Lagranges teoremi (sayı teorisi) - Lagranges theorem (number theory) - Wikipedia

İçinde sayı teorisi, Lagrange teoremi adını taşıyan bir ifadedir Joseph-Louis Lagrange ne sıklıkla polinom üzerinde tamsayılar sabit bir önemli. Daha doğrusu, eğer p bir asal sayıdır ve tamsayı katsayıları olan bir polinomdur, o zaman ya:

  • her katsayısı f(x) ile bölünebilir pveya
  • f(x) ≡ 0 (mod p) en fazla derece f(x) uyumsuz çözümler

nerede derece f(x) ... derece nın-nin f(x). Çözümler, birden fazla farklılık göstermiyorsa "uyumsuzdur". p. Eğer modül asal değildir, o zaman daha fazla olması mümkündür derece f(x) çözümler.

Lagrange teoreminin bir kanıtı

İki temel fikir aşağıdaki gibidir. İzin Vermek g(x) ∈ (Z/p)[x] elde edilen polinom olmak f(x) katsayıları alarak mod p. Şimdi:

  1. f(k) ile bölünebilir p ancak ve ancak g(k) = 0; ve
  2. g(x) en fazla derece g(x) kökler.

Daha kesin olarak, şunu not ederek başlayın g(x) = 0 ancak ve ancak her katsayısı f(x) ile bölünebilir p. Varsaymak g(x) ≠ 0; derecesi bu nedenle iyi tanımlanmıştır. Görmek kolay derece g(x) ≤ derece f(x). Kanıtlamak için (1), önce hesaplayabileceğimize dikkat edin g(k) ya doğrudan, yani fişe takarak ( kalıntı sınıfı nın-nin) k ve aritmetik yapmak Z/pveya azaltarak f(k) mod p. Bu nedenle g(k) = 0 ancak ve ancak f(k) ≡ 0 (mod p), yani eğer ve sadece f(k) ile bölünebilir p. (2) 'yi kanıtlamak için şunu unutmayın: Z/p bir alan, bu standart bir gerçektir (hızlı bir kanıt, p asal Z/p sonlu integral alan, dolayısıyla bir alandır). Bir başka standart gerçek de, bir alan üzerindeki sıfır olmayan bir polinomun derecesi kadar en fazla köke sahip olmasıdır; bu, bölme algoritması.

Son olarak, iki çözümün f(k1) ≡ f(k2) ≡ 0 (mod p) uyuşmazsa ve ancak (mod p). Her şeyi bir araya getirirsek, (1) 'e göre uyumsuz çözümlerin sayısı, köklerin sayısı ile aynıdır g(x)(2) ile en fazla derece g(x)en fazla olan derece f(x).

Referanslar

  • LeVeque, William J. (2002) [1956]. Sayı Teorisindeki Konular, Cilt I ve II. New York: Dover Yayınları. s.42. ISBN  978-0-486-42539-9. Zbl  1009.11001.
  • Tattersall, James J. (2005). Dokuz Bölümde Temel Sayılar Teorisi (2. baskı). Cambridge University Press. s. 198. ISBN  0-521-85014-2. Zbl  1071.11002.