Laplace – Beltrami operatörü - Laplace–Beltrami operator

Öklid uzayında tanımlanan herhangi bir iki türevlenebilir gerçek değerli fonksiyon için f Rⁿ, Laplace operatörü (olarak da bilinir Laplacian) f alır uyuşmazlık onun gradyan vektör alanı, f'nin her bir ortonormal temele göre n saniye türevlerinin toplamıdır. Rⁿ. Nın alanında diferansiyel geometri, bu operatör Öklid uzayında altmanifoldlar üzerinde tanımlanan fonksiyonlar üzerinde çalışmak üzere genelleştirilmiştir ve daha genel olarak, Riemanniyen ve sözde Riemanniyen manifoldlar. Bu daha genel operatör, daha sonra Laplace – Beltrami operatörü adıyla anılır. Pierre-Simon Laplace ve Eugenio Beltrami. Laplacian gibi, Laplace-Beltrami operatörü de gradyanın sapması olarak tanımlanır ve fonksiyonları fonksiyonlara alan doğrusal bir operatördür. Operatör, kovaryant türevin ıraksaması olarak tensörler üzerinde çalışmak üzere genişletilebilir. Alternatif olarak, operatör, diverjans ve harici türev kullanılarak diferansiyel formlar üzerinde çalışmak üzere genelleştirilebilir. Ortaya çıkan operatöre Laplace – de Rham operatörü denir (adını Georges de Rham ).

Detaylar

Laplace – Beltrami operatörü, Laplacian gibi, uyuşmazlık of gradyan:

${ displaystyle Delta f = nabla cdot nabla f.}$

Açık bir formül yerel koordinatlar mümkün.

Önce varsayalım ki M bir yönelimli Riemann manifoldu. Oryantasyon, kişinin kesin bir hacim formu açık M, yönlendirilmiş bir koordinat sisteminde verilir x^ben tarafından

${ displaystyle operatorname {vol} _ {n}: = { sqrt {| g |}} ; dx ^ {1} wedge cdots wedge dx ^ {n}}$

nerede |g| : = | det (g_ij)| ... mutlak değer of belirleyici of metrik tensör, ve dx^ben bunlar 1-formlar oluşturan ikili temel temel vektörlere

${ displaystyle kısmi _ {i}: = { frac { kısmi} { kısmi x ^ {i}}}}$

teğet uzayın ${ displaystyle T_ {p} M}$ ve ${ displaystyle dilim}$ ... kama ürünü.

Bir vektör alanının diverjansı X manifold üzerinde daha sonra özelliği ile skaler fonksiyon olarak tanımlanır

${ displaystyle ( nabla cdot X) operatorname {vol} _ {n}: = L_ {X} operatorname {vol} _ {n}}$

nerede L_X ... Lie türevi boyunca Vektör alanı X. Yerel koordinatlarda elde edilen

${ displaystyle nabla cdot X = { frac {1} { sqrt {| g |}}} kısmi _ {i} sol ({ sqrt {| g |}} X ^ {i} sağ )}$

nerede Einstein gösterimi tekrarlanan dizinin ben özetlenmiştir.

Skaler fonksiyonun gradyanı, grad vektör alanıdır f ile tanımlanabilir iç ürün ${ displaystyle langle cdot, cdot rangle}$ manifold üzerinde

${ displaystyle langle operatöradı {grad} f (x), v_ {x} rangle = df (x) (v_ {x})}$

tüm vektörler için v_x noktaya demirli x içinde teğet uzay T_xM manifoldun noktasında x. Buraya, dƒ dış türev fonksiyonun ƒ; 1-form alma argümanıdır v_x. Yerel koordinatlarda, birinin

${ displaystyle sol ( operatöradı {derece} f sağ) ^ {i} = kısmi ^ {i} f = g ^ {ij} kısmi _ {j} f}$

nerede g^ij metrik tensörün tersinin bileşenleridir, böylece g^ijg_jk = δ^ben_k ile δ^ben_k Kronecker deltası.

Gradyan ve diverjans tanımlarını birleştiren, bir skaler fonksiyon için uygulanan Laplace – Beltrami operatörü için formül, yerel koordinatlarda

${ displaystyle Delta f = { frac {1} { sqrt {| g |}}} kısmi _ {i} sol ({ sqrt {| g |}} g ^ {ij} kısmi _ { j} f sağ).}$

Eğer M yönlendirilmezse, yukarıdaki hesaplama tam olarak sunulduğu gibi gerçekleştirilir, ancak hacim formu yerine bir hacim öğesi (bir yoğunluk bir form yerine). Ne gradyan ne de ıraksama aslında oryantasyon seçimine bağlıdır ve bu nedenle Laplace-Beltrami operatörünün kendisi bu ek yapıya bağlı değildir.

