Lugiato – Lefever denklemi - Lugiato–Lefever equation

Bu makale çoğu okuyucunun anlayamayacağı kadar teknik olabilir. Lütfen geliştirmeye yardım et -e uzman olmayanlar için anlaşılır hale getirinteknik detayları kaldırmadan. (Temmuz 2018) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Model genellikle şu şekilde adlandırılır: Lugiato – Lefever denklemi (LLE) tarafından 1987 yılında formüle edilmiştir. Luigi Lugiato ve Renè Lefever ^[1] spontane bir paradigma olarak desen oluşumu doğrusal olmayan optik sistemlerde.^[2][3][4] Modeller, bir rezonant optik boşluğa enjekte edilen uyumlu bir alanın bir Kerr boşluğu dolduran ortam.

Aynı denklem iki tür modeli yönetir: ışığın yayılma yönüne göre ortogonal düzlemlerde ortaya çıkan durağan desenler (enine desenler) ve uzunlamasına yönde oluşan desenler (boyuna desenler), ortamdaki ışık hızıyla kavite boyunca hareket eder ve boşluğun çıkışında bir dizi darbeye yol açar.

Boylamsal desenler durumu, özünde "Kerr frekans tarakları "2007'de Tobias Kippenberg ve işbirlikçileri tarafından keşfedilen mikroresonatörlerde,^[5] özellikle açtığı uygulama caddesi nedeniyle çok canlı bir ilgi uyandırdı.

Denklem

Şekil 1, içinde yayılan bir ışık demetini göstermektedir. ${ displaystyle z}$ yön, süre ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ enine yönlerdir. Elektrik alanın şöyle olduğunu varsayarsak ${ displaystyle { cal {E}} (x, y, z, t)}$ , nerede ${ displaystyle t}$ zamanı ifade eder, doğrusal olarak polarize edilir ve bu nedenle skaler olarak kabul edilebilir, onu yavaşça değişen normalize edilmiş karmaşık zarf cinsinden ifade edebiliriz ${ displaystyle E (x, y, z, t)}$ Böylece

Şekil 1. Bir ışık huzmesi, ${ displaystyle z}$ yön. ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ enine yönlerdir

${ displaystyle { cal {E}} (x, y, z, t) propto E (x, y, z, t) e ^ {i ( omega _ {0} / { tilde {c}} ) (z - { tilde {c}} t)} + { text {cc}}}$

nerede ${ displaystyle omega _ {0}}$ boşluğa enjekte edilen ışık demetinin frekansı ve ${ displaystyle { tilde {c}}}$ ışık hızının Kerr orta boşluğu doldurur. Kesinlik için, çok yüksek kalitede (High-Q kavite) bir halka boşluğu (Şekil 2) düşünün.

Şekil 2. Halka boşluğunun üstten görünümü

Orijinal LLE'de,^[1] zarfın ${ displaystyle E}$ boylamsal değişkenden bağımsızdır ${ displaystyle z}$ (yani boşluk boyunca tekdüze), böylece ${ displaystyle E = E (x, y, t)}$. Denklem okur

${ displaystyle { frac { kısmi E} { kısmi { bar {t}}}} = E _ { text {in}} - Ei theta E + i | E | ^ {2} E + i nabla _ { perp} ^ {2} E}$

(1)

${ displaystyle nabla _ { perp} ^ {2} E = { frac { kısmi ^ {2} E} { kısmi { bar {x}} ^ {2}}} + { frac { kısmi ^ {2} E} { kısmi { bar {y}} ^ {2}}}}$

nerede ${ displaystyle { bar {t}}}$ ve ${ displaystyle { çubuğu {x}}}$, ${ displaystyle { bar {y}}}$ normalleştirilmiş zamansal ve uzamsal değişkenlerdir, yani ${ displaystyle { bar {t}} = kappa t}$, ${ displaystyle { bar {x}} = x / ell _ {d}}$, ${ displaystyle { bar {y}} = y / ell _ {d}}$, ile ${ displaystyle kappa}$ boşluk çürüme hızı veya boşluk çizgisi genişliği olmak, ${ displaystyle ell _ {d}}$ boşluktaki kırınım uzunluğu. ${ displaystyle theta = ( omega _ {c} - omega _ {0}) / kappa}$ boşluk ayarlama parametresidir, ${ displaystyle omega _ {c}}$ en yakın kavite frekansı olmak ${ displaystyle omega _ {0}}$. Denklemin sağ tarafında (1), ${ displaystyle E _ { text {in}}}$ boşluğa enjekte edilen giriş alanının normalleştirilmiş genliği, ikincisi bozunma terimi, üçüncüsü detuning terimi, dördüncüsü, enine ile son terim olan Kerr ortamını dikkate alan kübik doğrusal olmayan terimdir. Laplacian ${ displaystyle nabla _ { perp} ^ {2}}$ paraksiyel yaklaşımda kırınımı açıklar. Kendi kendine odaklanma koşulları varsayılır.

