Klein geometrisi - Klein geometry - Wikipedia

İçinde matematik, bir Klein geometrisi bir tür geometri tarafından motive edilmiş Felix Klein onun nüfuzunda Erlangen programı. Daha spesifik olarak, bu bir homojen uzay X ile birlikte geçişli eylem açık X tarafından Lie grubu Ggibi davranan simetri grubu geometrinin.

Arka plan ve motivasyon için şu makaleye bakın: Erlangen programı.

Resmi tanımlama

Bir Klein geometrisi bir çift (G, H) nerede G bir Lie grubu ve H bir kapalı Lie alt grubu nın-nin G öyle ki (solda) coset alanı G/H dır-dir bağlı. Grup G denir ana grup geometri ve G/H denir Uzay geometrinin (veya terminolojinin kötüye kullanılmasıyla, basitçe Klein geometrisi). Boşluk X = G/H Klein geometrisinin bir pürüzsüz manifold boyut

sönük X = sönük G - loş H.

Doğal bir pürüzsüzlük var sol hareket nın-nin G açık X veren

Açıkça, bu işlem geçişlidir ( a = 1), böylece kişi daha sonra dikkate alabilir X olarak homojen uzay eylemi için G. stabilizatör kimlik coset HX tam olarak grup H.

Bağlı herhangi bir düz manifold verildiğinde X ve bir Lie grubunun yumuşak geçişli eylemi G açık X, ilişkili bir Klein geometrisi oluşturabiliriz (G, H) bir temel noktayı düzelterek x0 içinde X ve izin vermek H stabilizatör alt grubu olmak x0 içinde G. Grup H zorunlu olarak kapalı bir alt gruptur G ve X doğal olarak diffeomorfik -e G/H.

İki Klein geometrisi (G1, H1) ve (G2, H2) vardır geometrik olarak izomorfik eğer varsa Lie grubu izomorfizmi φ : G1G2 Böylece φ(H1) = H2. Özellikle, eğer φ dır-dir birleşme bir element tarafından gGbunu görüyoruz (G, H) ve (G, gHg−1) izomorfiktir. Homojen bir uzayla ilişkilendirilen Klein geometrisi X daha sonra izomorfizme kadar benzersizdir (yani, seçilen temel noktadan bağımsızdır) x0).

Paket açıklaması

Lie grubu verildiğinde G ve kapalı alt grup Hdoğal var doğru hareket nın-nin H açık G doğru çarpma ile verilir. Bu eylem hem ücretsizdir hem de uygun. yörüngeler sadece sol kosetler nın-nin H içinde G. Biri şu sonuca varıyor G pürüzsüz bir yapıya sahiptir müdür Hpaket sol koset boşluğunun üzerinde G/H:

Klein geometrilerinin türleri

Etkili geometriler

Eylemi G açık X = G/H etkili olmasına gerek yoktur. çekirdek Bir Klein geometrisinin eyleminin çekirdeği olarak tanımlanır G açık X. Tarafından verilir

Çekirdek K şu şekilde de tanımlanabilir: çekirdek nın-nin H içinde G (yani en büyük alt grup H yani normal içinde G). Tüm normal alt gruplar tarafından oluşturulan gruptur. G o yalan H.

Bir Klein geometrisinin etkili Eğer K = 1 ve yerel olarak etkili Eğer K dır-dir ayrık. Eğer (G, H) çekirdekli bir Klein geometrisidir K, sonra (G/K, H/K) kanonik olarak ilişkili etkili bir Klein geometrisidir (G, H).

Geometrik olarak yönlendirilmiş geometriler

Klein geometrisi (G, H) dır-dir geometrik odaklı Eğer G dır-dir bağlı. (Bu yapar değil Ima etmek G/H bir yönelimli manifold ). Eğer H bağlı mı onu takip ediyor G ayrıca bağlantılıdır (bunun nedeni G/H bağlı olduğu varsayılır ve GG/H bir liflenme ).

Herhangi bir Klein geometrisi verildiğinde (G, H), geometrik olarak yönlendirilmiş bir geometri vardır. (G, H) aynı taban alanı ile G/H. Bu geometri (G0, G0H) nerede G0 ... kimlik bileşeni nın-nin G. Bunu not et G = G0 H.

İndirgeyici geometriler

Klein geometrisi (G, H) olduğu söyleniyor indirgeyici ve G/H a indirgeyici homojen alan Eğer Lie cebiri nın-nin H var H-de değişken tamamlayıcı .

Örnekler

Aşağıdaki tabloda, Klein geometrileri olarak modellenen klasik geometrilerin bir açıklaması bulunmaktadır.

Temel alanDönüşüm grubu GAlt grup HDeğişmezler
Projektif geometriGerçek yansıtmalı alan Projektif grup Bir alt grup tamir etmek bayrak Projektif çizgiler, çapraz oran
Konformal geometri küre üzerindeKüre Lorentz grubu bir boyutlu uzay Bir alt grup tamir etmek hat içinde boş koni Minkowski metriğininGenelleştirilmiş çevreler, açılar
Hiperbolik geometriHiperbolik uzay , modellenmiş, ör. zaman benzeri çizgiler olarak Minkowski alanı Orthochronous Lorentz grubu Çizgiler, daireler, mesafeler, açılar
Eliptik geometriEliptik uzay, modellenmiş ör. başlangıçtaki çizgiler gibi Öklid uzayı Çizgiler, daireler, mesafeler, açılar
Küresel geometriKüre Ortogonal grup Ortogonal grup Çizgiler (büyük daireler), daireler, noktaların mesafeleri, açılar
Afin geometriAfin uzay Afin grubu Genel doğrusal grup Çizgiler, geometrik şekillerin yüzey alanlarının oranı, kütle merkezi nın-nin üçgenler
Öklid geometrisiÖklid uzayı Öklid grubu Ortogonal grup Mesafeler puan, açıları nın-nin vektörler, alanlar

Referanslar

  • R.W. Sharpe (1997). Diferansiyel Geometri: Cartan'ın Klein'ın Erlangen Programına Genellemesi. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94732-9.