Biçimsel öz-eşlilik

Dış türev d ve −∇. biçimsel bitişiktir, anlamında ƒ kompakt olarak desteklenen bir işlev

${ displaystyle int _ {M} df (X) operatöradı {hacim} _ {n} = - int _ {M} f nabla cdot X operatöradı {hacim} _ {n}}$     (kanıt)

son eşitliğin bir uygulaması olduğu Stokes teoremi. İkileştirme verir

${ displaystyle int _ {M} f , Delta h , operatorname {vol} _ {n} = - int _ {M} langle df, dh rangle , operatorname {hacim} _ { n}}$

(2)

kompakt olarak desteklenen tüm işlevler için ƒ ve h. Tersine, (2), Laplace – Beltrami işlecini bu özelliğe sahip tek operatör olması anlamında tamamen karakterize eder.

Sonuç olarak, Laplace-Beltrami operatörü negatiftir ve resmi olarak kendine eşleniktir, yani kompakt bir şekilde desteklenen fonksiyonlar için ƒ ve h,

${ displaystyle int _ {M} f , Delta h operatöradı {vol} _ {n} = - int _ {M} langle df, dh rangle operatöradı {vol} _ {n} = int _ {M} h , Delta f operatöradı {cilt} _ {n}.}$

Laplace – Beltrami operatörü, bu şekilde tanımlandığı gibi, pozitif olmaktan çok negatif olduğundan, genellikle zıt işaretle tanımlanır.

Laplace-Beltrami operatörünün özdeğerleri (Lichnerowicz-Obata teoremi)

M, sınırsız bir Riemann manifoldunu göstersin. Özdeğer denklemini düşünmek istiyoruz,

${ displaystyle - Delta u = lambda u,}$

nerede ${ displaystyle u}$ ... özfonksiyon özdeğer ile ilişkili ${ displaystyle lambda}$. Özdeğerlerin yukarıda ispatlanan öz-eşlülük kullanılarak gösterilebilir. ${ displaystyle lambda}$ Gerçek mi. M manifoldunun kompaktlığı, özdeğerlerin ayrık olduğunu ve ayrıca, belirli bir özdeğer ile ilişkili özfonksiyonların vektör uzayını göstermeye izin verir. ${ displaystyle lambda}$yani eigenspace hepsi sonlu boyutludur. Sabit fonksiyonu bir özfonksiyon olarak alarak şunu elde ederiz: ${ displaystyle lambda = 0}$ bir özdeğerdir. Ayrıca düşündüğümüzden beri ${ displaystyle - Delta}$ parçalara göre bir entegrasyon gösteriyor ki ${ displaystyle lambda geq 0}$. Daha doğrusu, özdeğer eqn ile çarparsak. özfonksiyon yoluyla ${ displaystyle u}$ ve elde edilen eqn'yi entegre edin. açık ${ displaystyle M}$ (gösterimi kullanarak ${ displaystyle dV = operatöradı {vol} _ {n}}$)

${ displaystyle - int _ {M} Delta u u dV = lambda int _ {M} u ^ {2} dV}$

Parçalara göre bir entegrasyon gerçekleştirmek veya kullanmakla aynı şey diverjans teoremi soldaki terimde ve o zamandan beri ${ displaystyle M}$ sınırımız yok

${ displaystyle - int _ {M} Delta u u dV = int _ {M} | nabla u | ^ {2} dV}$

Son iki denklemi bir araya getirerek ulaşıyoruz

${ displaystyle int _ {M} | nabla u | ^ {2} dV = lambda int _ {M} u ^ {2} dV}$

Son denklemden şu sonuca varıyoruz: ${ displaystyle lambda geq 0}$.

Temel bir sonucu Andre Lichnerowicz ^[1] şunu belirtir: bir özet verildiğinde n-boyutlu Riemann manifoldu ile sınır olmadan ${ displaystyle n geq 2}$. Varsayalım Ricci eğriliği alt sınırı karşılar:

${ displaystyle operatorname {Ric} (X, X) geq kappa g (X, X), kappa> 0,}$

nerede ${ displaystyle g ( cdot, cdot)}$ metrik tensör ve ${ displaystyle X}$ manifold üzerindeki herhangi bir teğet vektör ${ displaystyle M}$. Sonra ilk pozitif özdeğer ${ displaystyle lambda _ {1}}$ özdeğer denkleminin% 50'si alt sınırı karşılar:

