Li Shanlan kimliği - Li Shanlan identity

İçinde matematik, içinde kombinatorik, Li Shanlan kimliği (olarak da adlandırılır Li Shanlan'ın toplama formülü) kesin kombinatoryal Kimlik on dokuzuncu yüzyıla atfedilen Çinli matematikçi Li Shanlan.^[1] Li Shanlan, Li Renshu olarak da bilindiğinden, bu kimlik aynı zamanda Li Renshu kimliği.^[2] Bu kimlik, Duoji bilei (垛 积 比 类 / 垛 積 比 纇, anlamı sonlu serileri toplamak), Li Shanlan tarafından yazılan ve toplu çalışmalarının bir parçası olarak 1867'de yayınlanan matematiksel bir metin. Bir Çek matematikçi Josef Kaucky, kimliğin temel bir kanıtı ile birlikte 1964'te bir kimlik tarihi yayınladı.^[3] Kaucky, kimliği belirli bir Li Jen-Shu'ya bağladı. Kimliğin geçmişinden, Li Jen-Shu'nun aslında Li Shanlan olduğu ortaya çıktı.^[1] Batılı bilim adamları, tarihsel değeri nedeniyle Çin matematiği üzerinde çalışıyorlardı; ancak bu kimliğin on dokuzuncu yüzyıl Çinli bir matematikçiye atfedilmesi, Çinli matematikçilerin yazılarının matematiksel değeri üzerinde yeniden düşünmeye yol açtı.^[2]

"Batı'da Li, yalnızca geleneksel Çin matematiksel yöntemlerini kullanarak türettiği 'Li Renshu kimliği' olarak bilinen kombinatorik bir formülle en iyi hatırlanır."^[4]

Kimlik

Li Shanlan kimliği şunu belirtir:

${ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {p} {p k seçin} ^ {2} {{n + 2p-k} {2p}} = {{n + p} p seçin} ^ {2}}$.

Li Shanlan kimliği bu şekilde sunmadı. Bunu geleneksel Çin algoritmik ve retorik bir şekilde sundu.^[5]

Kimliğin kanıtları

Li Shanlan, kimliğinin kanıtını vermemişti. Duoji bilei. Shanlan'a yabancı kavramlar olan diferansiyel denklemler ve Legendre polinomlarını kullanan ilk ispat, Pál Turán 1936'da ve kanıt Çince olarak Yung Chang 1939'da yayınlanan makalesi.^[2] O zamandan beri en az on beş farklı kanıt bulundu.^[2] Aşağıdaki en basit kanıtlardan biridir.^[6]

Kanıt ifade ederek başlar ${ displaystyle n q seçin}$ gibi Vandermonde'un evrişimi:

${ displaystyle {n q seçin} = toplam _ {k = 0} ^ {q} {{n-p} k seçin} {p {q-k}}} seçin$

Her iki tarafı da önceden çarparak ${ displaystyle n p seçin}$,

${ displaystyle {n p seçin} {n q seçin} = toplamı _ {k = 0} ^ {q} {n p seçin} {{np} k seçin} {p {qk}} seçin }$.

Aşağıdaki ilişkiyi kullanarak

${ displaystyle {n p seçin} {{n-p} k seçin} = {{p + k} k seçin} {n {p + k}}}$

yukarıdaki ilişki dönüştürülebilir

${ displaystyle {n p seçin} {n q seçin} = toplamı _ {k = 0} ^ {q} {p {qk}} {{p + k} k seçin} {n seç {p + k}}}$.

Sonraki ilişki

${ displaystyle {p {q-k}} {{p + k} seç {k}} = {q k seç} {{p + k} seç {q}}}$

almak için kullanılır

${ displaystyle {n p seçin} {n q seçin} = toplamı _ {k = 0} ^ {q} {q k seçin} {n {p + k}} {{p + k} q seçin}}$.

Vandermonde'un evrişim veriminin başka bir uygulaması

${ displaystyle {{p + k} q seçin} = toplamı _ {j = 0} ^ {q} {p j seçin} {k {q-j}}} seçin$

ve dolayısıyla

${ displaystyle {n p seçin} {n q seçin} = toplamı _ {k = 0} ^ {q} {q k seçin} {n {p + k}} toplamı seçin _ {j = 0} ^ {q} {p seç j} {k seç {qj}}}$

Dan beri ${ displaystyle p j seçin}$ bağımsızdır k, bu forma konulabilir

${ displaystyle {n p seçin} {n q seçin} = toplamı _ {j = 0} ^ {q} {p j} toplamı seçin _ {k = 0} ^ {q} {q seçin k} {n {p + k}} {k seç {qj}}}$

Sonra sonuç

${ displaystyle {q k'yi seç} {k {q-j}} = {q seç j} {j seç {q-k}}}$

verir

${ displaystyle {n p seçin} {n q seçin} = toplamı _ {j = 0} ^ {q} {p j} toplamı seçin _ {k = 0} ^ {q} {q seçin j} {j {qk}} {n seç {p + k}}}$

${ displaystyle = sum _ {j = 0} ^ {q} {p seçin j} {q j} toplamı seçin _ {k = 0} ^ {q} {j {qk}} {n seçin {p + k}}} seçin$

${ displaystyle = sum _ {j = 0} ^ {q} {p seç j} {q j seç} {{n + j} {p + q}}}$

Ayar p = q ve değiştiriliyor j tarafından k,

${ displaystyle {n p seçin} ^ {2} = toplamı _ {k = 0} ^ {p} {p k seçin} ^ {2} {{n + k} {2p}}} seçin$

Li'nin kimliği bunu değiştirerek izler. n tarafından n + p ve ortaya çıkan ifadede bazı terimlerin yeniden düzenlenmesi:

${ displaystyle {{n + p} p seçin} ^ {2} = toplam _ {k = 0} ^ {p} {p k seçeneğini seçin ^ {2} {{n + 2p-k} seçin {2p}}}$

Açık Duoji bilei

Dönem duoji kazık toplamlarını hesaplamak için belirli bir geleneksel Çin yöntemini belirtir. On altıncı yüzyıldan beri Çin'de geliştirilen matematiğin çoğu, duoji yöntem. Li Shanlan, bu yöntemin en büyük temsilcilerinden biriydi ve Duoji bilei bu yöntemle ilgili çalışmalarının bir açıklamasıdır. Duoji bilei dört bölümden oluşmaktadır: Bölüm 1 üçgen kazıklarla, Bölüm 2 sonlu kuvvet serileriyle, Bölüm 3'te kendi kendine çoğalan üçgen kazıklarla ve Bölüm 4 modifiye edilmiş üçgen kazıklarla ilgilidir.^[7]

Referanslar