Denklem (1) enine LLE olarak. Bundan birkaç yıl sonra,^[1] kırınımın yerini dispersiyonun aldığı uzunlamasına LLE'nin formülasyonu vardı.^[6][7] Bu durumda zarfın ${ displaystyle E}$ enine değişkenlerden bağımsızdır ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$, Böylece ${ displaystyle E = E (z, t)}$. Boyuna LLE okur

${ displaystyle { frac { kısmi E} { kısmi { bar {t}}}} = E _ { text {in}} - Ei theta E + i | E | ^ {2} E + i { frac { kısmi ^ {2} E} { kısmi { bar {z}} ^ {2}}}}$

(2)

ile ${ displaystyle { bar {z}} = z / a}$, nerede ${ displaystyle a}$ özellikle ikinci derecedeki dağılım parametresine bağlıdır. Anormal dispersiyon koşulları varsayılır. Önemli bir nokta, bir kez ${ displaystyle E ({ çubuğu {z}}, { çubuğu {t}})}$ Denklemi çözerek elde edilir. (2), orijinal değişkenlere geri dönülmelidir ${ displaystyle z, t}$ ve değiştir ${ displaystyle z}$ tarafından ${ displaystyle z - { tilde {c}} t}$, böylece a ${ displaystyle z}$-bağımlı sabit çözüm (durağan model) bir hareket modeli (hız ile ${ displaystyle { tilde {c}}}$).

Matematiksel bir bakış açısından, LLE, tahrikli, sönümlü, uyumsuz doğrusal olmayan Schroedinger denklemi.

Enine LLE (1) mekansal bakış açısından 2D'dir. Bir dalga kılavuzu konfigürasyonunda ${ displaystyle E}$ sadece bir uzaysal değişkene bağlıdır, diyelim ki ${ displaystyle x}$ve enine Laplacian ile değiştirilir ${ displaystyle { frac { kısmi ^ {2} E} { kısmi { bar {x}} ^ {2}}}}$ ve biri 1D'de enine LLE'ye sahiptir. Boyuna LLE (2) 1D'deki enine LLE'ye eşdeğerdir.

Boylamsal durumu ele alan bazı makalelerde, ikinci düzenin ötesine dağılma ele alınır, böylece Denklem (2), aynı zamanda, ${ displaystyle { bar {z}}}$.

Düzgün sabit çözümler. İle bağlantı optik bistabilite. Dört dalgalı karıştırma ve desen oluşumu.

Figür 3. Normalleştirilmiş çıktı yoğunluğunun sabit eğrisi ${ displaystyle | E | ^ {2}}$ normalleştirilmiş giriş yoğunluğunun bir fonksiyonu olarak ${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2}}$ için ${ displaystyle theta = 4}$. Negatif eğimli segmentteki durağan durumlar kararsızdır. Oklar, ne zaman kapsanan histerezis döngüsünü gösterir. ${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2}}$ artırılır ve sonra azaltılır.

Zarfın bulunduğu duruma odaklanalım. ${ displaystyle E}$ sabittir, yani tüm uzamsal değişkenlerden bağımsız olan durağan çözümlerde. Eşitlikteki tüm türevleri bırakarak (1) ve (2) ve kare modülü alarak durağan denklem elde edilir

${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2} = | E | ^ {2} sol {1 + ( theta - | E | ^ {2}) ^ {2} sağ }}$

(3)

Sabit eğriyi çizersek ${ displaystyle | E | ^ {2}}$ bir fonksiyonu olarak ${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2}}$, ne zaman ${ displaystyle teta> { sqrt {3}}}$ Şekil 3'te gösterildiği gibi bir eğri elde ederiz.

Eğri ${ displaystyle S}$şeklinde ve bir değer aralığı vardır ${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2}}$ birinin üç durağan durumu olduğu. Bununla birlikte, negatif eğimli segmentte yatan durumlar kararsızdır, bu nedenle aralıkta bir arada bulunan iki sabit durağan durum vardır: bu fenomen denir optik bistabilite.^[8] Giriş yoğunluğu ${ displaystyle | E _ { text {in}} | ^ {2}}$ artırılır ve sonra azaltılır, biri histerezis döngüsünü kapsar.

