Lyapunov-Malkin teoremi - Lyapunov–Malkin theorem

Lyapunov-Malkin teoremi (adına Aleksandr Lyapunov ve Ioel Malkin [ru ]), sistemlerin doğrusal olmayan kararlılığını detaylandıran matematiksel bir teoremdir.^[1][2]

Teoremi

Sisteminde diferansiyel denklemler,

${ displaystyle { dot {x}} = Ax + X (x, y), quad { dot {y}} = Y (x, y)}$

nerede, ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {m}}$, ${ displaystyle y in mathbb {R} ^ {n}}$, ${ displaystyle A}$ içinde m × m matris, ve X(x, y), Y(x, y) daha yüksek dereceli doğrusal olmayan terimleri temsil eder. Düştüm özdeğerler matrisin ${ displaystyle A}$ negatif gerçek kısımlara sahip ve X(x, y), Y(x, y) ne zaman kaybolur x = 0, sonra çözüm x = 0, y = Bu sistemin 0'ı (x, y) ve asimptotik olarak kararlıx. Çözüm ise (x(t), y(t)) çözüme yeterince yakın x = 0, y = 0, sonra

${ displaystyle lim _ {t ila infty} x (t) = 0, quad lim _ {t ila infty} y (t) = c.}$

Misal

Tarafından verilen vektör alanını düşünün

${ displaystyle { dot {x}} = - x + x ^ {2} y, quad { dot {y}} = xy ^ {2}}$

Bu durumda, Bir = -1 ve X(0, y) = Y(0, y) = 0 hepsi için yBu sistem Lyapunov-Malkin teoreminin hipotezini karşılar.

Aşağıdaki şekil, (0,0) yakınından geçen bazı yörüngeler ile birlikte bu vektör alanının bir grafiğini göstermektedir. Teoremden beklendiği gibi, (0,0) komşuluğundaki yörüngelerin (0,c).

Referanslar