Kaldırma teorisi - Lifting theory

Matematikte, kaldırma teorisi ilk olarak tarafından tanıtıldı John von Neumann 1931 tarihli öncü bir makalede, Alfréd Haar.^[1] Teori daha da geliştirildi Dorothy Maharam (1958)^[2] ve tarafından Alexandra Ionescu Tulcea ve Cassius Ionescu Tulcea (1961).^[3] Kaldırma teorisi, çarpıcı uygulamalarıyla büyük ölçüde motive edildi. 1969 yılına kadarki gelişimi, Ionescu Tulceas'ın bir monografisinde anlatılmıştır.^[4] Kaldırma teorisi o zamandan beri gelişmeye devam etti ve yeni sonuçlar ve uygulamalar getirdi.

Tanımlar

Bir kaldırma bir alanı ölçmek ${ displaystyle (X, Sigma, mu)}$ doğrusal ve çarpımsal bir tersidir

${ displaystyle T iki nokta üst üste L ^ { infty} (X, Sigma, mu) ile { mathcal {L}} ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$

bölüm haritasının

${ displaystyle { {vakalar} { mathcal {L}} ^ { infty} (X, Sigma, mu) ile L ^ { infty} (X, Sigma, mu) f mapsto [f] end {vakalar}}}$

nerede ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$ Düzenlenmiş mi L^p Uzay ölçülebilir fonksiyonlar ve ${ displaystyle L ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$ olağan normlu bölümüdür. Başka bir deyişle, her denklik sınıfından bir kaldırma seçer [f] sınırlı ölçülebilir fonksiyonlar modulo ihmal edilebilir fonksiyonlar bir temsilci - bundan böyle yazılacaktır T([f]) veya T[f] ya da sadece Tf - öyle bir şekilde

${ displaystyle T (r [f] + s [g]) (p) = rT [f] (p) + sT [g] (p), qquad forall p in X, r, s in mathbf {R};}$

${ displaystyle T ([f] times [g]) (p) = T [f] (p) times T [g] (p), qquad forall p X'te;}$

${ displaystyle T [1] = 1.}$

Asansörler üretmek için kullanılır önlemlerin parçalanması, Örneğin koşullu olasılık dağılımları sürekli rastgele değişkenler verildiğinde ve Lebesgue'in fibrasyonları bir fonksiyonun düzey kümeleri üzerinde ölçülür.

Artışların varlığı

Teorem. Varsayalım (X, Σ, μ) tamamlandı.^[5] Sonra (X, Σ, μ), ancak ve ancak Σ'da birliği olan karşılıklı olarak ayrık entegre edilebilir kümelerin bir koleksiyonu varsa, bir kaldırmayı kabul eder.XÖzellikle, eğer (X, Σ, μ) bir σ-sonlu^[6] yerel olarak kompakt bir uzayda bir iç düzenli Borel ölçüsü veya ölçüsü, o zaman (X, Σ, μ) bir kaldırma kabul ediyor.

Kanıt, bir kaldırma işlemini daha da büyük bir altσ-talgebralar, uygulama Doob'un martingale yakınsama teoremi süreçte sayılabilir bir zincirle karşılaşırsa.

Güçlü kaldırma

Varsayalım (X, Σ, μ) tamamlandı ve X tamamen düzenli bir Hausdorff topolojisi τ ⊂ Σ ile donatılmıştır, öyle ki ihmal edilebilir açık kümelerin herhangi bir koleksiyonunun birleşimi yine ihmal edilebilir -X, Σ, μ) dır-dir σ-sonlu veya bir Radon ölçümü. Sonra destek nın-nin μ, Supp (μ), en büyük ihmal edilebilir açık alt kümenin ve koleksiyonun tamamlayıcısı olarak tanımlanabilir C_b(X, τ) sınırlı sürekli fonksiyonların ait olduğu ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$.

Bir güçlü kaldırma için (X, Σ, μ) bir kaldırmadır

${ displaystyle T: L ^ { infty} (X, Sigma, mu) ile { mathcal {L}} ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$

öyle ki Tφ = φ Supp'de (μ) her şey için C_b(X, τ). Bunu gerektirmekle aynı şey^[7] TU ≥ (U ∩ Supp (μ)) tüm açık setler için U içindeτ.

Teorem. Eğer (Σ, μ) dır-dir σ-sonlu ve eksiksiz ve τ sayılabilir bir temele sahipse (X, Σ, μ) güçlü bir kaldırmayı kabul ediyor.

