Lamberts sorunu - Lamberts problem - Wikipedia

İçinde gök mekaniği, Lambert'in sorunu 18. yüzyılda ortaya çıkan iki konum vektöründen ve uçuş zamanından bir yörüngenin belirlenmesi ile ilgilenir. Johann Heinrich Lambert ve resmi olarak matematiksel kanıtla çözüldü Joseph-Louis Lagrange. Buluşma, hedefleme, rehberlik ve ön yörünge belirleme alanlarında önemli uygulamaları vardır.[1]

Merkezi bir yerçekimi kuvvetinin etkisi altındaki bir cismin noktadan hareket ettiğinin gözlemlendiğini varsayalım. P1 konik yörüngesinde, bir noktaya P2 bir süre içinde T. Uçuş zamanı, Lambert teoremine göre diğer değişkenlerle ilgilidir ve bu teorem:

Bir konik yörünge üzerinde iki nokta arasında hareket eden bir cismin transfer süresi, sadece iki noktanın kuvvetin başlangıcına olan mesafelerinin toplamının, noktalar arasındaki doğrusal mesafenin ve koniğin yarı büyük ekseninin bir fonksiyonudur.[2]

Başka bir deyişle, Lambert'in sorunu sınır değer problemi için diferansiyel denklem

of iki cisim sorunu bir cismin kütlesi sonsuz küçük olduğunda; iki cisim sorununun bu alt kümesi, Kepler yörüngesi.

Lambert'in probleminin kesin formülasyonu aşağıdaki gibidir:

İki farklı zaman ve iki konum vektörü verilmiştir.

Çözüm bul yukarıdaki diferansiyel denklemi tatmin etmek için

İlk geometrik analiz

Şekil 1: cazibe merkezidir, vektöre karşılık gelen noktadır , ve vektöre karşılık gelen noktadır
Şekil 2: Noktalarla birlikte hiperbol ve odaklar geçerken
Şekil 3: Noktalı elips ve odaklar geçerken ve

Üç nokta

cazibe merkezi
vektöre karşılık gelen nokta ,
vektöre karşılık gelen nokta ,

vektörler tarafından tanımlanan düzlemde bir üçgen oluşturur ve Şekil 1'de gösterildiği gibi. Noktalar arasındaki mesafe ve dır-dir noktalar arasındaki mesafe ve dır-dir ve noktalar arasındaki mesafe ve dır-dir . Değer hangi noktalara bağlı olarak pozitif veya negatif ve bu noktadan en uzak . Çözülmesi gereken geometrik problem, hepsini bulmaktır. elipsler noktaların üzerinden geçen ve ve odak noktasında

Puanlar , ve tanımla hiperbol noktadan geçmek odak noktalarında ve . Nokta belirtisine bağlı olarak hiperbolün solunda veya sağında bulunur . Bu hiperbolün yarı ana ekseni ve eksantriklik dır-dir . Bu hiperbol, şekil 2'de gösterilmektedir.

Bağıl hiperbolün ana ve küçük ekseni tarafından tanımlanan normal kanonik koordinat sistemi, denklemi

ile

Hiperbolün aynı dalındaki herhangi bir nokta için mesafeler arasındaki fark işaret etmek ve işaret etmek dır-dir

Herhangi bir nokta için hiperbol karşılık gelen ilişkinin diğer dalında

yani

Ancak bu, puanların ve her ikisi de odak noktalarına sahip elips üzerindedir ve ve yarı büyük eksen

Rasgele seçilen bir noktaya karşılık gelen elips Şekil 3'te gösterilmektedir.

Varsayılan bir eliptik transfer yörüngesi için çözüm

İlki, sahip olma durumlarını ayırır. yörünge direği yöne veya yönünde . İlk durumda transfer açısı ilk geçiş için aralıkta olacak ve ikinci durumda aralıkta olacak . Sonra geçmeye devam edecek her yörünge devrimi.

Durumunda sıfırdır, yani ve zıt yönlere sahiptir, karşılık gelen çizgiyi içeren tüm yörünge düzlemleri eşit derecede yeterlidir ve transfer açısı ilk geçiş için olacak .

Herhangi ile tarafından oluşturulan üçgen , ve Şekil 1'deki gibi

ve yukarıda tartışılan hiperbolün yarı büyük ekseni (işaretli!)

Hiperbol için eksantriklik (işaretli!)

ve yarı küçük eksen

Noktanın koordinatları hiperbol için kanonik koordinat sistemine göreli (unutmayın ki işaretine sahip )

nerede

Noktanın y koordinatını kullanma hiperbolün diğer kolunda serbest parametre olarak x koordinatı olduğunu unutmayın işaretine sahip )

Noktalardan geçen elipsin yarı büyük ekseni ve odaklara sahip olmak ve dır-dir

Odaklar arasındaki mesafe

ve eksantriklik sonuç olarak

Gerçek anormallik noktada hareketin yönüne bağlıdır, yani olumlu veya olumsuzdur. Her iki durumda da biri buna sahiptir

nerede

yönündeki birim vektördür -e kanonik koordinatlarda ifade edilir.

