Yerel Euler karakteristik formülü - Local Euler characteristic formula - Wikipedia

İçinde matematiksel alanı Galois kohomolojisi, yerel Euler karakteristik formülü nedeniyle bir sonuçtur John Tate hesaplayan Euler karakteristiği of grup kohomolojisi of mutlak Galois grubu G_K bir arşimet olmayan yerel alan K.

Beyan

İzin Vermek K arşimet olmayan bir yerel alan olalım K^s belirtmek ayrılabilir kapatma nın-nin K, İzin Vermek G_K = Gal (K^s/K) mutlak Galois grubu olmak Kve izin ver H^ben(K, M) grup kohomolojisini belirtir G_K katsayılarla M. Beri kohomolojik boyut nın-nin G_K iki^[1] H^ben(K, M) = 0 için ben ≥ 3. Bu nedenle, Euler özelliği yalnızca ben = 0, 1, 2.

Sonlu modüller durumu

İzin Vermek M olmak G_K-modül sonlu sipariş m. Euler özelliği M olarak tanımlandı^[2]

${ displaystyle chi (G_ {K}, M) = { frac { # H ^ {0} (K, M) cdot # H ^ {2} (K, M)} { # H ^ {1} (K, M)}}}$

( beniçin th kohomoloji grupları ben ≥ 3 bedenleri bir olduğu için zımnen görünür).

İzin Vermek R belirtmek tam sayılar halkası nın-nin K. Tate'in sonucu, eğer m dır-dir nispeten asal için karakteristik nın-nin K, sonra^[3]

${ displaystyle chi (G_ {K}, M) = sol ( # R / mR sağ) ^ {- 1}}$

yani sırasının tersi bölüm halkası R/Bay.

Öne çıkmaya değer iki özel durum aşağıda verilmiştir. Eğer sipariş M göreceli olarak asaldır kalıntı alanı nın-nin KEuler özelliği birdir. Eğer K bir sonlu uzatma of p-adic sayılar Q_p, ve eğer v_p gösterir p-adik değerleme, sonra

${ displaystyle chi (G_ {K}, M) = p ^ {- [K: mathbf {Q} _ {p}] v_ {p} (m)}}$

nerede [K:Q_p] derece nın-nin K bitmiş Q_p.

Euler özelliği kullanılarak yeniden yazılabilir yerel Tate ikiliği, gibi

${ displaystyle chi (G_ {K}, M) = { frac { # H ^ {0} (K, M) cdot # H ^ {0} (K, M ^ { prime})} { # H ^ {1} (K, M)}}}$

nerede M^′ ... yerel Tate dual nın-nin M.

Notlar

Referanslar

• Milne, James S. (2006), Aritmetik dualite teoremleri (ikinci baskı), Charleston, SC: BookSurge, LLC, ISBN  1-4196-4274-X, BAY  2261462, alındı 2010-03-27
• Serre, Jean-Pierre (2002), Galois kohomolojisi, Matematikte Springer Monografileri, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-42192-4, BAY  1867431, çevirisi Cohomologie Galoisienne, Springer-Verlag Ders Notları 5 (1964).