Matris farkı denklemi - Matrix difference equation - Wikipedia

Bir matris fark denklemi bir fark denklemi bir değerinin olduğu vektör (veya bazen, zamanın bir noktasındaki değişkenlerin bir matrisi), zaman içinde bir veya daha fazla önceki noktadaki kendi değeri ile ilişkilidir. matrisler.[1][2] sipariş Denklemin değeri, değişken vektörün herhangi iki belirtilen değeri arasındaki maksimum zaman aralığıdır. Örneğin,

ikinci dereceden bir matris farkı denkleminin bir örneğidir, burada x bir n × 1 değişkenlerin vektörü ve Bir ve B vardır n × n matrisler. Bu denklem homojendir çünkü denklemin sonuna eklenen vektör sabit terimi yoktur. Aynı denklem şu şekilde de yazılabilir:

veya olarak

En sık karşılaşılan matris farkı denklemleri birinci mertebedir.

Homojen olmayan birinci dereceden durum ve kararlı durum

Homojen olmayan birinci dereceden matris farkı denklemine bir örnek:

eklemeli sabit vektör ile b. Bu sistemin kararlı durumu bir değerdir x* vektörün x eğer ulaşılırsa, sonradan sapılmayacaktır. x* ayarlanarak bulunur xt = xt−1 = x* fark denkleminde ve çözümünde x* elde etmek üzere

nerede ben ... n × n kimlik matrisi ve nerede varsayılır [benBir] dır-dir ters çevrilebilir. Daha sonra homojen olmayan denklem, kararlı durumdan sapmalar açısından homojen biçimde yeniden yazılabilir:

Birinci dereceden davanın kararlılığı

Birinci dereceden matris fark denklemi [xtx*] = Bir[xt−1x*] dır-dir kararlı -yani, xt asimptotik olarak kararlı duruma yakınsar x*-İf ve sadece varsa özdeğerler geçiş matrisinin Bir (gerçek veya karmaşık) bir mutlak değer 1'den küçüktür.

Birinci dereceden vakanın çözümü

Denklemin homojen hale getirildiğini varsayalım yt = Ayt−1. Daha sonra tekrar tekrar yineleyebilir ve değiştirebiliriz. başlangıç ​​koşulu y0, vektörün başlangıç ​​değeri y ve çözümü bulmak için bilinmesi gerekenler:

ve benzeri, böylece matematiksel tümevarım açısından çözüm t dır-dir

Ayrıca, eğer Bir köşegenleştirilebilir, yeniden yazabiliriz Bir açısından Özdeğerler ve özvektörler çözümü şu şekilde veriyor:

nerede P bir n × n sütunları olan matris özvektörler nın-nin Bir (özdeğerlerin hepsinin farklı olduğunu varsayarak) ve D bir n × n Diyagonal matris köşegen elemanları özdeğerleri olan Bir. Bu çözüm, yukarıdaki kararlılık sonucunu motive eder: Birt Zamanla sıfır matrisine daralır ancak ve ancak özdeğerleri Bir mutlak değerde birlikten daha azdır.

Birinci dereceden bir matris sisteminden tek bir skaler değişkenin dinamiklerinin çıkarılması

İtibaren nboyutlu sistem yt = Ayt−1, durum değişkenlerinden birinin dinamiklerini çıkarabiliriz, diyelim ki y1. Yukarıdaki çözüm denklemi yt bunun için çözümün y1,t açısından n özdeğerleri Bir. Bu nedenle, evrimini açıklayan denklem y1 kendi başına aynı özdeğerleri içeren bir çözüme sahip olmalıdır. Bu açıklama sezgisel olarak evrimin denklemini motive eder y1, hangisi

parametreler nerede aben -den karakteristik denklem matrisin Bir:

Böylece her bir bireysel skaler değişken bir nboyutlu birinci dereceden lineer sistem, tek değişkenli nMatris fark denklemi ile aynı kararlılık özelliğine (kararlı veya kararsız) sahip olan derece fark denklemi.