Denklem tarafından tanımlanan tekdüze durağan çözümler durumunda, boş kavitenin modlarına atıfta bulunursak. (3) elektrik alanı, frekans moduna karşılık gelen tek moddur ${ displaystyle omega _ {c}}$ giriş frekansı ile yarı rezonans ${ displaystyle omega _ {0}}$.

Denklemin enine konfigürasyonunda (1), bu durağan çözümler durumunda E, tek modlu bir düzlem dalgasına karşılık gelir ${ displaystyle e ^ {i (k_ {x} x + k_ {y} y)}}$ ile ${ displaystyle k_ {x} = k_ {y} = 0}$, nerede ${ displaystyle k_ {x}}$ ve ${ displaystyle k_ {y}}$ dalga vektörünün enine bileşenleridir, tıpkı giriş alanı gibi ${ displaystyle E _ { text {in}}}$.

Denklemlerin kübik Kerr doğrusal olmama durumu (1) ve (2) neden olur dört dalgalı karıştırma (FWM), diğer modları oluşturabilir, böylece zarf ${ displaystyle E}$ bir uzamsal desen görüntüler: Denklem durumunda enine düzlemde. (1), Denklem durumunda boşluk boyunca (2).

Enine desenler ve boşluk solitonları

Denklemin enine durumunda (1) model, FWM ve kırınımın etkileşiminden ortaya çıkar. FWM, örneğin, foton çiftlerinin ${ displaystyle k_ {x} = k_ {y} = 0}$ emilir ve aynı anda sistem, foton çiftleri yayar. ${ displaystyle k_ {x} = { bar {k}} _ {x}}$, ${ displaystyle k_ {y} = 0}$ ve ${ displaystyle k_ {x} = - { bar {k}} _ {x}}$, ${ displaystyle k_ {y} = 0}$ fotonların toplam enerjisi ve toplam momentumları korunacak şekilde (Şekil 4).

Şekil 4. İki fotonun olduğu dört dalgalı bir karıştırma işlemi ${ displaystyle k_ {x} = k_ {y} = 0}$ emilir ve iki foton ile ${ displaystyle k_ {x} = { bar {k}} _ {x}, k_ {y} = 0}$ ve ${ displaystyle k_ {x} = - { bar {k}} _ {x}, k_ {y} = 0}$ yayınlanır. ${ displaystyle k_ {x}}$, ${ displaystyle k_ {y}}$ ve ${ displaystyle k_ {z}}$ dalga vektörlerinin bileşenleridir.

Aslında daha fazla FWM süreci devreye girer, böylece ${ displaystyle E (x, y)}$ altıgen bir modelin konfigürasyonunu varsayar ^[9](bkz. Şekil 5).

Şekil 5. Çıktıdaki enine düzlemlerde ortaya çıkan tipik bir desen konfigürasyonu, altıgen bir modeldir.

Bir desen, sıralı bir yoğunluk zirveleri dizisi görüntüler. İzole yoğunluk zirveleri oluşturmak da mümkündür,^[10] buna denir boşluklu solitons (bkz. Şekil 6). Boşluk solitonları bir kara tahta gibi enine düzlemde tek tek "yazılabildiği" ve "silinebildiği" için, optik bilgi işleme ve telekomünikasyon uygulamalarında büyük ilgi görmektedir.

Şekil 6. Kırınım halkaları ile koyu arka planda parlak bir tepe gösteren enine düzlemde tipik bir Kerr oyuğu solitonu.

Boyuna desenler ve boşluk solitonları

Boylamsal Denklem (2) modeller FWM ve dağılım arasındaki etkileşimden ortaya çıkar. FWM, örneğin, uzunlamasına modun foton çiftlerinin, ${ displaystyle omega _ {0}}$ emilir ve eşzamanlı olarak sistem, yarı-rezonans moduna simetrik olarak bitişik boşluk modlarına karşılık gelen foton çiftlerini, toplam foton enerjisinin yanı sıra toplam uzunlamasına foton momentumu korunacak şekilde yayar.

Şekil 7. Ortamdaki ışık hızıyla boşluk boyunca ilerleyen ve çıktıda periyodik bir darbe dizisine yol açan boylamsal model örneği.

Şekil 7, oluşturulan ve boşluk boyunca ve boşluktan çıkan modellerin bir örneğini göstermektedir. Enine durumda olduğu gibi, uzunlamasına konfigürasyonda da tekli veya çoklu Kerr boşluklu solitonlar üretilebilir; Şekil 8, boşlukta dolaşan ve çıktıda bir dizi dar atım üreten tek bir boşluklu soliton durumunu göstermektedir. Bu tür solitonlar ilk kez bir lif boşluğunda gözlenmiştir.^[11]

Şekil 8. Boyuna Kerr kavite solitonları.

LLE'de boylamsal desenlerden ve boşluk solitonlarından kaynaklanan kararsızlığın, Bonifacio ve Lugiato tarafından tahmin edilen, optik çift kararlılığın çok modlu kararsızlığının özel bir durumu olduğuna dikkat etmek önemlidir. ^[12] ve ilk olarak deneysel olarak gözlendi.^[13]

Mikroresonator Kerr frekans tarakları ve kavite solitonları

Optik frekans tarakları, ışık döngülerini saymak için kullanılabilen eşit uzaklıkta bir dizi lazer frekansı oluşturur. Bu teknik, Theodor Haensch ^[14] ve John Hall ^[15] kullanma mod kilitli lazerler, sayısız uygulamaya yol açtı. İş ^[5] FWM'ye yol açan, bir Kerr ortamıyla doldurulmuş bir yüksek-Q mikro-rezonatöre enjekte edilen bir CW lazer alanı tarafından etkinleştirilen fısıltı galeri modlarından yararlanan geniş bant optik frekans taraklarının gerçekleştirildiğini gösterdi. O zamandan beri, bant genişliği mikrodalgada THz frekanslarına kadar olan tekrar oranlarıyla bir oktavı aşabilen Kerr frekans tarakları (KFC) çok çeşitli mikro rezonatörlerde üretildi; bu konudaki incelemeler için bkz.^[16][17] Minyatürleştirme ve çip ölçekli fotonik entegrasyonun yanı sıra güç azaltma için önemli bir potansiyel sunarlar. Bugün KFC üretimi olgun bir alandır ve bu teknoloji, uyumlu telekomünikasyon, spektroskopi, atomik saatler ve ayrıca lazer menzili ve astrofiziksel spektrometre kalibrasyonu dahil olmak üzere çeşitli alanlarda uygulanmıştır.

Bu gelişmelerin temel itici gücü, mikroresonatörlerde Kerr kavite solitonlarının gerçekleştirilmesi olmuştur.^[18] fotonik entegre mikro rezonatörlerde Kerr kavite solitonlarını kullanma olasılığını açmak.

Boyuna LLE (2) ilgili fenomenin mekansal-zamansal bir resmini sağlar, ancak spektral bakış açısından çözümleri KFC'ye karşılık gelir. Optik KFC konusu ile LLE arasındaki bağlantı teorik olarak.^{[18][19][20][21][22]} Bu yazarlar, LLE'nin (veya daha yüksek dereceli dağılım terimlerini içeren genellemelerin) KFC'nin oluşumunu tanımlayan model olduğunu ve sistem parametreleri değiştiğinde özelliklerini tahmin edebildiğini gösterdi. LLE tarafından tanımlanan boşluk boyunca hareket eden uzaysal desenlerin ve solitonların kendiliğinden oluşumu, frekans taraklarının uzay-zamansal eşdeğeridir ve özelliklerini yönetir. LLE'nin formülasyonunda kabul edilen oldukça idealize edilmiş koşullar, özellikle yüksek Q durumu, bu arada fotonik alanında meydana gelen muhteşem teknolojik ilerleme ile mükemmel bir şekilde somutlaştırılmış ve özellikle de keşfine yol açmıştır. KFC.

Kuantum yönleri

Şekil 4'te gösterildiği gibi, FWM sürecinde simetrik olarak eğimli yönlerde yayılan iki foton, bir durumdadır. kuantum dolaşıklığı: Bunlar, örneğin enerji ve momentumda tam olarak ilişkilidir. Bu gerçek, optik modellerin kuantum yönleri için temeldir. Örneğin, iki simetrik ışının yoğunlukları arasındaki fark sıkıştırılır, yani atış gürültü seviyesinin altında dalgalanmalar sergiler;^[23] bu fenomenin boylamsal analogu KFC'de deneysel olarak gözlemlenmiştir.^[24] Buna karşılık, bu tür kuantum yönleri şu alan için temeldir: kuantum görüntüleme.^[25][26]

Makaleleri inceleyin

LLE konusuyla ilgili incelemeler için ayrıca bkz.^[27][28][29]

Ayrıca bakınız

• Dört dalgalı karıştırma
• Frekans tarağı
• Kerr frekans tarağı
• Doğrusal olmayan Schroedinger denklemi
• Optik bistabilite
• Desen oluşumu

Referanslar