${ displaystyle lambda _ {1} geq { frac {n} {n-1}} kappa.}$

Bu alt sınır keskindir ve küre üzerinde elde edilir ${ displaystyle mathbb {S} ^ {n}}$. Aslında ${ displaystyle mathbb {S} ^ {2}}$ için eigenspace ${ displaystyle lambda _ {1}}$ üç boyutludur ve koordinat fonksiyonlarının kısıtlamasıyla genişler ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$ itibaren ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ -e ${ displaystyle mathbb {S} ^ {2}}$. Küresel koordinatları kullanma ${ displaystyle ( theta, phi)}$, üzerinde ${ displaystyle mathbb {S} ^ {2}}$ iki boyutlu küre, set

${ displaystyle x_ {3} = cos phi = u_ {1},}$

aşağıda gösterilen küresel Laplacian formülünden kolaylıkla görüyoruz.

${ displaystyle - Delta _ { mathbb {S} ^ {2}} u_ {1} = 2u_ {1}}$

Böylece Lichnerowicz teoremindeki alt sınır en az iki boyutta elde edilir.

Tersine, Morio Obata tarafından kanıtlandı,^[2] eğer n-boyutlu kompakt Riemann manifoldu, sınırsız ilk pozitif özdeğer için ${ displaystyle lambda _ {1}}$ birinde var,

${ displaystyle lambda _ {1} = { frac {n} {n-1}} kappa,}$

daha sonra manifold izometriktir nboyutlu küre ${ displaystyle mathbb {S} ^ {n} (1 / { sqrt { kappa}})}$, yarıçap küresi ${ displaystyle 1 / { sqrt { kappa}}}$. Tüm bu ifadelerin kanıtları Isaac Chavel'in kitabında bulunabilir.^[3] Benzer keskin sınırlar, diğer Geometriler için ve bu geometrilerle ilişkili bazı dejenere Laplacians için de geçerlidir. Kohn Laplacian (sonra Joseph J. Kohn ) bir kompakt üzerinde CR manifoldu. Bu tür CR manifoldlarının global olarak yerleştirilmesine yönelik uygulamalar ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}.}$ ^[4]

Tensör Laplacian

Laplace – Beltrami operatörü kullanılarak yazılabilir. iz (veya daralma) yinelenen kovaryant türev Levi-Civita bağlantısıyla ilişkili. Hessian (tensör) bir fonksiyonun ${ displaystyle f}$ simetrik 2-tensör

${ displaystyle displaystyle { mbox {Hess}} f in mathbf { Gama} ({ mathsf {T}} ^ {*} M otimes { mathsf {T}} ^ {*} M)}$, ${ displaystyle { mbox {Hess}} f: = nabla ^ {2} f equiv nabla nabla f equiv nabla mathrm {d} f}$,

nerede df gösterir (dış) türev bir fonksiyonun f.

İzin Vermek X_ben teğet vektör alanlarının temeli olabilir (bir koordinat sistemi tarafından tetiklenmesi gerekmez). Sonra bileşenleri Hess f tarafından verilir

${ displaystyle ({ mbox {Hess}} f) _ {ij} = { mbox {Hess}} f (X_ {i}, X_ {j}) = nabla _ {X_ {i}} nabla _ {X_ {j}} f- nabla _ { nabla _ {X_ {i}} X_ {j}} f}$

Her bir argümanda doğrusal olduğu için bunun tensörsel olarak dönüştüğü kolayca görülebilir. X_ben, X_j. Laplace – Beltrami operatörü daha sonra iz (veya kasılma ) metriğe göre Hessian:

${ displaystyle displaystyle Delta f: = mathrm {tr} nabla mathrm {d} f { mathsf {C}} ^ { infty} (M)} içinde$.

Daha doğrusu, bu şu anlama gelir:

${ displaystyle displaystyle Delta f (x) = toplamı _ {i = 1} ^ {n} nabla mathrm {d} f (X_ {i}, X_ {i})}$,

veya metrik açısından

${ displaystyle Delta f = sum _ {ij} g ^ {ij} ({ mbox {Hess}} f) _ {ij}.}$

İçinde soyut indeksler operatör genellikle yazılır

${ displaystyle Delta f = nabla ^ {a} nabla _ {a} f}$

örtülü olarak bu izinin aslında Hessian'ın izi olduğu anlaşılması şartıyla tensör.

Kovaryant türev kanonik olarak keyfi olarak genişlediğinden tensörler, bir tensörde tanımlanan Laplace – Beltrami operatörü T tarafından

${ displaystyle Delta T = g ^ {ij} left ( nabla _ {X_ {i}} nabla _ {X_ {j}} T- nabla _ { nabla _ {X_ {i}} X_ { j}} T sağ)}$

iyi tanımlanmıştır.

