Dört Bilinmeyen Yeşim Aynası - Jade Mirror of the Four Unknowns

Jade'deki Çizimler Dört Bilinmeyen Aynası

Jia Xian üçgeni

Dört Bilinmeyen Yeşim Aynası,^[1] Siyuan yujian (四 元 玉 鉴) olarak da anılır Dört Kökenin Yeşim Aynası,^[2] Yuan hanedanı matematikçisinin 1303 matematik monografisidir Zhu Shijie.^[3] Zhu bununla Çin cebirini geliştirdi Magnum opus.

Kitap bir giriş ve toplam 288 problem içeren üç kitaptan oluşmaktadır. Girişteki ilk dört problem onun dört bilinmeyen yöntemini göstermektedir. Sözlü olarak ifade edilen bir problemin, dört bilinmeyen kullanarak (14. sıraya kadar) bir polinom denklem sistemine nasıl dönüştürüleceğini gösterdi: 天 Cennet, 地 Dünya, 人 İnsan, 物 Madde ve sonra sistemi nasıl bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılmasıyla bir bilinmeyen içindeki tek bir polinom denklemi. Daha sonra yüksek mertebeden denklemi şu şekilde çözdü: Güney Şarkısı hanedan matematikçisi Qin Jiushao Shùshū Jiǔzhāng'de yayınlanan "Ling long kai fang" yöntemi (“Dokuz Bölümde Matematiksel İnceleme ”) 1247'de (İngiliz matematikçiden 570 yıldan fazla önce William Horner sentetik bölme kullanan yöntemi). Bunu yapmak için, Paskal üçgeni tarafından keşfedilen eski bir yöntemin diyagramı olarak etiketlediği Jia Xian 1050'den önce.

Zhu ayrıca kare ve küp kök problemlerini ikinci dereceden ve kübik denklemleri çözerek çözdü ve seriler ve ilerlemelerin anlaşılmasına katkıda bulundu, bunları Pascal üçgeninin katsayılarına göre sınıflandırdı. Ayrıca sistemlerin nasıl çözüleceğini de gösterdi. doğrusal denklemler katsayılarının matrisini indirgeyerek çapraz biçim. Yöntemleri daha önceye dayanıyor Blaise Pascal, William Horner ve modern matris metotları yüzyıllardır. Kitabın önsözü, Zhu'nun bir matematik öğretmeni olarak 20 yıl boyunca Çin'i nasıl gezdiğini anlatıyor.

Dört Bilinmeyen Yeşim Aynası 24 sınıf ve 288 problem içeren, 232 problemin ele alındığı dört kitaptan oluşmaktadır. Tian yuan shu, 36 problem iki değişkenli değişken, 13 problem ve dört değişkenli 7 problem ile ilgilidir.

Giriş

Bir Dik Açı Üçgenin Dört Büyüklüğünün Toplamının Karesi

Dört miktar x, y, z, w aşağıdaki şema ile sunulabilir

x

y 太w

z

Karesi:

a: "go" taban b "gu" dikey c "Xian" hipotenüsü

Üniter Nebüller

Bu bölüm, Tian yuan shu ya da bilinmeyen birinin sorunları.

Soru: Ürünün ürünü verildiğinde Huangfan ve zhi ji 24 adıma eşittir ve dikey ve hipotenüs toplamı 9 adıma eşittir, tabanın değeri nedir?

Cevap: 3 adım

Kurmak üniter tian baz olarak (yani baz bilinmeyen miktar olsun x)

Ürününden beri Huangfang ve zhi ji = 24

içinde

huangfan ： olarak tanımlanır${ displaystyle (a + b-c)}$^[4]

zhi ji：${ displaystyle ab}$

bu nedenle ${ displaystyle (a + b-c) ab = 24}$

Ayrıca, dikey ve hipotenüsün toplamı

${ displaystyle b + c = 9}$

Bilinmeyeni kur üniter tian dikey olarak

${ displaystyle x = a}$

Aşağıdaki denklemi elde ediyoruz

（${ displaystyle x ^ {5} -9x ^ {4} -81x ^ {3} + 729x ^ {2} = 3888}$）

太

Bunu çözün ve x = 3 elde edin

İki Doğanın Gizemi

太 Üniter

denklem: ${ displaystyle -2y ^ {2} -xy ^ {2} + 2xy + 2x ^ {2} y + x ^ {3} = 0}$;

verilenden

太

denklem: ${ displaystyle 2y ^ {2} -xy ^ {2} + 2xy + x ^ {3} = 0}$;

biz alırız:

太

${ displaystyle 8x + 4x ^ {2} = 0}$

ve

太

${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {3} = 0}$

eleme yöntemi ile ikinci dereceden bir denklem elde ederiz

${ displaystyle x ^ {2} -2x-8 = 0}$

çözüm: ${ displaystyle x = 4}$.

Üç Yeteneğin Evrimi

Üç bilinmeyen sorunun çözümü için şablon

Zhu Shijie, eleme yöntemini ayrıntılı olarak açıkladı. Örneği bilimsel literatürde sıklıkla alıntılanmıştır.^[5][6][7]

Aşağıdaki gibi üç denklem oluşturun

太

${ displaystyle -y-z-y ^ {2} x-x + xyz = 0}$ .... BEN

${ displaystyle -y-z + x-x ^ {2} + xz = 0}$..... II

太

${ displaystyle y ^ {2} -z ^ {2} + x ^ {2} = 0;}$.... III

II ve III arasında bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması

değişkenlerin değişimi ile

Elde ederiz

太

${ displaystyle -x-2x ^ {2} + y + y ^ {2} + xy-xy ^ {2} + x ^ {2} y}$ ... IV

ve

太

${ displaystyle -2x-2x ^ {2} + 2y-2y ^ {2} + y ^ {3} + 4xy-2xy ^ {2} + xy ^ {2}}$.... V

IV ve V arasındaki bilinmeyenlerin ortadan kaldırılması 3. mertebeden bir denklem elde ederiz

${ displaystyle x ^ {4} -6x ^ {3} + 4x ^ {2} + 6x-5 = 0}$

Elde etmek için bu 3. dereceden denklemi çözün ${ displaystyle x = 5}$ ;

Değişkenleri geri değiştirin

Hipotenüsü elde ederiz = 5 adım

Eşzamanlı Dört Unsur

Bu bölüm, dört bilinmeyenin eşzamanlı denklemlerini ele almaktadır.

Dört Elementin Denklemleri

${ displaystyle { başlasın {durum} -2y + x + z = 0 - y ^ {2} x + 4y + 2x-x ^ {2} + 4z + xz = 0 x ^ {2} + y ^ {2} -z ^ {2} = 0 2y-w + 2x = 0 end {vakalar}}}$

Bilinmeyenlerin art arda ortadan kaldırılması

${ displaystyle 4x ^ {2} -7x-686 = 0}$

Bunu çözün ve 14 adım elde edin

Kitap I

Dik Açı Üçgen ve Dikdörtgen Problemleri

Bu bölümde 18 problem var.

Sorun 18

Onuncu dereceden bir polinom denklemi elde edin:

${ displaystyle 16x ^ {10} -64x ^ {9} + 160x ^ {8} -384x ^ {7} + 512x ^ {6} -544x ^ {5} + 456x ^ {4} + 126x ^ ​​{3} + 3x ^ {2} -4x-177162 = 0}$

Kökü olan x = 3, 4 ile çarpın, 12 elde edin. Bu son cevap.

Uçak Figürleri Sorunları

Bu bölümde 18 problem var

Parça Malların Sorunları

Bu bölümde 9 problem var

Tahıl Depolamasında Sorunlar

Bu bölümde 6 problem var

Emekle İlgili Sorunlar

Bu bölümde 7 problem var

Kesirli Kökler için Denklem Problemleri

Bu bölümde 13 problem var

Kitap II

Karışık Sorunlar

Dairelerin ve Karelerin Kapsamı

Alanlarla İlgili Sorunlar

Dik Açılı Üçgenlerle Ölçme

Bu bölümde sekiz problem var

Problem 1

Soru: Her iki yanında birer kapısı olan, boyutu bilinmeyen dikdörtgen bir kasaba var. Güney kapısından 240 adım ötede bir pagoda bulunmaktadır. Batı kapısından 180 adım ilerleyen bir adam pagodayı görebilir, sonra güneydoğu köşesine doğru 240 adım yürür ve pagodaya ulaşır; Dikdörtgen kasabanın uzunluğu ve genişliği nedir Cevap: 120 adım uzunluğunda ve bir litrelik genişlikte

Uzunluğun yarısı kadar tian yuan üniter olsun, 4. mertebeden bir denklem elde ederiz

${ displaystyle x ^ {4} + 480x ^ {3} -270000x ^ {2} + 15552000x + 1866240000 = 0}$^[8]

çöz ve elde et x= 240 adım, dolayısıyla uzunluk = 2x = 480 adım = 1 li ve 120paces.

Benzerlik, tian yuan birim (x) genişliğin yarısına eşit olsun

denklemi alıyoruz:

${ displaystyle x ^ {4} + 360x ^ {3} -270000x ^ {2} + 20736000x + 1866240000 = 0}$^[9]

Elde etmek için çözün x= 180 adım, uzunluk = 360 adım = bir li.

Problem 7

Özdeş Bir uçurumun derinliği (dolayısıyla ileri çapraz çubukları kullanarak) içinde Haidao Suanjing.

Sorun 8

Özdeş Şeffaf bir havuzun derinliği içinde Haidao Suanjing.

Saman Yığınları

Ok Demetleri

Arazi Ölçümü

Erkekleri İhtiyaca Göre Çağır

Problem No 5, dünyadaki en eski 4. dereceden interpolasyon formülüdür

erkekler çağırdı:${ displaystyle na + { tfrac {1} {2!}} n (n-1) b + { tfrac {1} {3!}} n (n-1) (n-2) c + { tfrac {1 } {4!}} N (n-1) (n-2) (n-3) d}$^[10]

İçinde

• a= 1. sıra farkı
• b= 2. derece fark
• c= 3. sıra farkı
• d= 4. sıra farkı

Kitap III

Meyve yığını

Bu bölüm, üçgen kazıklar, dikdörtgen kazıklar ile ilgili 20 problem içermektedir.

Problem 1

Üçgen yığının toplamını bulun

${ displaystyle 1 + 3 + 6 + 10 + ... + { frac {1} {2}} n (n + 1)}$

ve meyve yığınının değeri:

${ displaystyle v = 2 + 9 + 24 + 50 + 90 + 147 + 224 + cdots + { frac {1} {2}} n (n + 1) ^ {2}}$

Zhu Shijie, x = n'ye izin vererek bu sorunu çözmek için Tian yuan shu'yu kullanır.

ve formülü elde etti

${ displaystyle v = { frac {1} {2 cdot 3 cdot 4}} (3x + 5) x (x + 1) (x + 2)}$

Verilen koşuldan ${ displaystyle v = 1320}$dolayısıyla

${ displaystyle 3x ^ {4} + 14x ^ {3} + 21x ^ {2} + 10x-31680 = 0}$^[11]

Elde etmek için çözün ${ displaystyle x = n = 9}$.

Bu nedenle,

${ displaystyle v = 2 + 9 + 24 + 50 + 90 + 147 + 224 + 324 + 450 = 1320}$。

Şekildeki Şekiller

Eşzamanlı denklemler

İki bilinmeyenin denklemi

Sol ve sağ

Üç Bilinmeyen Denklemi

Dört Bilinmeyen Denklemi

Dört bilinmeyen altı problem.

soru 2

Dört bilinmeyen içinde bir dizi denklem elde edin:.^[12]

${ displaystyle { begin {case} -3y ^ {2} + 8y-8x + 8z = 0 4y ^ {2} -8xy + 3x ^ {2} -8yz + 6xz + 3z ^ {2} = 0 y ^ {2} + x ^ {2} -z ^ {2} = 0 2y + 4x + 2z-w = 0 end {durum}}}$

Referanslar

Kaynaklar