Lefschetz kalem - Lefschetz pencil

İçinde matematik, bir Lefschetz kalem bir inşaat cebirsel geometri tarafından düşünülmüş Solomon Lefschetz, analiz etmek için kullanılır cebirsel topoloji bir cebirsel çeşitlilik V.

Açıklama

Bir kalem belirli bir tür doğrusal bölenler sistemi açık V, yani parametreleştirilmiş tek parametreli bir aile projektif çizgi. Bu, bir karmaşık cebirsel çeşitlilik Vbir Lefschetz kalemi şuna benzer liflenme üzerinde Riemann küresi; ama tekillikle ilgili iki niteliğe sahip.

Varsayalım ki ilk nokta ortaya çıkıyor V olarak verilir projektif çeşitlilik ve bölenler V vardır hiper düzlem bölümleri. Verilen hiper düzlemleri varsayalım H ve H′, Kalemi kapsayan - başka bir deyişle, H tarafından verilir L = 0 ve H' tarafından LDoğrusal formlar için ′ = 0 L ve L′ Ve genel hiper düzlem bölümü V ile kesişti

${ displaystyle lambda L + mu L ^ { prime} = 0. }$

Sonra kavşak J nın-nin H ile H' vardır eş boyut iki. Var rasyonel haritalama

${ displaystyle V rightarrow P ^ {1} }$

aslında sadece kesişme noktalarının dışında iyi tanımlanmıştır. J ile V. İyi tanımlanmış bir haritalama yapmak için, bazıları patlamak uygulanmalıdır V.

İkinci nokta, liflerin kendilerinin dejenere olabileceği ve tekil noktalar (nerede Bertini'nin lemması geçerlidir, genel hiper düzlem bölümü düzgün olacaktır). Bir Lefschetz kalemi, elde edilen tekilliklerin doğasını sınırlar, böylece topoloji, kaybolma döngüsü yöntem. Tekilliğe sahip liflerin yalnızca benzersiz bir ikinci dereceden tekilliğe sahip olması gerekir.^[1]

Lefschetz kalemlerinin var olduğu gösterilmiştir. karakteristik sıfır. Benzer, ancak bundan daha karmaşık şekillerde uygulanırlar: Mors fonksiyonları açık pürüzsüz manifoldlar. Lefschetz kalemlerinin de var olduğu gösterilmiştir. karakteristik p étale topolojisi için.

Simon Donaldson Lefschetz kalemleri için bir rol buldu semplektik topoloji daha yeni araştırma ilgisine yol açıyor.

Ayrıca bakınız

• Picard-Lefschetz teorisi

Referanslar

• Donaldson, Simon K. (1998). "Semplektik geometride Lefschetz fibrasyonları". Documenta Mathematica (Uluslararası Matematikçiler Kongresi Bildirileri, Cilt II (Berlin, 1998)). Ekstra Cilt II: 309–314. BAY  1648081.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joe (1994). Cebirsel Geometrinin İlkeleri. Wiley Classics Kitaplığı. Wiley Interscience. s. 509. ISBN  0-471-05059-8.

Notlar

Dış bağlantılar

• Gompf, Robert (2005). "Lefschetz kalemi nedir?" (PDF). American Mathematical Society'nin Bildirimleri. 52 (8).
• Gompf, Robert (2001). "Semplektik manifoldların topolojisi" (PDF). Türk Matematik Dergisi. 25: 43–59. BAY  1829078.