Kanıt. İzin Vermek T₀ için kaldırıcı olmak (X, Σ, μ) ve {U₁, U₂, ...} sayılabilir bir temel τ. Herhangi bir nokta için p ihmal edilebilir sette

${ displaystyle N: = bigcup nolimits _ {n} left {p in mathrm {Supp} ( mu) :( T_ {0} U_ {n}) (p)$

İzin Vermek T_p herhangi bir karakter ol^[8] açık L^∞(X, Σ, μ) φ ↦ φ (p) nın-nin C_b(X, τ). Bundan dolayı p içinde X ve [f] içinde L^∞(X, Σ, μ) tanımlamak:

${ displaystyle (T [f]) ​​(p): = { başlar {vakalar} (T_ {0} [f]) ​​(p) ve p notin N T_ {p} [f] ve p N olarak end {vakalar}}}$

T istenen güçlü kaldırmadır.

Uygulama: bir önlemin parçalanması

Varsayalım (X, Σ, μ), (Y, Φ, ν) σ-sonlu ölçü alanları (μ, ν pozitif) ve π : X → Y ölçülebilir bir haritadır. Bir parçalanma μ boyunca π göre ν bir sapma ${ displaystyle Y ni y mapsto lambda _ {y}}$ pozitif σ-additive önlemler açık (X, Σ) öyle ki

1. λ_y lif tarafından taşınır ${ displaystyle pi ^ {- 1} ( {y })}$ π üzeri y:

${ displaystyle {y } Phi ; ; ; mathrm {ve} ; ; lambda _ {y} sol ((X setminus pi ^ {- 1} ( {y }) right) = 0 qquad forall y Y'de}$

1. her biri için μentegre edilebilir işlev f,

${ displaystyle int _ {X} f (p) ; mu (dp) = int _ {Y} sol ( int _ { pi ^ {- 1} ( {y })} f (p) , lambda _ {y} (dp) sağ) nu (dy) qquad (*)}$

anlamında, için ν-Neredeyse hepsi y içinde Y, f dır-dir λ_yentegre edilebilir, fonksiyon

${ displaystyle y mapsto int _ { pi ^ {- 1} ( {y })} f (p) , lambda _ {y} (dp)}$

ν-integrallenebilir ve görüntülenen eşitlik (*) geçerlidir.

Parçalanmalar çeşitli koşullarda mevcuttur, ispatlar değişkenlik gösterir ancak neredeyse tümü güçlü kaldırmalar kullanır. İşte oldukça genel bir sonuç. Kısa kanıtı genel lezzet verir.

Teorem. Varsayalım X bir Polonyalı^[9] uzay ve Y ayrı bir Hausdorff alanı, her ikisi de Borel'leriyle donatılmış σ-algebralar. İzin Vermek μ olmak σ-sonlu Borel ölçümü X ve π: X → Y a Σ, Φ – ölçülebilir harita. Sonra σ-sonlu bir Borel ölçüsü vardır. Y ve bir dağılma (*). Eğer μ sonlu ν itici güç olarak kabul edilebilir^[10] π_∗μve sonra λ_y olasılıklardır.

Kanıt. Cila doğası nedeniyle X bir dizi kompakt alt küme vardır X karşılıklı olarak ayrık, birliği ihmal edilebilir tümleyene sahip ve üzerinde π sürekli olan. Bu gözlem, sorunu, her ikisinin de X ve Y kompakt ve π süreklidir ve ν = π_∗μ. Φ altında tamamla ν ve güçlü bir kaldırma düzeltin T için (Y, Φ, ν). Sınırlı verildiğinde μölçülebilir fonksiyon f, İzin Vermek ${ displaystyle lfloor f rfloor}$ π altındaki koşullu beklentisini belirtir, yani Radon-Nikodym türevi nın-nin^[11] π_∗(fμ) göre π_∗μ. Sonra her biri için ayarlayın y içinde Y, ${ displaystyle lambda _ {y} (f): = T ( lfloor f rfloor) (y).}$ Bunun bir dağılmayı tanımladığını göstermek, bir muhasebe meselesi ve uygun bir Fubini teoremi. Kaldırma kuvvetinin nasıl girdiğini görmek için şunu unutmayın:

${ displaystyle lambda _ {y} (f cdot varphi circ pi) = varphi (y) lambda _ {y} (f) qquad forall y Y'de, varphi C_ { b} (Y), f içinde L ^ { infty} (X, Sigma, mu)}$

ve en iyiyi tüm pozitif φ içinde C_b(Y) ile φ(y) = 1; açıkça görülüyor ki, destek λ_y lifte yatıyory.

Referanslar