Iverson dirsek - Iverson bracket

İçinde matematik, Iverson dirsek, adını Kenneth E. Iverson, genelleştiren bir gösterimdir Kronecker deltası, ifadenin Iverson parantezi olan $x = y$ . Herhangi birini eşler Beyan içine işlevi of serbest değişkenler içinde, ifadenin doğru olduğu değişkenlerin değerleri için bir değerini alır, aksi takdirde sıfır değerini alır. Genellikle ifadenin köşeli parantez içine konmasıyla gösterilir:

{ displaystyle [P] = { başla {vakalar} 1 & { text {if}} P { text {true;}} 0 & { text {aksi halde.}} end {case}}}

Bağlamında özet, gösterim herhangi bir toplamı sınırsız bir sonsuz toplam olarak yazmak için kullanılabilir: ${ displaystyle P (k)}$ tamsayının herhangi bir özelliği ${ displaystyle k}$ ,

{ displaystyle toplamı _ {k} f (k) , [P (k)] = toplamı _ {P (k)} f (k).}

Bu kongre ile bir özetin ${ displaystyle f (k) [{ textbf {yanlış}}]}$ ne olursa olsun 0 olarak değerlendirilmelidir ${ displaystyle f (k)}$ tanımlanmıştır. Aynı şekilde Ürün:% s:

{ displaystyle prod _ {k} f (k) ^ {[P (k)]} = prod _ {P (k)} f (k).}

Gösterim başlangıçta tarafından tanıtıldı Kenneth E. Iverson onun programlama dilinde APL,^[1]^[2] parantez içine alınmış tek ilişkisel operatörlerle sınırlı olsa da, keyfi ifadelere genelleme, köşeli parantezlere notasyonel kısıtlama ve toplama uygulamaları tarafından savunulmuştur. Donald Knuth parantezli mantıksal ifadelerde belirsizliği önlemek için.^[3]

Özellikleri

Iverson parantezlerindeki aritmetik, mantık ve set işlemleri arasında doğrudan bir ilişki vardır. Örneğin, izin ver Bir ve B setler ve ${ displaystyle P (k_ {1}, noktalar)}$ tamsayıların herhangi bir özelliği; o zaman bizde var

{ displaystyle { başlar {hizalı} [] [P land Q] & = [P] [Q], qquad [ neg P] = 1- [P]. [1em] [P lor Q ] & = [P] + [Q] - [P] [Q]. [1em] [k A] + [k B'de] & = [k A cup B] + [k A cap B'de]. [1em] [x A cap B'de] & = [x in A] [x in B]. [1em] [ forall m . P (k, m)] & = prod _ {m} [P (k, m)]. [1em] [ var m . P (k, m)] & = min { Büyük ( } 1, toplam _ {m} [P (k, m)] { Büyük)} = 1- prod _ {m} left (1- [P (k, m)] sağ). [1em] # {m mid P (k, m) } & = toplam _ {m} [P (k, m)]. Uç {hizalı}}}

Örnekler

Gösterim, toplama işleminin (veya integrallerin) sınır koşullarını ayrı bir faktör olarak toplama işleminin etrafındaki boşluğu serbest bırakarak, ancak daha da önemlisi cebirsel olarak manipüle edilmesine izin vererek, toplamların (veya integrallerin) sınır koşullarının toplanmaya taşınmasına izin verir.

Çift sayma kuralı

Iverson parantezlerini kullanarak mekanik olarak iyi bilinen bir toplam işleme kuralı türetiyoruz:

{ displaystyle { başlar {hizalı} toplamı _ {k in A} f (k) + toplamı _ {k B} f (k) & = toplamı _ {k} f (k) , [A'da k ] + toplamı _ {k} f (k) , [k B'de] & = toplam _ {k} f (k) , ([k A'da] + [ k B'de]) & = toplamı _ {k} f (k) , ([k A cup B'de] + [k A cap B'de]) & = toplam _ {k in A cup B} f (k) + sum _ {k in A cap B} f (k). end {hizalı}}}

Toplama değişimi

İyi bilinen kural ${ displaystyle textstyle toplam _ {j = 1} ^ {n} , toplamı _ {k = 1} ^ {j} f (j, k) = toplam _ {k = 1} ^ {n} , toplam _ {j = k} ^ {n} f (j, k)}$ aynı şekilde kolayca türetilir:

{ displaystyle { başla {hizalı} toplam _ {j = 1} ^ {n} , toplam _ {k = 1} ^ {j} f (j, k) & = toplam _ {j, k } f (j, k) , [1 leq j leq n] , [1 leq k leq j] & = toplamı _ {j, k} f (j, k) , [ 1 leq k leq j leq n] & = toplam _ {j, k} f (j, k) , [1 leq k leq n] , [k leq j leq n ] & = toplam _ {k = 1} ^ {n} , toplam _ {j = k} ^ {n} f (j, k). uç {hizalı}}}

