinde yeterli sayıda enjeksiyon nesnesi vardır: bu, herhangi bir demetin bir enjeksiyon demetinin bir alt tabakası olduğu anlamına gelir. Grothendieck'in bu sonucu, bir jeneratör kategorinin (açıkça yazılabilir ve ilgili alt nesne sınıflandırıcı ). Bu, herhangi bir soldaki tam işlevin sağdan türetilmiş işlevlerinin var olduğunu ve kanonik izomorfizme kadar benzersiz olduğunu göstermek için yeterlidir.

Teknik amaçlar için, enjeksiyon kasnakları genellikle yukarıda bahsedilen diğer kasnak sınıflarından daha üstündür: diğer sınıfların yapabildiği hemen hemen her şeyi yapabilirler ve teorileri daha basit ve daha geneldir. Aslında, enjekte kasnaklar gevşektir (matara), yumuşak ve döngüsel değildir. Bununla birlikte, diğer kasnak sınıflarının doğal olarak ortaya çıktığı durumlar vardır ve bu özellikle somut hesaplama durumlarında doğrudur.

İkili konsept, çıkıntılı kasnaklar, çok kullanılmaz, çünkü genel bir kasnak kategorisinde bunlardan yeterli sayıda yoktur: her demet, yansıtmalı demetin bölümü değildir ve özellikle yansıtmalı kararlar her zaman mevcut değildir. Örneğin, kasnaklar kategorisine bakıldığında durum budur. projektif uzay Zariski topolojisinde. Bu, tam bir sağ işlevin (Tor gibi) soldan türetilmiş işlevlerini tanımlamaya çalışırken sorunlara neden olur. Bu bazen geçici yollarla yapılabilir: örneğin, Tor'un soldan türetilmiş fonktörleri, yansıtmalı bir çözüm yerine düz bir çözünürlük kullanılarak tanımlanabilir, ancak bunun çözünürlükten bağımsız olduğunu göstermek için biraz çalışma gerekir. Tüm kasnak kategorileri bu problemle karşılaşmaz; örneğin, bir kasnak kategorisi afin şema yeterli projektif içerir.

Asiklik kasnaklar

Bir çevrimsiz demet ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ bitmiş X tüm yüksek demet kohomoloji gruplarının yok olacağı bir şeydir.

Herhangi bir demetin kohomoloji grupları, herhangi bir döngüsel olmayan çözünürlüğünden hesaplanabilir (bu, De Rham-Weil teoremi ).

İnce kasnaklar

Bir güzel demet bitmiş X "birlik bölümleri "; daha doğrusu mekanın herhangi bir açık kapağı için X 1 toplamı ile demetten kendisine bir homomorfizm ailesi bulabiliriz, öyle ki her bir homomorfizm açık kapağın bazı öğelerinin dışında 0'dır.

İnce kasnaklar genellikle yalnızca parakompakt Hausdorff uzayları X. Tipik örnekler, böyle bir boşluk üzerinde sürekli gerçek değerli fonksiyonların mikropları veya düz (paracompact Hausdorff) bir manifold üzerindeki pürüzsüz fonksiyonlar veya bu halka demetleri üzerindeki modüllerdir. Ayrıca, parakompakt Hausdorff boşlukları üzerindeki ince kasnaklar yumuşak ve döngüsel değildir.

Alexander-Spanier çözünürlüğünü kullanarak ince kasnaklarla pürüzsüz bir manifold üzerinde bir demet çözünürlüğü bulunabilir.^[1]

Bir uygulama olarak, gerçek bir manifold X. Sabit destenin aşağıdaki çözünürlüğü vardır ${ displaystyle mathbb {R}}$ ince demetlerle (pürüzsüz) diferansiyel formlar:

{ displaystyle 0 - mathbb {R} - C_ {X} ^ {0} - C_ {X} ^ {1} - cdots - C_ {X} ^ { dim X} - 0 .}

Bu bir çözümdür, yani tam bir kasnak kompleksi tarafından Poincaré lemma. Kohomolojisi X değerleri ile ${ displaystyle mathbb {R}}$ bu nedenle, küresel olarak tanımlanmış diferansiyel formlar kompleksinin kohomolojisi olarak hesaplanabilir:

{ displaystyle H ^ {i} (X, mathbb {R}) = H ^ {i} (C_ {X} ^ { bullet} (X)).}

Yumuşak kasnaklar

Bir yumuşak demet ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ bitmiş X herhangi bir bölümün herhangi bir kapalı alt kümesi X küresel bir bölüme genişletilebilir.

Yumuşak kasnaklar, parakompakt Hausdorff uzayları üzerinde döngüsel değildir.

Flasque veya gevşek kasnaklar

Bir şişe demeti (ayrıca a gevşek demet) bir demet ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ aşağıdaki özelliğe sahip: eğer ${ displaystyle X}$ temel topolojik uzay demetinin tanımlandığı ve

{ displaystyle U subseteq V subseteq X}

vardır alt kümeleri aç, sonra kısıtlama haritası

{ displaystyle r_ {U subseteq V}: Gama (V, { mathcal {F}}) ila Gama (U, { mathcal {F}})}

dır-dir örten, bir harita olarak grupları (yüzükler, modüller, vb.).

Flasque kasnaklar kullanışlıdır çünkü (tanım gereği) bölümleri genişler. Bu, kullanım açısından en basit kasnaklardan bazıları oldukları anlamına gelir. homolojik cebir. Herhangi bir demet, şişenin muhtemelen süreksiz tüm bölümlerinin balon demetine kanonik bir şekilde gömülüdür. étalé alanı ve bunu tekrarlayarak herhangi bir demet için kanonik bir balon çözünürlüğü bulabiliriz. Flasque çözünürlükleri, yani, çözünürlükler flasque kasnaklar aracılığıyla, tanımlama için bir yaklaşımdır demet kohomolojisi.

Matara kasnaklar yumuşak ve döngüsel değildir.

Cep şişesi bir Fransızca İngilizceye bazen şu şekilde çevrilen kelime gevşek.

Referanslar

^ Warner, Frank W. (1983). Türevlenebilir Manifoldların ve Lie Gruplarının Temelleri - Springer. Matematikte Lisansüstü Metinler. 94. s. 186, 181, 178, 170. doi:10.1007/978-1-4757-1799-0. ISBN 978-1-4419-2820-7.

Godement, Roger (1998), Topologie algébrique ve théorie des faisceaux, Paris: Hermann, ISBN 978-2-7056-1252-8, BAY 0345092
Grothendieck, İskender (1957), "Sur quelques points d'algèbre homologique", Tohoku Matematik Dergisiİkinci Seri, 9 (2): 119–221, doi:10.2748 / tmj / 1178244839, ISSN 0040-8735, BAY 0102537
"Demet kohomolojisi ve enjeksiyon çözümleri" açık MathOverflow

[1] Warner, Frank W. (1983). Türevlenebilir Manifoldların ve Lie Gruplarının Temelleri - Springer. Matematikte Lisansüstü Metinler. 94. s. 186, 181, 178, 170. doi:10.1007/978-1-4757-1799-0. ISBN 978-1-4419-2820-7.

[1]