Metalojik - Metalogic - Wikipedia

Metalojik çalışmasıdır metateori nın-nin mantık. Buna karşılık mantık nasıl çalışır mantıksal sistemler inşa etmek için kullanılabilir geçerli ve ses argümanlar metalogic mantıksal sistemlerin özelliklerini inceler.^[1] Mantık, mantıksal bir sistem kullanılarak türetilebilecek gerçeklerle ilgilidir; metalojik türetilebilecek gerçeklerle ilgilidir hakkında Diller ve gerçekleri ifade etmek için kullanılan sistemler.^[2]

Metalojik çalışmanın temel nesneleri biçimsel diller, biçimsel sistemler ve bunların yorumlar. Biçimsel sistemlerin yorumlanması çalışması, matematiksel mantık bu olarak bilinir model teorisi ve çalışma tümdengelimli sistemler olarak bilinen şubedir kanıt teorisi.

Genel Bakış

Resmi dil

Bir resmi dil organize bir dizi semboller, sembolleri şekil ve yere göre kesin olarak tanımlayan semboller. Böylesi bir dil bu nedenle olmadan tanımlanabilir referans için anlamlar ifadelerinin; her şeyden önce var olabilir yorumlama ona atanmıştır - yani herhangi bir anlamı olmadan önce. Birinci dereceden mantık bazı resmi dillerde ifade edilir. Resmi bir dilbilgisi, hangi sembollerin ve sembol setlerinin olduğunu belirler. formüller resmi bir dilde.

Resmi bir dil resmi olarak bir dizi olarak tanımlanabilir Bir sabit bir alfabe üzerinde dizelerin (sonlu diziler) α. Dahil olmak üzere bazı yazarlar Rudolf Carnap, dili sıralı çift <α olarak tanımlayın, Bir>.^[3] Carnap ayrıca, her bir α öğesinin en az bir dizede yer almasını gerektirir. Bir.

Oluşum kuralları

Oluşum kuralları (olarak da adlandırılır resmi gramer) tam bir açıklamasıdır iyi biçimlendirilmiş formüller resmi bir dil. İle eşanlamlıdırlar Ayarlamak nın-nin Teller üzerinde alfabe iyi biçimlendirilmiş formülleri oluşturan resmi dilin Ancak, onların anlambilim (yani ne anlama geldiklerini).

Biçimsel sistemler

Bir resmi sistem (ayrıca a mantıksal hesapveya a mantıksal sistem) resmi bir dil ile birlikte bir tümdengelim aygıtı (ayrıca a tümdengelimli sistem). Tümdengelim aygıtı bir dizi dönüşüm kuralları (olarak da adlandırılır çıkarım kuralları) veya bir dizi aksiyomlar veya ikisine birden sahip olun. Resmi bir sistem, türetmek bir veya daha fazla başka ifadeden bir ifade.

Bir resmi sistem resmi olarak sıralı üçlü <α olarak tanımlanabilir, ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ , ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ d>, nerede ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ d, doğrudan türetilebilirlik ilişkisidir. Bu ilişki kapsamlı bir şekilde anlaşılmaktadır duyu öyle ki biçimsel sistemin ilkel cümleleri doğrudan türetilebilir -den boş küme Cümlelerin. Doğrudan türetilebilirlik, bir cümle ile sonlu, muhtemelen boş bir cümle kümesi arasındaki bir ilişkidir. Aksiyomlar öylesine seçilmiştir ki, her ilk sırada yer alan ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ d üyesidir ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ ve her ikinci sıradaki üye, sonlu bir alt kümesidir ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ .

Bir resmi sistem sadece ilişki ile de tanımlanabilir ${ displaystyle { mathcal {D}}}$ d. Böylece ihmal edilebilir ${ displaystyle { mathcal {I}}}$ ve α'nın tanımlarında yorumlanmış resmi dil, ve yorumlanmış biçimsel sistem. Ancak bu yöntemin anlaşılması ve kullanılması daha zor olabilir.^[3]

Resmi ispatlar

Bir resmi kanıt biçimsel bir dilin iyi biçimlendirilmiş formülleri dizisidir ve bunların sonuncusu bir teorem resmi bir sistemin. Teorem bir sözdizimsel sonuç ispat sisteminde ondan önce gelen tüm iyi biçimlendirilmiş formüllerin. İyi biçimlendirilmiş bir formülün bir ispatın parçası olarak nitelendirilmesi için, bazı biçimsel sistemlerin tümdengelim düzeneğinin bir kuralının ispat dizisindeki önceki iyi biçimlendirilmiş formüllere uygulanmasından kaynaklanması gerekir.

Yorumlar

Bir yorumlama Biçimsel bir sistemin anlamı, sembollere anlamların atanmasıdır ve doğruluk değerleri biçimsel sistemin cümlelerine. Yorumların incelenmesi denir Biçimsel anlambilim. Bir yorum vermek ile eş anlamlıdır inşa etmek model.

Önemli ayrımlar

Metaldil – nesne dili

Metalojikte biçimsel diller bazen nesne dilleri. Bir nesne dili hakkında açıklamalar yapmak için kullanılan dile a metaldil. Bu ayrım, mantık ve metalojik arasındaki temel farktır. Mantık ile ilgilenirken resmi bir sistemdeki kanıtlar, bazı resmi bir dille ifade edilen metalojik resmi bir sistem hakkında kanıtlar bazı nesne dilleri hakkında bir üstdilde ifade edilenler.

Sözdizimi-anlambilim

Metalojikte, 'sözdizimi' biçimsel diller veya biçimsel sistemlerle, bunların yorumlanmasına bakılmaksızın, 'anlambilim' biçimsel dillerin yorumlanmasıyla ilgilidir. 'Sözdizimsel' terimi, 'ispat-teorik'ten biraz daha geniş bir kapsama sahiptir, çünkü herhangi bir tümdengelim sistemi olmaksızın biçimsel dillerin özelliklerine ve biçimsel sistemlere uygulanabilir. 'Anlamsal', 'model-teorik' ile eş anlamlıdır.

Kullanım-bahsetme

Metalojikte, hem isim hem de fiil biçimlerinde 'kullanım' ve 'söz' kelimeleri, önemli bir ayrımı tanımlamak için teknik bir anlam kazanır.^[2] kullanım-bahsetme ayrımı (bazen kelime olarak kelime ayrımı) arasındaki ayrımdır kullanma bir kelime (veya kelime öbeği) ve söz o. Genellikle, bir ifadenin tırnak içine alınarak, italik olarak yazdırılarak veya ifadenin kendisi bir satıra ayarlanarak kullanılması yerine bahsedildiği belirtilir. Bir ifadenin tırnak içine alınması bize şunu verir: isim bir ifadenin, örneğin:

Bu makalenin adı 'Metalojik'.

Bu makale metalojik hakkındadır.

Tür belirteci

tür belirteci ayrımı soyut bir kavramı, kavramın belirli örnekleri olan nesnelerden ayıran metalojik bir ayrımdır. Örneğin, garajınızdaki belirli bir bisiklet, tip "Bisiklet" olarak bilinen bir şey. Oysa garajınızdaki bisiklet belirli bir zamanda belirli bir yerdedir ve bu, cümlede kullanılan "bisiklet" için doğru değildir: "Bisiklet son zamanlarda daha popüler hale geldi. "Bu ayrım, semboller nın-nin resmi diller.

Tarih

Metalojik sorular sorulmaktadır. Aristo.^[4]^[5]Ancak, 19. yüzyılın sonlarında ve 20. yüzyılın başlarında biçimsel dillerin yükselişiyle mantığın temellerine yönelik araştırmalar gelişmeye başladı.^[4]^[6] 1904'te, David Hilbert araştırırken matematiğin temelleri mantıksal kavramların önceden varsayıldığı ve dolayısıyla metalojik ve metamatik ilkeler gerekliydi. Bugün, metalojik ve metamatematik büyük ölçüde birbiriyle eşanlamlıdır ve her ikisi de büyük ölçüde matematiksel mantık akademide. Muhtemel bir alternatif, daha az matematiksel bir model, yazarın yazılarında bulunabilir. Charles Sanders Peirce ve diğeri göstergebilimciler.

