Kuratowski yakınsaması - Kuratowski convergence

İçinde matematik, Kuratowski yakınsaması bir kavramdır yakınsama için diziler (veya daha genel olarak, ağlar ) nın-nin kompakt alt kümeler nın-nin metrik uzaylar, adını Kazimierz Kuratowski. Sezgisel olarak, bir dizi setin Kuratowski sınırı, setlerin bulunduğu yerdir "biriktirmek ".

Tanımlar

İzin Vermek (X, d) olmak metrik uzay, nerede X bir settir ve d noktalar arasındaki mesafenin fonksiyonudur X.

Herhangi bir nokta için x ∈ X Ve herhangi biri boş değil kompakt alt küme Bir ⊆ X, nokta ve alt küme arasındaki mesafeyi tanımlayın:

{displaystyle d (x, A) = inf {d (x, a) | ain A}}

.

Bu tür alt kümelerin herhangi bir dizisi için Bir_n ⊆ X, n ∈ N, Kuratowski alt sınır (veya alt kapalı limit) nın-nin Bir_n gibi n → ∞

{displaystyle mathop {mathrm {Li}} _ {n o infty} A_ {n} = sol {xin Xleft | limsup _ {n o infty} d (x, A_ {n}) = 0ight.ight}}

{displaystyle = left {xin Xleft | {egin {matrix} {mbox {for all open sems}} U {mbox {of}} x, Ucap A_ {n} eq emptyset {mbox {for large yeterince}} nend {matris }} ight.ight};}

Kuratowski üst sınırı (veya üst kapalı limit) nın-nin Bir_n gibi n → ∞

{displaystyle mathop {mathrm {Ls}} _ {n o infty} A_ {n} = sol {xin Xleft | liminf _ {n o infty} d (x, A_ {n}) = 0ight.ight}}

{displaystyle = sol {xin Xleft | {egin {matrix} {mbox {tüm açık mahalleler için}} U {mbox {of}} x, Ucap A_ {n} eq boş küme {mbox {sonsuz sayıda}} nend {matris }} ight.ight}.}

Kuratowski, alt ve üst katılıma sınırlarsa (yani, aynı alt kümedir. X), daha sonra ortak değerlerine Kuratowski sınırı setlerin Bir_n gibi n → ∞ ve Lt olarak gösterilir_n→∞Bir_n.

Genel bir kompakt alt kümeler ağı için tanımlar X geçmek gerekli değişiklikler yapılarak.

Özellikleri

Kuratowski'nin alt sınırının, mesafelerin üstündeki sınırı içerdiği sezgisel görünse de, ve tersineherhangi bir dizi dizisi için, isimlendirme daha açık hale gelir.

{displaystyle mathop {mathrm {Li}} _ {n o infty} A_ {n} subseteq mathop {mathrm {Ls}} _ {n o infty} A_ {n}.}

Yani alt sınır, küçük kümedir ve sınır büyük olandan üstündür.

Üst ve alt kapalı limit terimleri, Li'nin_n→∞Bir_n ve Ls_n→∞Bir_n her zaman kapalı kümeler metrik topolojide (X, d).

Ilgili kavramlar

Metrik uzaylar için X şunlara sahibiz:

Kuratowski yakınsaması, yakınsama ile çakışıyor Topoloji düştü.
Kuratowski yakınsaması, yakınsamadan daha zayıftır Vietoris topolojisi.
Kuratowski yakınsaması, yakınsamadan daha zayıftır Hausdorff metriği.
Kompakt metrik uzaylar için XKuratowski yakınsaması, hem Hausdorff metriğindeki yakınsama hem de Vietoris topolojisiyle çakışır.
Kuratowksi yakınsaması kitabeler Genişletilmiş gerçek değerli fonksiyonların oranı şuna eşdeğerdir: ${displaystyle Gamma}$ yakınsama bu işlevlerin.

Örnekler

İzin Vermek Bir_n günahın sıfır kümesi olun (nx) bir fonksiyonu olarak x itibaren R kendisine

{displaystyle A_ {n} = {ig {} xin mathbf {R} {ig |} günah (nx) = 0 {ig}}.}

Sonra Bir_n Kuratowski anlamında tüm gerçek çizgiye birleşir R. Bu durumda bunu gözlemleyin Bir_n kompakt olması gerekmez.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Kuratowski, Kazimierz (1966). Topoloji. Cilt I ve II. Yeni baskı, revize edildi ve artırıldı. J. Jaworowski tarafından Fransızcadan çevrilmiştir. New York: Akademik Basın. s. xx + 560. BAY0217751

Bira, Gerald (1993). Kapalı ve kapalı konveks kümelerdeki topolojiler. Matematik ve Uygulamaları. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. s. xii + 340.