Lie konformal cebir - Lie conformal algebra

Bir Lie konformal cebir bir anlamda bir genellemedir Lie cebiri bu da bir "Lie cebiri" olsa da, farklı bir sözde tensör kategori. Lie konformal cebirleri çok yakından ilişkilidir köşe cebirleri ve cebir ve integral alınabilir sistemlerin diğer alanlarında birçok uygulamaya sahiptir.

Lie cebirlerinin tanımı ve ilişkisi

Bir Lie cebiri, bir vektör uzayı olarak tanımlanır. çarpık simetrik iki doğrusal tatmin eden çarpma Jacobi kimliği. Daha genel olarak, bir Lie cebiri bir nesnedir, ${ displaystyle L}$ kategorisinde vektör uzayları (okuyun: ${ displaystyle mathbb {C}}$ -modüller) ile morfizm

{ displaystyle [ cdot, cdot]: L otimes L rightarrow L}

bu çarpık-simetriktir ve Jacobi kimliğini tatmin eder. Öyleyse bir Lie konformal cebiri bir nesnedir ${ displaystyle R}$ kategorisinde ${ displaystyle mathbb {C} [ kısmi]}$ - morfizmli modüller

{ displaystyle [ cdot _ { lambda} cdot]: R otimes R rightarrow mathbb {C} [ lambda] otimes R}

çiftdoğrusallık, çarpık simetri ve Jacobi kimliğinin değiştirilmiş versiyonlarını karşılayan lambda braketi olarak adlandırılır:

{ displaystyle [ kısmi a _ { lambda} b] = - lambda [a _ { lambda} b], [a _ { lambda} kısmi b] = ( lambda + kısmi) [a _ { lambda} b],}

{ displaystyle [a _ { lambda} b] = - [b _ {- lambda - kısmi} a], ,}

{ displaystyle [a _ { lambda} [b _ { mu} c]] - [b _ { mu} [a _ { lambda} c]] = [[a _ { lambda} b] _ { lambda + mu} c]. ,}

Köşeli parantezlerden tüm lambdaların, mu'ların ve bölümlerin kaldırılmasıyla, basitçe bir Lie cebiri tanımının olduğu görülebilir.

Lie uyumlu cebir örnekleri

Lie konformal cebirinin basit ve çok önemli bir örneği Virasoro konformal cebiridir. Bitmiş ${ displaystyle mathbb {C} [ kısmi]}$ tek bir eleman tarafından üretilir ${ displaystyle L}$ lambda parantezinin verdiği

{ displaystyle [L _ { lambda} L] = (2 lambda + kısmi) L. ,}

Aslında, Wakimoto tarafından, bir jeneratörde Jacobi kimliğini karşılayan lambda parantezli herhangi bir Lie konformal cebirinin aslında Virasoro konformal cebir olduğu gösterilmiştir.

Sınıflandırma

Herhangi bir sonlu olarak üretilen (bir ${ displaystyle mathbb {C} [ kısmi]}$ -module) basit Lie konformal cebiri, Virasoro konformal cebirine, güncel bir konformal cebire veya ikisinin yarı direkt ürününe izomorfiktir.

Sonsuz alt cebirlerin kısmi sınıflandırmaları da vardır. ${ displaystyle { mathfrak {gc}} _ {n}}$ ve ${ displaystyle { mathfrak {cend}} _ {n}}$ .

Genellemeler

Entegre edilebilir sistemlerde kullanım ve varyasyonlar hesabı ile ilişki

Referanslar

Victor Kac, "Yeni başlayanlar için Vertex cebirleri". Üniversite Ders Serisi, 10. Amerikan Matematik Derneği, 1998. viii + 141 s. ISBN 978-0-8218-0643-2