Sayma

Örneğin, Euler phi işlevi bu, pozitif tamsayıların sayısını sayar n hangileri coprime -e n ile ifade edilebilir

{ displaystyle phi (n) = toplamı _ {i = 1} ^ {n} [ gcd (i, n) = 1], qquad { text {for}} n in mathbb {N} ^ {+}.}

Özel durumların basitleştirilmesi

Iverson parantezinin başka bir kullanımı, özel durumlar ile denklemleri basitleştirmektir. Örneğin formül

{ displaystyle toplamı _ {1 leq k leq n atop gcd (k, n) = 1} ! ! k = { frac {1} {2}} n varphi (n)}

için geçerlidir $n > 1$ ama kapalı 1/2 için $n = 1$ . Tüm pozitif tam sayılar için geçerli bir kimlik elde etmek için $n$ (yani tüm değerler ${ displaystyle phi (n)}$ tanımlanır), Iverson dirseğini içeren bir düzeltme terimi eklenebilir:

{ displaystyle toplamı _ {1 leq k leq n atop gcd (k, n) = 1} ! ! k = { frac {1} {2}} n ( varphi (n) + [n = 1])}

Ortak işlevler

Pek çok ortak işlev, özellikle doğal bir parçalı tanıma sahip olanlar, Iverson parantezi cinsinden ifade edilebilir. Kronecker deltası notasyon, koşul eşitlik olduğunda Iverson notasyonunun özel bir durumudur. Yani,

{ displaystyle delta _ {ij} = [i = j].}

gösterge işlevi, genellikle belirtilir ${ displaystyle mathbf {1} _ {A} (x)}$ , ${ displaystyle mathbf {I} _ {A} (x)}$ veya ${ displaystyle chi _ {A} (x)}$ , koşul olarak set üyeliğine sahip bir Iverson braketidir:

{ displaystyle mathbf {I} _ {A} (x) = [x , A]}

.

Heaviside adım işlevi, işaret fonksiyonu,^[1] ve mutlak değer işlevi de bu gösterimde kolayca ifade edilir:

{ displaystyle { begin {align} H (x) & = [x geq 0], operatorname {sgn} (x) & = [x> 0] - [x <0], end {hizalı }}}

ve

{ displaystyle { başlar {hizalı} | x | & = x [x> 0] -x [x <0] & = x ([x> 0] - [x <0]) & = x cdot operatöradı {sgn} (x). end {hizalı}}}

Karşılaştırma fonksiyonları max ve min (iki bağımsız değişkenden büyük veya küçük olanı döndüren) şu şekilde yazılabilir:

{ displaystyle max (x, y) = x [x> y] + y [x leq y]}

ve

{ displaystyle min (x, y) = x [x leq y] + y [x> y]}

.

zemin ve tavan fonksiyonları olarak ifade edilebilir

{ displaystyle lfloor x rfloor = sum _ {n} n cdot [n leq x

ve

{ displaystyle lceil x rceil = toplam _ {n} n cdot [n-1

indeks nerede ${ displaystyle n}$ toplamının tüm tam sayıları kapsadığı anlaşılmaktadır.

rampa işlevi ifade edilebilir

{ displaystyle R (x) = x cdot [x geq 0].}

trichotomi Gerçeklerin yüzdesi aşağıdaki kimliğe eşdeğerdir:

{ displaystyle [a b] = 1.}

Möbius işlevi özelliğe sahiptir (ve yineleme ile tanımlanabilir:^[4])

{ displaystyle toplamı _ {d | n} mu (d) = [n = 1].}

Genel işlevler açısından formülasyon

1830'larda Guglielmo dalla Sommaja ifadeyi kullandı ${ displaystyle 0 ^ {0 ^ {x}}}$ şimdi ne yazılacağını temsil etmek için ${ displaystyle [x> 0]}$ ; dalla Sommaja gibi varyantları da kullandı ${ displaystyle sol (1-0 ^ {0 ^ {- x}} sağ) sol (1-0 ^ {0 ^ {x-a}} sağ)}$ için ${ displaystyle [0 leq x leq a]}$ .^[3]Birini takip ediyorum ortak sözleşme, bu miktarlar tanımlandığında eşittir: ${ displaystyle 0 ^ {0 ^ {x}}}$ 1 ise $x$ > 0, eğer 0 $x$ = 0, aksi takdirde tanımsızdır.