Sonsuzda çizgi - Line at infinity - Wikipedia

İçinde geometri ve topoloji, sonsuzda çizgi bir projektif çizgi gerçek olana eklenen (afin) uçak İstisnai durumların kapatılması ve çıkarılması için olay ortaya çıkan özellikler projektif düzlem. Sonsuzluktaki çizgi aynı zamanda ideal çizgi.^[1]

Geometrik formülasyon

Yansıtmalı geometride, herhangi bir çizgi çifti her zaman bir noktada kesişir, ancak paralel çizgiler gerçek düzlemde kesişmez. Sonsuzdaki çizgi gerçek düzleme eklenir. Bu, düzlemi tamamlar, çünkü artık paralel çizgiler, sonsuzluktaki doğru üzerinde uzanan bir noktada kesişir. Ayrıca, herhangi bir doğru çifti sonsuzda doğrunun bir noktasında kesişirse, doğru çifti paraleldir.

Her çizgi bir noktada çizgiyi sonsuzda keser. Paralel çizgilerin kesiştiği nokta yalnızca eğim hiç onların üzerinde değil y kesme noktası.

Afin düzlemde, bir doğru iki zıt yönde uzanır. Yansıtmalı düzlemde, bir doğrunun iki zıt yönü, sonsuzda doğrunun bir noktasında birbiriyle buluşur. Bu nedenle, yansıtmalı düzlemdeki çizgiler kapalı eğriler yani doğrusal olmaktan çok döngüseldirler. Bu, sonsuzdaki çizginin kendisi için geçerlidir; kendisiyle iki uç noktasında buluşur (bu nedenle aslında son nokta değildir) ve bu nedenle aslında döngüseldir.

Topolojik perspektif

Sonsuzdaki çizgi, afin düzlemi çevreleyen bir daire olarak görselleştirilebilir. Bununla birlikte, çemberin taban tabana zıt noktaları eşdeğerdir - aynı noktadırlar. Afin düzlem ile sonsuzdaki çizginin birleşimi, gerçek yansıtmalı düzlem, ${ displaystyle mathbb {R} P ^ {2}}$.

Bir hiperbol doğruyu iki farklı noktada sonsuzda kesen kapalı bir eğri olarak görülebilir. Bu iki nokta, ikisinin eğimleriyle belirlenir. asimptotlar hiperbol. Aynı şekilde bir parabol tek bir noktada çizgiyi sonsuzda kesen kapalı bir eğri olarak görülebilir. Bu nokta, parabol ekseninin eğimi ile belirtilir. Parabol, köşesinden simetrik bir "boynuz" çifti şeklinde kesilirse, bu iki boynuz, köşeden daha uzakta birbirine daha paralel hale gelir ve aslında eksene ve sonsuzda birbirlerine paralel olurlar, böylece sonsuzda çizgide kesişir.

Karmaşık yansıtmalı düzlemin analogu, sonsuzda bir 'doğru'dur ve (doğal olarak) karmaşıktır. projektif çizgi. Topolojik olarak bu oldukça farklıdır, çünkü Riemann küresi, bu nedenle 2-küre, iki boyuttan oluşan karmaşık bir afin uzaya eklenerek C (yani dört gerçek boyutlar), dört boyutlu kompakt manifold. Sonuç yönlendirilebilir gerçek yansıtmalı düzlem değil.

Tarih

Sonsuzluktaki karmaşık çizgi, on dokuzuncu yüzyıl geometrisinde çok kullanılıyordu. Aslında en çok uygulanan püf noktalarından biri, bir daireyi bir konik sonsuzda iki noktadan geçmek için sınırlandırılmış, çözümleri

X² + Y² = 0.

Bu denklem, daha düşük sıradaki terimleri düşürdüğümüzde herhangi bir dairenin aldığı formdur. X ve Y. Daha resmi olarak kullanmalıyız homojen koordinatlar

[X: Y: Z]

ve sonsuzdaki çizginin ayarlanarak belirlendiğine dikkat edin

Z = 0.

Güçlerini tanıtarak denklemleri homojen yapmak Zve sonra ayarlama Z = 0, daha düşük dereceden terimleri kesin olarak ortadan kaldırır.

Denklemi çözdüğümüzde, bu nedenle, tüm dairelerin sonsuzda dairesel noktalar

ben = [1:ben: 0] ve J = [1:−ben:0].

Elbette bunlar, temsil eden herhangi bir homojen koordinat seti için karmaşık noktalardır. Projektif düzlem yeterince büyük olduğu için simetri grubu ama hiçbir şekilde özel değiller. Sonuç, üç parametreli çember ailesinin, özel bir durum olarak ele alınabileceğidir. doğrusal sistem verilen iki farklı noktadan geçen koniklerin P ve Q.

Ayrıca bakınız

• Eliptik geometri § Eliptik düzlem
• Sonsuzda hiper düzlem
• Sonsuzda uçak
• Sonsuza gelin

Referanslar