Eğer o zaman olumlu

Eğer o zaman olumsuz

İle

  • yarı büyük eksen
  • eksantriklik
  • başlangıçtaki gerçek anormallik

y parametresinin bilinen fonksiyonları olması, gerçek anomalinin miktarla artma süresi y'nin bilinen bir fonksiyonudur. Eğer eliptik bir Kepler yörüngesi ile elde edilebilen aralık içindedir, karşılık gelen y değeri, daha sonra yinelemeli bir algoritma kullanılarak bulunabilir.

Özel durumda (veya çok yakın) ve iki dallı hiperbol, aradaki hatta tek bir ortogonal çizgiye bozulur. ve denklem ile

Denklemler (11) ve (12) daha sonra değiştirilir

(14) ile değiştirilir

ve (15) ile değiştirilir

Sayısal örnek

Şekil 4: Transfer süresi şunlarla birlikte: r1 = 10000 km: r2 = 16000 km: α = 120 ° bir fonksiyonu olarak y ne zaman y −20000 km ile 50000 km arasında değişir. Transfer süresi 20741 saniyeden, y = −20000 km ila 2856 saniye ile y = 50000 km. 2856 saniye ile 20741 saniye arasındaki herhangi bir değer için Lambert'in problemi bir y-20000 km ile 50000 km arasındaki değer

Dünya merkezli bir Kepler yörüngesi için aşağıdaki değerleri kabul edin

  • r1 = 10000 km
  • r2 = 16000 km
  • α = 100°

Bunlar, şekil 1, 2 ve 3'e karşılık gelen sayısal değerlerdir.

Parametrenin seçilmesi y 30000 km'de, yerçekimi sabitinin olduğu varsayılarak 3072 saniyelik bir transfer süresi elde edilir. = 398603 km3/ s2. İlgili yörünge elemanları

  • yarı ana eksen = 23001 km
  • eksantriklik = 0.566613
  • zaman zaman gerçek anormallik t1 = −7.577°
  • zaman zaman gerçek anormallik t2 = 92.423°

Bu y-değer, Şekil 3'e karşılık gelir.

İle

  • r1 = 10000 km
  • r2 = 16000 km
  • α = 260°

kişi ters yönde hareketle aynı elipsi alır, yani

  • zaman zaman gerçek anormallik t1 = 7.577°
  • zaman zaman gerçek anormallik t2 = 267.577° = 360° − 92.423°

ve 31645 saniyelik bir transfer süresi.

Radyal ve teğetsel hız bileşenleri daha sonra formüllerle hesaplanabilir (bkz. Kepler yörüngesi makale)

Transfer süreleri P1 -e P2 diğer değerler için y Şekil 4'te gösterilmektedir.

Pratik uygulamalar

Lambert'in problemini çözmek için bu algoritmanın en tipik kullanımı kesinlikle gezegenler arası görevlerin tasarımı içindir. Örneğin, Dünya'dan Mars'a giden bir uzay aracının, ilk yaklaşımda, fırlatma anındaki Dünya konumundan varış anında Mars konumuna kadar bir helikopter merkezli eliptik Kepler yörüngesini izlediği düşünülebilir. Bu heliosentrik Kepler yörüngesinin ilk ve son hız vektörünü Dünya ve Mars için karşılık gelen hız vektörleriyle karşılaştırarak, Mars'ta yakalama için gerekli olan fırlatma enerjisi ve gereken manevraların oldukça iyi bir tahmini elde edilebilir. Bu yaklaşım, genellikle yamalı konik yaklaşım.

Bu aynı zamanda bir yöntemdir yörünge belirleme. Bir uzay aracının farklı zamanlarda iki konumu iyi bir hassasiyetle biliniyorsa (örneğin, Küresel Konumlama Sistemi sabit) bu algoritma ile tam yörünge türetilebilir, yani bir enterpolasyon ve bu iki konum sabitinin bir ekstrapolasyonu elde edilir.

Açık kaynak kodu

MATLAB central'dan

PyKEP, uzay uçuş mekaniği ve astrodinamik için bir Python kitaplığı (Lambert'in çözücüsünü içerir, C ++ ile uygulanır ve boost python aracılığıyla python'a maruz kalır)

Referanslar

  1. ^ E. R. Lancaster ve R. C. Blanchard, Lambert Teoreminin Birleşik Formu Goddard Uzay Uçuş Merkezi, 1968
  2. ^ James F. Jordon, Lambert Teoreminin Gezegenler Arası Transfer Problemlerinin Çözümüne Uygulanması, Jet Tahrik Laboratuvarı, 1964

Dış bağlantılar

Bir afin lens aracılığıyla Lambert teoremi. Alain Albouy tarafından kaleme alınan, Lambert sorununa ilişkin modern bir tartışma ve tarihsel bir zaman çizelgesi içeren makale. arXiv:1711.03049

Lambert'in Sorununu Yeniden İncelemek. Dario Izzo'nun makalesi, hesaplama açısından daha verimli iken, ev sahibi yinelemeli yöntemi için Gooding'in Prosedürü kadar doğru olan doğru bir tahmin sağlamak için bir algoritma içerir. doi:10.1007 / s10569-014-9587-y