Laplace – de Rham operatörü

Daha genel olarak, bir Laplacian tanımlanabilir diferansiyel operatör paketinin bölümlerinde diferansiyel formlar bir sözde Riemann manifoldu. Bir Riemann manifoldu o bir eliptik operatör, bir Lorentzian manifoldu bu hiperbolik. Laplace – de Rham operatörü şu şekilde tanımlanır:

${ displaystyle Delta = mathrm {d} delta + delta mathrm {d} = ( mathrm {d} + delta) ^ {2}, ;}$

d nerede dış türev veya diferansiyel ve δ ... kodlayıcı, gibi davranmak (−1)^kn+n+1∗ d ∗ açık k-formlar, burada ∗ Hodge yıldızı.

Skaler bir fonksiyonda Laplace – Beltrami operatörünü hesaplarken f, sahibiz δf = 0, Böylece

${ displaystyle Delta f = delta , mathrm {d} f.}$

Bir genel işarete kadar, Laplace – de Rham operatörü, skaler bir fonksiyon üzerinde çalışırken Laplace – Beltrami operatörünün önceki tanımına eşdeğerdir; görmek kanıt detaylar için. Fonksiyonlarda, Laplace – de Rham operatörü, aslında Laplace – Beltrami operatörünün negatifidir, çünkü geleneksel normalleştirme kodlayıcı Laplace – de Rham operatörünün (resmi olarak) pozitif tanımlı Laplace – Beltrami operatörü tipik olarak negatiftir. İşaret yalnızca bir sözleşmedir ve her ikisi de literatürde yaygındır. Laplace – de Rham operatörü, çarpık simetrik tensörler üzerinde hareket etmek için kısıtlanan tensör Laplacian'dan daha belirgin bir şekilde farklıdır. Tesadüfi işaretin dışında, iki operatör bir Weitzenböck kimliği açıkça içeren Ricci eğrilik tensörü.

Örnekler

Laplace – Beltrami operatörünün birçok örneği açık bir şekilde çözülebilir.

Öklid uzayı

Normalde (ortonormal) Kartezyen koordinatları x^ben açık Öklid uzayı, metrik Kronecker deltasına indirgenmiştir ve bu nedenle biri ${ displaystyle | g | = 1}$. Sonuç olarak, bu durumda

${ displaystyle Delta f = { frac {1} { sqrt {| g |}}} kısmi _ {i} { sqrt {| g |}} kısmi ^ {i} f = kısmi _ { i} kısmi ^ {i} f}$

sıradan Laplacian olan. İçinde eğrisel koordinatlar, gibi küresel veya silindirik koordinatlar biri elde eder alternatif ifadeler.

Benzer şekilde, Laplace – Beltrami operatörü Minkowski metriği ile imza (− + + +) ... d'Alembertian.

Küresel Laplacian

Küresel Laplacian, üzerinde Laplace – Beltrami operatörüdür. (n − 1)Sabit kesitsel eğriliğin kanonik ölçüsü olan küre 1. Küreyi izometrik olarak içine gömülü olarak kabul etmek uygundur. Rⁿ birim küre başlangıç ​​noktasında ortalanmış olarak. Sonra bir işlev için f açık Sⁿ⁻¹küresel Laplacian ile tanımlanır

${ displaystyle Delta _ {S ^ {n-1}} f (x) = Delta f (x / | x |)}$

nerede f(x/|x|) fonksiyonun sıfır derece homojen uzantısıdır f -e Rⁿ - {0} ve ${ displaystyle Delta}$ Çevresel Öklid uzayının Laplacian'ıdır. Somut olarak, bu, küresel kutupsal koordinatlarda Öklid Laplasyanı için iyi bilinen formülle ifade edilir:

${ displaystyle Delta f = r ^ {1-n} { frac { kısmi} { kısmi r}} sol (r ^ {n-1} { frac { kısmi f} { kısmi r} } sağ) + r ^ {- 2} Delta _ {S ^ {n-1}} f.}$

Daha genel olarak, benzer bir hile formüle edilebilir. normal paket herhangi bir Riemann manifoldunun Laplace-Beltrami operatörünü, Öklid uzayının hiper-yüzeyi olarak izometrik olarak gömülü olarak tanımlamak.