Sonuçlar

Metalojikteki sonuçlar aşağıdaki gibi şeylerden oluşur: resmi kanıtlar gösteren tutarlılık, tamlık, ve karar verebilirlik özellikle resmi sistemler.

Metalojikteki başlıca sonuçlar şunları içerir:

Doğal sayıların kuvvet kümesinin sayılamazlığının kanıtı (Cantor teoremi 1891)
Löwenheim-Skolem teoremi (Leopold Löwenheim 1915 ve Thoralf Skolem 1919)
Gerçek-işlevselliğin tutarlılığının kanıtı önerme mantığı (Emil Post 1920)
Hakikat-işlevsel önerme mantığının anlamsal bütünlüğünün kanıtı (Paul Bernays 1918),^[7] (Emil Post 1920)^[2]
Hakikat-işlevli önerme mantığının sözdizimsel bütünlüğünün kanıtı (Emil Post 1920)^[2]
Hakikat-işlevsel önerme mantığının karar verilebilirliğinin kanıtı (Emil Post 1920)^[2]
Birinci dereceden tutarlılığın kanıtı monadik yüklem mantığı (Leopold Löwenheim 1915)
Birinci dereceden monadik yüklem mantığının anlamsal bütünlüğünün kanıtı (Leopold Löwenheim 1915)
Birinci dereceden monadik yüklem mantığının karar verilebilirliğinin kanıtı (Leopold Löwenheim 1915)
Birinci dereceden yüklem mantığının tutarlılığının kanıtı (David Hilbert ve Wilhelm Ackermann 1928)
Birinci dereceden anlamsal bütünlüğün kanıtı yüklem mantığı (Gödel'in tamlık teoremi 1930)
Kanıtı kesme-eliminasyon teoremi için ardışık hesap (Gentzen Hauptsatz 1934)
Birinci dereceden yüklem mantığının karar verilemezliğinin kanıtı (Kilise teoremi 1936)
Gödel'in ilk eksiklik teoremi 1931
Gödel'in ikinci eksiklik teoremi 1931
Tarski'nin tanımlanamazlık teoremi (Gödel ve Tarski 1930'larda)

Ayrıca bakınız

Referanslar

^ Harry Gensler, Mantığa Giriş, Routledge, 2001, s. 336.
^ ^a ^b ^c ^d ^e Avcı, Geoffrey, Metalojik: Standart Birinci Derece Mantığın Metateorisine Giriş, University of California Press, 1973
^ ^a ^b Rudolf Carnap (1958) Sembolik Mantığa ve Uygulamalarına Giriş, s. 102.
^ ^a ^b Mantık, açıklanabilirlik ve anlayışın geleceği. writeings.stephenwolfram.com.
^ Yeni Bir Bilim Türü [1]
^ Yeni Bir Bilim Türü [2]
^ Hao Wang, Kurt Gödel Üzerine Düşünceler

Dış bağlantılar

İle ilgili medya Metalojik Wikimedia Commons'ta
Dragalin, A.G. (2001) [1994], "Meta-mantık", Matematik Ansiklopedisi, EMS Basın

[1] Harry Gensler, Mantığa Giriş, Routledge, 2001, s. 336.

[metalogic-2] Avcı, Geoffrey, Metalojik: Standart Birinci Derece Mantığın Metateorisine Giriş, University of California Press, 1973

[itslaia-3] Rudolf Carnap (1958) Sembolik Mantığa ve Uygulamalarına Giriş, s. 102.

[wolfram_writings-4] Mantık, açıklanabilirlik ve anlayışın geleceği. writeings.stephenwolfram.com.

[NKS_note_d-5] Yeni Bir Bilim Türü [1]

[NKS_note_c-6] Yeni Bir Bilim Türü [2]

[reflections-7] Hao Wang, Kurt Gödel Üzerine Düşünceler

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]