Üst düzey durumların çözümü ve kararlılığı

Daha yüksek mertebeden matris farkı denklemleri - yani, bir periyottan daha uzun bir gecikme süresi olan - çözülebilir ve kararlılıkları analiz edilebilir. blok matrisi (matris matrisi). Örneğin, ikinci dereceden denklemimiz olduğunu varsayalım

değişken vektör ile x olmak n × 1 ve Bir ve B olmak n × n. Bu formda istiflenebilir

nerede ben ... n × n kimlik matrisi ve 0 ... n × n sıfır matris. Sonra ifade ederek 2n × 1 mevcut ve bir kez gecikmeli değişkenlerin yığılmış vektörü zt ve 2n × 2n blok matrisi olarak Ldaha önceki çözümümüz var

Ayrıca daha önce olduğu gibi, bu yığılmış denklem ve dolayısıyla orijinal ikinci mertebeden denklem, ancak ve ancak matrisin tüm özdeğerleri L mutlak değerde birlikten daha küçüktür.

Doğrusal olmayan matris fark denklemleri: Riccati denklemleri

İçinde doğrusal-karesel-Gauss kontrolü mevcut ve gelecekteki maliyetin ters evrimi için doğrusal olmayan bir matris denklemi ortaya çıkar. matrisaşağıda şu şekilde belirtilmiştir: H. Bu denkleme ayrık dinamik denir Riccati denklemi ve doğrusal bir matris farkı denklemine göre gelişen değişken bir vektör, bir dışsal vektörü optimize etmek için ikinci dereceden maliyet fonksiyonu. Bu Riccati denklemi, aşağıdaki veya benzer bir biçimi varsayar:

nerede H, K, ve Bir vardır n × n, C dır-dir n × k, R dır-dir k × k, n vektördeki kontrol edilecek elemanların sayısı ve k kontrol vektöründeki elemanların sayısıdır. Parametre matrisleri Bir ve C doğrusal denklemden ve parametre matrislerinden K ve R ikinci dereceden maliyet fonksiyonundandır. Görmek İşte detaylar için.

Genel olarak bu denklem analitik olarak çözülemez. Ht açısından t; bunun yerine, değerlerin sırası Ht Riccati denklemini yineleyerek bulunur. Ancak gösterildi[3] bu Riccati denkleminin analitik olarak çözülebileceği R = 0 ve n = k + 1, skalere indirgeyerek rasyonel fark denklemi; dahası, herhangi biri için k ve n geçiş matrisi Bir tekil olmadığında, Riccati denklemi bir matrisin özdeğerleri açısından analitik olarak çözülebilir, ancak bunların sayısal olarak bulunması gerekebilir.[4]

Çoğu bağlamda evrimi H zamanda geriye doğru kararlıdır, yani H belirli bir sabit matrise yakınsar H* diğer tüm matrisler rasyonel olsa bile bu mantıksız olabilir. Ayrıca bakınız Stokastik kontrol § Ayrık zaman.

İlgili bir Riccati denklemi[5] dır-dir

matrislerin X, Bir, B, C, ve E hepsi n × n. Bu denklem açıkça çözülebilir. Varsayalım Xt = NtD−1
t
kesinlikle geçerli olan t = 0 ile N0 = X0 Ve birlikte D0 = ben. Sonra bunu fark denkleminde kullanmak

yani tümevarım yoluyla form Xt = NtD−1
t
herkes için geçerli t. Sonra evrimi N ve D olarak yazılabilir

Böylece tümevarım yoluyla

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson Robbie (2005). Fark Denklemleri: Tavşanlardan Kaosa. Springer. ch. 7. ISBN  0-387-23234-6.
  2. ^ Çan, Alpha C. (1984). Matematiksel Ekonominin Temel Yöntemleri (3. baskı). McGraw-Hill. pp.608–612.
  3. ^ Balvers, Ronald J .; Mitchell, Douglas W. (2007). "Doğrusal ikinci dereceden kontrol problemlerinin boyutsallığını azaltmak" (PDF). Ekonomik Dinamikler ve Kontrol Dergisi. 31 (1): 141–159. doi:10.1016 / j.jedc.2005.09.013.
  4. ^ Vaughan, D.R. (1970). "Ayrık Riccati denklemi için yinelemeli olmayan cebirsel çözüm". Otomatik Kontrolde IEEE İşlemleri. 15 (5): 597–599. doi:10.1109 / TAC.1970.1099549.
  5. ^ Martin, C. F .; Ammar, G. (1991). "Matris Riccati denkleminin geometrisi ve ilgili özdeğer yöntemi". Bittani'de; Laub; Willems (editörler). Riccati Denklemi. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-58223-3_5. ISBN  978-3-642-63508-3.