Doğrusal yanıt işlevi - Linear response function

Bir doğrusal yanıt fonksiyonu bir giriş-çıkış ilişkisini açıklar sinyal dönüştürücü radyo dönüşü gibi elektromanyetik dalgalar müzik ya da bir nöron dönme sinaptik bir yanıta girdi. Birçok uygulaması nedeniyle bilgi teorisi, fizik ve mühendislik gibi belirli doğrusal yanıt fonksiyonları için alternatif isimler vardır. duyarlılık, dürtü yanıtı veya iç direnç, Ayrıca bakınız transfer işlevi. A kavramı Green işlevi veya temel çözüm bir adi diferansiyel denklem yakından ilişkilidir.

Matematiksel tanım

Bir sistemin girişini şu şekilde belirtin: ${displaystyle h (t)}$ (ör. a güç ) ve sistemin yanıtı ${displaystyle x (t)}$ (ör. bir pozisyon). Genellikle değeri ${displaystyle x (t)}$ sadece bugünkü değerine bağlı olmayacak ${displaystyle h (t)}$ama aynı zamanda geçmiş değerlerde. Yaklaşık olarak ${displaystyle x (t)}$ önceki değerlerinin ağırlıklı toplamıdır ${displaystyle h (t ')}$doğrusal yanıt fonksiyonu tarafından verilen ağırlıklarla ${displaystyle chi (t-t ')}$:

${displaystyle x (t) = int _ {- infty} ^ {t} dt ', chi (t-t') h (t ') + noktalar,.}$

Sağ taraftaki açık terim, lider sipariş bir dönem Volterra genişlemesi tam doğrusal olmayan yanıt için. Söz konusu sistem oldukça doğrusal değilse, genişlemede noktalarla gösterilen daha yüksek dereceli terimler önemli hale gelir ve sinyal dönüştürücü, yalnızca doğrusal yanıt işlevi ile yeterince tanımlanamaz.

Karmaşık değerli Fourier dönüşümü ${displaystyle {ilde {chi}} (omega)}$ Doğrusal yanıt fonksiyonunun, giriş bir sinüs dalgası ise sistemin çıktısını açıkladığı için çok kullanışlıdır. ${displaystyle h (t) = h_ {0} cdot günah (omega t)}$ frekansla ${displaystyle omega}$. Çıktı okur

${displaystyle x (t) = | {ilde {chi}} (omega) | cdot h_ {0} cdot günah (omega t + arg {ilde {chi}} (omega)) ,,}$

ile genlik kazancı ${displaystyle | {ilde {chi}} (omega) |}$ ve faz değişimi ${displaystyle arg {ilde {chi}} (omega)}$.

Misal

Bir düşünün sönümlü harmonik osilatör harici bir itici güç tarafından verilen girdi ile ${displaystyle h (t)}$,

${displaystyle {ddot {x}} (t) + gama {nokta {x}} (t) + omega _ {0} ^ {2} x (t) = h (t).,}$

Karmaşık değerli Fourier dönüşümü doğrusal yanıt fonksiyonunun

${displaystyle {ilde {chi}} (omega) = {frac {{ilde {x}} (omega)} {{ilde {h}} (omega)}} = {frac {1} {omega _ {0} ^ {2} -omga ^ {2} + igamma omega}}.,}$

Genlik kazancı, karmaşık sayının büyüklüğü ile verilir ${displaystyle {ilde {chi}} (omega),}$ ve fonksiyonun hayali kısmının arktan tarafından faz kayması, gerçek olana bölünür.

Bu temsilden, bunu küçük için görüyoruz ${displaystyle gamma}$ Fourier dönüşümü ${displaystyle {ilde {chi}} (omega)}$ Doğrusal yanıt işlevinin% 50'si, belirgin bir maksimum ("Rezonans ") frekansta ${displaystyle omega yaklaşık omega _ {0}}$. Harmonik bir osilatör için doğrusal yanıt fonksiyonu, matematiksel olarak bir RLC devresi. Maksimumun genişliği ${displaystyle, Delta omega,}$ tipik olarak çok daha küçüktür ${displaystyle omega _ {0},}$ böylece Kalite faktörü ${displaystyle S: = omega _ {0} / Delta omega}$ son derece büyük olabilir.

Kubo formülü

Doğrusal tepki teorisinin açıklaması, bağlamında kuantum istatistikleri, bir makalede şu şekilde bulunabilir: Ryogo Kubo.^[1] Bu, özellikle Kubo formülü, "kuvvet" h (t) 'nin sistemin temel operatörünün bir tedirginliği olduğu genel durumu dikkate alan Hamiltoniyen, ${displaystyle {hat {H}} _ {0} o {hat {H}} _ {0} -h (t ') {hat {B}} (t'),}$ nerede ${displaystyle {şapka {B}}}$ girdi olarak ölçülebilir bir miktara karşılık gelirken, çıktı x (t) başka bir ölçülebilir miktarın ısıl beklentisinin tedirginliğidir ${displaystyle {şapka {A}} (t)}$. Kubo formülü daha sonra kuantum istatistiksel hesaplamasını tanımlar. duyarlılık ${displaystyle chi (t-t ')}$ sadece belirtilen operatörleri içeren genel bir formül ile.

İlkesinin bir sonucu olarak nedensellik karmaşık değerli işlev ${displaystyle {ilde {chi}} (omega)}$ sadece alt yarı düzlemde kutuplara sahiptir. Bu yol açar Kramers-Kronig ilişkileri gerçek ve hayali kısımları ilişkilendiren ${displaystyle {ilde {chi}} (omega)}$ entegrasyon yoluyla. En basit örnek bir kez daha sönümlü harmonik osilatör.^[2]

Ayrıca bakınız

• Evrişim
• Yeşil-Kubo ilişkileri
• Dalgalanma teoremi
• Dağılım (optik)
• Lindblad denklemi
• Yarı doğrusal yanıt
• Green işlevi
• dürtü yanıtı
• Resolvent formalizm
• Yayıcı

Referanslar

Dış bağlantılar

• Doğrusal Tepki Fonksiyonları Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt ve Alexander Lichtenstein (editörler): DMFT 25: Sonsuz Boyutlar, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN  978-3-89336-953-9