Ayrıca bir küre üzerinde Laplace-Beltrami operatörünün içsel bir açıklaması da verilebilir. normal koordinat sistemi. İzin Vermek (ϕ, ξ) belirli bir noktaya göre küre üzerinde küresel koordinatlar olabilir p kürenin ("kuzey kutbu"), yani jeodezik kutupsal koordinatlar p. Buraya ϕ jeodezik bir birim hız boyunca enlem ölçümünü temsil eder. p, ve ξ jeodezik yön seçimini temsil eden bir parametre Sⁿ⁻¹. O zaman küresel Laplacian şu forma sahiptir:

${ displaystyle Delta _ {S ^ {n-1}} f ( xi, phi) = ( sin phi) ^ {2-n} { frac { kısmi} { kısmi phi}} left (( sin phi) ^ {n-2} { frac { kısmi f} { kısmi phi}} sağ) + ( sin phi) ^ {- 2} Delta _ { xi} f}$

nerede ${ displaystyle Delta _ { xi}}$ sıradan birimdeki Laplace – Beltrami operatörüdür (n − 2)küre. Özellikle, kutupsal koordinatlar için standart gösterimi kullanan sıradan 2-küre için şunu elde ederiz:

${ displaystyle Delta _ {S ^ {2}} f ( theta, phi) = ( sin phi) ^ {- 1} { frac { kısmi} { kısmi phi}} sol ( sin phi { frac { kısmi f} { kısmi phi}} sağ) + ( sin phi) ^ {- 2} { frac { kısmi ^ {2}} { kısmi theta ^ {2}}} f}$

Hiperbolik uzay

Benzer bir teknik çalışır hiperbolik boşluk. İşte hiperbolik uzay Hⁿ⁻¹ içine gömülebilir n boyutlu Minkowski alanı ikinci dereceden formla donatılmış gerçek bir vektör uzayı

${ displaystyle q (x) = x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} - cdots -x_ {n} ^ {2}.}$

Sonra Hⁿ Minkowski uzayında gelecek boş koninin alt kümesidir.

${ displaystyle H ^ {n} = {x orta q (x) = 1, x_ {1}> 1 }. ,}$

Sonra

${ displaystyle Delta _ {H ^ {n-1}} f = sol. Kutu f sol (x / q (x) ^ {1/2} sağ) sağ | _ {H ^ {n -1}}}$

Buraya ${ displaystyle f (x / q (x) ^ {1/2})}$ sıfır derece homojen uzantısıdır f gelecekteki boş koninin iç kısmına ve □ ... dalga operatörü

${ displaystyle Box = { frac { kısmi ^ {2}} { kısmi x_ {1} ^ {2}}} - cdots - { frac { kısmi ^ {2}} { kısmi x_ { n} ^ {2}}}.}$

Operatör ayrıca kutupsal koordinatlarda da yazılabilir. İzin Vermek (t, ξ) belirli bir noktaya göre küre üzerinde küresel koordinatlar olabilir p nın-nin Hⁿ⁻¹ (diyelim ki, merkezi Poincaré diski ). Buraya t arasındaki hiperbolik mesafeyi temsil eder p ve ξ jeodezik yön seçimini temsil eden bir parametre Sⁿ⁻². O halde hiperbolik Laplacian şu forma sahiptir:

${ displaystyle Delta _ {H ^ {n-1}} f (t, xi) = sinh (t) ^ {2-n} { frac { kısmi} { kısmi t}} sol ( sinh (t) ^ {n-2} { frac { kısmi f} { kısmi t}} sağ) + sinh (t) ^ {- 2} Delta _ { xi} f}$

nerede ${ displaystyle Delta _ { xi}}$ sıradan birimdeki Laplace – Beltrami operatörüdür (n - 2) - küre. Özellikle, kutupsal koordinatlar için standart gösterimi kullanan hiperbolik düzlem için şunu elde ederiz:

${ displaystyle Delta _ {H ^ {2}} f (r, theta) = sinh (r) ^ {- 1} { frac { kısmi} { kısmi r}} sol ( sinh ( r) { frac { kısmi f} { kısmi r}} sağ) + sinh (r) ^ {- 2} { frac { kısmi ^ {2}} { kısmi theta ^ {2} }} f}$

Ayrıca bakınız

• Kovaryant türev
• Diferansiyel geometride Laplacian operatörleri
• Laplace operatörü

Notlar

Referanslar

• Flanders, Harley (1989), Fiziksel bilimlere uygulamalarla farklı formlar, Dover, ISBN  978-0-486-66169-8
• Jost, Jürgen (2002), Riemann Geometrisi ve Geometrik Analiz, Berlin: Springer-Verlag, ISBN  3-540-42627-2.
• Solomentsev, E.D .; Shikin, E.V. (2001) [1994], "Laplace – Beltrami denklemi", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın