Laguerre polinomları - Laguerre polynomials - Wikipedia

İçinde matematik, Laguerre polinomları, adını Edmond Laguerre (1834–1886), Laguerre denklemi:

ikinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri vardır, ancak n negatif olmayan bir tamsayıdır.

Bazen isim Laguerre polinomları çözümleri için kullanılır

nerede n hala negatif olmayan bir tamsayıdır. genelleştirilmiş Laguerre polinomlarıburada yapılacağı gibi (alternatif olarak ilişkili Laguerre polinomları veya nadiren Sonin polinomları, mucitlerinden sonra[1] Nikolay Yakovlevich Sonin ).

Daha genel olarak, bir Laguerre işlevi ne zaman bir çözüm n negatif olmayan bir tam sayı olması gerekmez.

Laguerre polinomları ayrıca Gauss kuadratürü formun integrallerini sayısal olarak hesaplamak için

Bu polinomlar, genellikle gösterilir L0L1, ..., bir polinom dizisi tarafından tanımlanabilir Rodrigues formülü,

bir sonraki bölümün kapalı formuna indirgemek.

Onlar ortogonal polinomlar ile ilgili olarak iç ürün

Laguerre polinomlarının dizisi n! Ln bir Sheffer dizisi,

kale polinomları kombinatoriklerde değişkenlerin temel değişikliklerine kadar Laguerre polinomları ile aşağı yukarı aynıdır. Ayrıca bkz. Tricomi – Carlitz polinomları.

Laguerre polinomları, kuantum mekaniğinde, çözümün radyal kısmında ortaya çıkar. Schrödinger denklemi tek elektronlu bir atom için. Ayrıca osilatör sistemlerinin statik Wigner fonksiyonlarını da açıklarlar. faz uzayında kuantum mekaniği. Daha da ötesi, kuantum mekaniğine girerler. Mors potansiyeli ve 3D izotropik harmonik osilatör.

Fizikçiler bazen Laguerre polinomları için bir faktör kadar daha büyük olan bir tanım kullanırlar. n! burada kullanılan tanımdan daha fazla. (Benzer şekilde, bazı fizikçiler sözde ilişkili Laguerre polinomlarının biraz farklı tanımlarını kullanabilir.)

İlk birkaç polinom

Bunlar ilk birkaç Laguerre polinomu:

n
0
1
2
3
4
5
6
n
İlk altı Laguerre polinomu.

Özyinelemeli tanım, kapalı form ve oluşturma işlevi

İlk iki polinomu şöyle tanımlayarak Laguerre polinomlarını özyinelemeli olarak da tanımlayabiliriz.

ve sonra aşağıdakileri kullanarak Tekrarlama ilişkisi herhangi k ≥ 1:

Bazı sınır değeri problemlerinin çözümünde, karakteristik değerler faydalı olabilir:

kapalı form dır-dir

oluşturma işlevi onlar için de aynı şekilde şöyledir:

Negatif indeksin polinomları, pozitif indeksi olanlar kullanılarak ifade edilebilir:

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları

Keyfi gerçek α için diferansiyel denklemin polinom çözümleri[2]

arandı genelleştirilmiş Laguerre polinomlarıveya ilişkili Laguerre polinomları.

İlk iki polinomu şu şekilde tanımlayarak genelleştirilmiş Laguerre polinomlarını özyinelemeli olarak tanımlayabiliriz.

ve sonra aşağıdakileri kullanarak Tekrarlama ilişkisi herhangi k ≥ 1:

Basit Laguerre polinomları özel durumdur α = 0 genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının:

Rodrigues formülü onlar için

oluşturma işlevi onlar için

İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları, Ln(k)(x)

Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının açık örnekleri ve özellikleri

genelleştirilmiş binom katsayısı. Ne zaman n fonksiyonun bir derece polinomuna indirgediği bir tamsayıdır n. Alternatif ifadesi var[4]
açısından Kummer'in ikinci tür işlevi.
  • Derecenin bu genelleştirilmiş Laguerre polinomları için kapalı form n dır-dir[5]
uygulayarak elde edildi Leibniz'in bir ürünün farklılaşması için teoremi Rodrigues'in formülüne.
  • İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları şunlardır:
  • Eğer α negatif değildir, o zaman Ln(α) vardır n gerçek, kesinlikle olumlu kökler (dikkat edin bir Sturm zinciri ), bunların tümü Aralık [kaynak belirtilmeli ]
  • Polinomların büyükler için asimptotik davranışı nama düzeltildi α ve x > 0, tarafından verilir[6][7]
ve özetleyen
nerede ... Bessel işlevi.

Kontur integrali olarak

Yukarıda belirtilen oluşturma işlevi göz önüne alındığında, polinomlar, bir kontur integrali

kontur, 1'deki temel tekilliği kapsamadan, başlangıç ​​noktasını saat yönünün tersine bir kez çevrelediği

Tekrarlama ilişkileri

Laguerre polinomları için toplama formülü:[8]

.

Laguerre'nin polinomları tekrarlama ilişkilerini karşılar

özellikle

ve

veya

Dahası

Dört 3 puanlık kuralı türetmek için kullanılabilirler

bu ek, yararlı tekrarlama ilişkilerini verirler

Dan beri derecenin monik bir polinomudur içinde ,orada kısmi kesir ayrışması

İkinci eşitlik, tamsayı için geçerli olan aşağıdaki kimliği izler ben ve n ve ifadesinden hemen açısından Charlier polinomları:

Üçüncü eşitlik için bu bölümün dördüncü ve beşinci kimlikleri uygulayın.

Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının türevleri

Genelleştirilmiş bir Laguerre polinomunun kuvvet serisi temsilini farklılaştırma k zamanlar yol açar

Bu özel bir duruma işaret ediyor (α = 0) yukarıdaki formülde: tamsayı için α = k genelleştirilmiş polinom yazılabilir

tarafından vardiya k bazen bir türevin normal parantez gösterimi ile karışıklığa neden olur.

Dahası, aşağıdaki denklem geçerlidir:

ile genelleyen Cauchy'nin formülü -e

İkinci değişkene göre türev α formu var,[9]

Bu, aşağıdaki kontur integral gösteriminden anlaşılmaktadır.

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları diferansiyel denklemlere uyar

tarafından uyulan denklem ile karşılaştırılabilir kSıradan Laguerre polinomunun türevi,

nerede sadece bu denklem için.

İçinde Sturm-Liouville formu diferansiyel denklem

bunu gösterir L(α)
n
özdeğer için bir özvektördür n.

Diklik

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları, üzerinde ortogonaldir. [0, ∞) ağırlıklandırma fonksiyonu ile ölçüme göre xα ex:[10]

sonra gelen

Eğer Gama dağılımını gösterir, ardından ortogonalite ilişkisi şöyle yazılabilir

İlişkili, simetrik çekirdek polinomu temsillere sahiptir (Christoffel-Darboux formülü )[kaynak belirtilmeli ]

tekrarlı

Dahası,[açıklama gerekli N sonsuza giderken sınırlanır mı?]

Turán eşitsizlikleri buradan türetilebilir, bu da

Aşağıdaki integrale, kuantum mekanik işleminde ihtiyaç vardır. hidrojen atomu,

Seri genişletmeler

Bir fonksiyonun (biçimsel) seri genişlemesine sahip olmasına izin verin

Sonra

Seri, ilişkili olarak birleşir Hilbert uzayı L2[0, ∞) ancak ve ancak

Diğer genişletme örnekleri

Tek terimli olarak temsil edilmektedir

süre iki terimli parametreleştirmeye sahip olmak

Bu doğrudan yol açar

üstel fonksiyon için. eksik gama işlevi Temsile sahip

Kuantum mekaniğinde

Kuantum mekaniğinde Schrödinger denklemi hidrojen benzeri atom değişkenlerin küresel koordinatlarda ayrılmasıyla tam olarak çözülebilir. Dalga fonksiyonunun radyal kısmı (genelleştirilmiş) bir Laguerre polinomudur.[11]

Vibronik geçişler Franck-Condon yaklaşımında, Laguerre polinomları kullanılarak da açıklanabilir.[12]

Çarpma teoremleri

Erdélyi aşağıdaki ikisini verir çarpma teoremleri [13]

Hermite polinomlarına İlişki

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları, Hermite polinomları:

nerede Hn(x) Hermite polinomları ağırlıklandırma işlevi exp (-x2), sözde "fizikçi versiyonu".

Bu nedenle, genelleştirilmiş Laguerre polinomları, kuantum harmonik osilatör.

Hipergeometrik fonksiyonlarla ilişki

Laguerre polinomları şu terimlerle tanımlanabilir: hipergeometrik fonksiyonlar özellikle birleşik hipergeometrik fonksiyonlar, gibi

nerede ... Pochhammer sembolü (bu durumda, artan faktöryel temsil eder).

Hardy – Hille formülü

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları Hardy – Hille formülünü karşılar[14][15]

soldaki serinin birleştiği yer ve . Kimliği kullanma

(görmek genelleştirilmiş hipergeometrik fonksiyon ), bu şu şekilde de yazılabilir:

Bu formül bir genellemedir Mehler çekirdeği için Hermite polinomları, yukarıda verilen Laguerre ve Hermite polinomları arasındaki ilişkiler kullanılarak ondan kurtarılabilir.

Ayrıca bakınız

  • Angelescu polinomları
  • Enine mod, bir dalga kılavuzu veya lazer ışını profili içindeki alan yoğunluğunu tanımlamak için Laguerre polinomlarının önemli bir uygulaması.

Notlar

  1. ^ N. Sonine (1880). "Cilindriques ve développement des fonctions üzerinde yeniden yapılanma seri olarak devam ediyor". Matematik. Ann. 16 (1): 1–80. doi:10.1007 / BF01459227.
  2. ^ A&S s. 781
  3. ^ A&S s. 509
  4. ^ A&S s. 510
  5. ^ A&S s. 775
  6. ^ Szegő, s. 198.
  7. ^ D. Borwein, J. M. Borwein, R. E. Crandall, "Etkili Laguerre asimptotikleri", SIAM J. Numer. Anal., cilt. 46 (2008), hayır. 6, s. 3285–3312 doi:10.1137 / 07068031X
  8. ^ A&S denklemi (22.12.6), s. 785
  9. ^ Koepf, Wolfram (1997). "Ortogonal polinom aileleri için özdeşlikler ve özel fonksiyonlar". İntegral Dönüşümler ve Özel Fonksiyonlar. 5 (1–2): 69–102. CiteSeerX  10.1.1.298.7657. doi:10.1080/10652469708819127.
  10. ^ "İlişkili Laguerre Polinomu".
  11. ^ Ratner, Schatz, Mark A., George C. (2001). Kimyada Kuantum Mekaniği. 0-13-895491-7: Prentice Hall. s. 90–91.CS1 Maint: konum (bağlantı)
  12. ^ Jong, Mathijs de; Seijo, Luis; Meijerink, Andries; Rabouw Freddy T. (2015-06-24). "Stokes kayması ile Huang-Rhys parametresi arasındaki ilişkideki belirsizliği çözme". Fiziksel Kimya Kimyasal Fizik. 17 (26): 16959–16969. doi:10.1039 / C5CP02093J. ISSN  1463-9084.
  13. ^ C. Truesdell, "Özel Fonksiyonlar İçin Toplama ve Çarpma Teoremleri Hakkında ", Ulusal Bilimler Akademisi, Matematik Bildirileri, (1950) s. 752–757.
  14. ^ Szegő, s. 102.
  15. ^ W.A. Al-Salam (1964), "Laguerre ve diğer polinomlar için operasyonel temsiller", Duke Math J. 31 (1): 127–142.

Referanslar

Dış bağlantılar