Katmanlı kek gösterimi - Layer cake representation

İçinde matematik, katmanlı kek gösterimi olmayanolumsuz, gerçek değerli ölçülebilir fonksiyon f üzerinde tanımlanmış alanı ölçmek ${displaystyle (Omega, {mathcal {A}}, mu)}$ formül

${displaystyle f (x) = int _ {0} ^ {infty} 1_ {L (f, t)} (x), mathrm {d} t,}$

hepsi için ${displaystyle xin Omega}$, nerede ${displaystyle 1_ {E}}$ gösterir gösterge işlevi bir alt kümenin ${displaystyle Esubseteq Omega}$ ve ${displaystyle L (f, t)}$ süper anlamına gelirSeviye seti

${displaystyle L (f, t) = {yin Omega orta f (y) geq t}.}$

Katman pastası temsili, bunu gözlemleyerek kolayca takip eder

${displaystyle 1_ {L (f, t)} (x) = 1 _ {[0, f (x)]} (t)}$

ve sonra formülü kullanarak

${displaystyle f (x) = int _ {0} ^ {f (x)}, mathrm {d} t.}$

katmanlı kek temsil, adını değerin temsilinden alır ${displaystyle f (x)}$ "katmanlardan" gelen katkıların toplamı olarak ${displaystyle L (f, t)}$: "katmanlar" / değerler t altında ${displaystyle f (x)}$ integrale katkıda bulunurken değerler t yukarıda ${displaystyle f (x)}$ yapamaz.

Katman pastası temsilinin önemli bir sonucu kimliktir.

${displaystyle int _ {Omega} f (x), mathrm {d} mu (x) = int _ {0} ^ {infty} mu ({xin Omega orta f (x)> t}), mathrm {d} t ,}$

onu uygulayarak takip eden Fubini-Tonelli teoremi.

Önemli bir uygulama şudur: ${görüntü stili L ^ {p}}$ için ${displaystyle 1leq p <+ infty}$ aşağıdaki gibi yazılabilir

${displaystyle int _ {Omega} | f (x) | ^ {p}, mathrm {d} mu (x) = pint _ {0} ^ {infty} s ^ {p-1} mu ({xin Omega ortası, | f (x) |> s}) matematik {d} s,}$

değişkenlerin değişiminden hemen sonra gelen ${displaystyle t = s ^ {p}}$ katman kek temsilinde ${ekran stili | f (x) | ^ {p}}$.

Ayrıca bakınız

• Simetrik azalan yeniden düzenleme

Referanslar

• Gardner, Richard J. (2002). "Brunn-Minkowski eşitsizliği". Boğa. Amer. Matematik. Soc. (N.S.). 39 (3): 355–405 (elektronik). doi:10.1090 / S0273-0979-02-00941-2.
• Lieb, Elliott; Kayıp, Michael (2001). Analiz. Matematik Yüksek Lisans Çalışmaları. 14 (2. baskı). Amerikan Matematik Derneği. ISBN  978-0821827833.