K-bir kategori teorisi - K-theory of a category - Wikipedia

İçinde cebirsel Kteori, K-bir teori kategori C (genellikle bir tür ek veri ile donatılmıştır) bir dizi değişmeli gruplar Kben(C) onunla ilişkili. Eğer C bir değişmeli kategori, fazladan veriye ihtiyaç yoktur, ancak genel olarak yalnızca üzerinde belirttikten sonra K-teorisinden bahsetmek mantıklıdır. C bir yapı tam kategori veya a Waldhausen kategorisi veya a dg kategorisi veya muhtemelen diğer bazı varyantlar. Dolayısıyla, bu grupların çeşitli yapılara karşılık gelen çeşitli yapıları vardır. C. Geleneksel olarak, K-teorisi C dır-dir tanımlı uygun bir yapının sonucu olabilir, ancak bazı bağlamlarda daha kavramsal tanımlar vardır. Örneğin, K- teori, dg kategorilerinin 'evrensel toplamsal değişmezi'dir[1] ve küçük kararlı ∞ kategorileri.[2]

Bu fikir için motivasyon kaynağı cebirsel K-teorisi nın-nin yüzükler. Bir yüzük için R Daniel Quillen içinde Quillen (1973) daha yüksek K-teorisini bulmak için iki eşdeğer yol tanıttı. artı inşaat ifade eder Kben(R) açısından R doğrudan, ancak işlevsellik gibi temel olanlar da dahil olmak üzere sonucun özelliklerini kanıtlamak zordur. Diğer bir yol, tam kategorisini düşünmektir. projektif modüller bitmiş R ve ayarlamak Kben(R) kullanılarak tanımlanan bu kategorinin K-teorisi olmak Q-yapı. Bu yaklaşımın daha yararlı olduğu ve diğer kategorilere de uygulanabileceği kanıtlandı. Sonra Friedhelm Waldhausen içinde Waldhausen (1985) K-teorisi kavramını, kategorisi de dahil olmak üzere çok farklı kategorilere genişletti. topolojik uzaylar.

Waldhausen kategorilerinin K-teorisi

Cebirde, S-yapı bir inşaat cebirsel K-teorisi daha yüksek K gruplarını tanımlamak için kullanılabilecek bir model üretir. Nedeniyle Friedhelm Waldhausen ve kofibrasyonları ve zayıf eşdeğerlikleri olan bir kategoriyle ilgilidir; böyle bir kategoriye a Waldhausen kategorisi ve Quillen'in tam kategori. Bir ortak titreşim, bir monomorfizm ve kofibrasyonları olan bir kategori, kabaca konuşursak, monomorfizmlerin altında kararlı olduğu bir kategoridir. itme.[3] Waldhausen'e göre, "S", Graeme B. Segal.[4]

Aksine Q-yapı topolojik bir uzay üreten S-yapısı, bir basit küme.

Detaylar

ok kategorisi bir kategorinin C nesneleri içinde morfizm olan bir kategoridir C ve morfizmi kareler olan C. Sonlu sıralı bir kümeye izin ver olağan şekilde bir kategori olarak görülebilir.

İzin Vermek C kofibrasyonlar içeren bir kategori olun ve nesneleri işlevsel olan bir kategori olmak öyle ki, için , , bir uyumlaştırmadır ve itme ve . Kategori bu şekilde tanımlanan, kofibrasyonları olan bir kategoridir. Dolayısıyla, diziyi oluşturan yapı yinelenebilir.. Bu sekans bir spektrum aradı K-teorisi spektrumu nın-nin C.

Toplamsallık teoremi

Kategorilerin cebirsel K-teorisinin en temel özellikleri, aşağıdaki önemli teoremin sonucudur.[5] Tüm mevcut ayarlarda bunun versiyonları var. İşte Waldhausen kategorileri için bir açıklama. Özellikle, yinelenen S-yapısıyla elde edilen uzay dizisinin bir Ω-spektrum.

İzin Vermek C olmak Waldhausen kategorisi. Uzantı kategorisi nesneler olarak dizileri vardır içinde C, ilk haritanın bir kofibrasyon olduğu ve bölüm haritasıdır, yani bir dışarı itmek sıfır haritası boyunca birincisinin Bir0. Bu kategori doğal bir Waldhausen yapısına sahiptir ve unutkan görevli itibaren -e C × C saygı duyar. toplamsallık teoremi K-teorisi uzaylarında indüklenmiş haritanın bir homotopi eşdeğeridir.[6]

İçin dg kategorileri ifade benzer. İzin Vermek C küçük bir önceden belirlenmiş dg kategorisi olmak yarı ortogonal ayrışma . Daha sonra K-teorisi spektrumları K (C) → K (C1) ⊕ K (C2) bir homotopi eşdeğeridir.[7] Aslında, K-teorisi bu toplamsallık özelliğini sağlayan evrensel bir işlevdir ve Morita değişmezliği.[1]

Sonlu kümelerin kategorisi

Kategorisini düşünün işaretlendi sonlu kümeler. Bu kategoride bir nesne var her biri için doğal sayı kve bu kategorideki morfizmler fonksiyonlardır sıfır elementi koruyan. Bir teoremi Barratt, Priddy ve Quillen bu kategorinin cebirsel K-teorisinin bir küre spektrumu.[4]

Çeşitli

Daha genel olarak soyut kategori teorisinde, bir kategorinin K-teorisi bir tür kategorize etme Bir kümenin, bir kararlı (∞, 1) kategorisindeki nesnelerin eşdeğerlik sınıfından oluşturulduğu, kümenin öğeleri bir Abelian grubu yapıdan kesin diziler kategorisinde.[8]

Grup tamamlama yöntemi

Grothendieck grubu inşaat, halkalar kategorisinden değişmeli gruplar kategorisine bir işlevdir. Daha yüksek K- teori bu durumda, halkalar kategorisinden, ancak daha yüksek nesneler kategorisine bir işlev görmelidir. basit değişmeli gruplar.

Topolojik Hochschild homolojisi

Waldhausen cebirden bir iz haritası fikrini ortaya attı K-bir yüzük teorisi Hochschild homolojisi; bu harita aracılığıyla, K-Hochschild homolojisinden teori. Bökstedt, bu izleme haritasını çarpanlara ayırarak halkanın Hochschild homolojisi olarak bilinen bir functor fikrine yol açtı. Eilenberg – MacLane spektrumu.[9]

Basit bir halkanın K-teorisi

Eğer R sabit bir basit halkadır, bu durumda bu aynı şeydir K-bir yüzük teorisi.


Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ a b Tabuada Goncalo (2008). "Daha yüksek K- evrensel değişmezler yoluyla teori ". Duke Matematiksel Dergisi. 145 (1): 121–206. arXiv:0706.2420. doi:10.1215/00127094-2008-049.
  2. ^ *Blumberg, Andrew J; Gepner, David; Tabuada, Gonçalo (2013-04-18). "Daha yüksek cebirsel K-teorisinin evrensel bir karakterizasyonu". Geometri ve Topoloji. 17 (2): 733–838. arXiv:1001.2282. doi:10.2140 / gt.2013.17.733. ISSN  1364-0380.
  3. ^ Boyarchenko, Mitya (4 Kasım 2007). "K-simetrik bir spektrum olarak Waldhausen kategorisi teorisi " (PDF).
  4. ^ a b Dundas, Bjørn Ian; Goodwillie, Thomas G .; McCarthy Randy (2012-09-06). Cebirsel K-Teorisinin Yerel Yapısı. Springer Science & Business Media. ISBN  9781447143932.
  5. ^ Staffeldt Ross (1989). "Cebirsel K-teorisinin temel teoremleri üzerine". K-teorisi. 2 (4): 511–532. doi:10.1007 / bf00533280.
  6. ^ Weibel, Charles (2013). "Bölüm V: Yüksek K-teorisinin Temel Teoremleri". K-kitabı: cebirsel K-teorisine giriş. Matematik Yüksek Lisans Çalışmaları. 145. AMS.
  7. ^ Tabuada, Gonçalo (2005). "Değişkenler ek kategoriler". Uluslararası Matematik Araştırma Bildirimleri. 2005 (53): 3309–3339. arXiv:matematik / 0507227. Bibcode:2005math ...... 7227T. doi:10.1155 / IMRN.2005.3309.
  8. ^ "NLab'de K-teorisi". ncatlab.org. Alındı 22 Ağustos 2017.
  9. ^ Schwänzl, R .; Vogt, R. M .; Waldhausen, F. (Ekim 2000). "Topolojik Hochschild Homology". Journal of the London Mathematical Society. 62 (2): 345–356. CiteSeerX  10.1.1.1020.4419. doi:10.1112 / s0024610700008929. ISSN  1469-7750.

Referanslar


daha fazla okuma

En son ∞ kategori yaklaşımı için bkz.

  • Dyckerhoff, Tobias; Kapranov, Mihail (2012-12-14). "Daha yüksek Segal uzayları I". arXiv:1212.3563 [math.AT ].