Hareketli yük - Moving load

Pantograf

Tren

Tüfek

Hareketli yük örnekleri.

Güç

Osilatör

kitle

Hareketli yük türleri.

İçinde yapısal dinamik bu, uygulandığı yerin zaman içinde değişen yüktür. Örnekler: köprülerden geçen araçlar, ray üzerindeki trenler, kılavuzlar vb. Hesaplamalı modellerde yük genellikle şu şekilde uygulanır:

basit bir kütlesiz kuvvet,
bir osilatör,
eylemsizlik kuvveti (kütle ve kütlesiz kuvvet).

Hareketli yük sorunuyla ilgili çok sayıda tarihsel inceleme mevcuttur (örneğin,^[1]^[2]Birkaç yayın benzer sorunlarla ilgilenir.^[3]

Temel monografi, kütlesiz yüklere ayrılmıştır.^[4] Sayısal modellerde atalet yükü şu şekilde açıklanmıştır: ^[5]İp üzerinde hareket eden kütle parçacığının hareketini yöneten diferansiyel denklemlerin beklenmedik özelliği, Timoşenko kiriş ve Mindlin plaka içinde açıklanmaktadır.^[6] Bu, açıklığın sonuna yakın kütle yörüngesinin süreksizliğidir (hızda ipte iyi görülebilir) v=0.5c). Hareketli yük, yer değiştirmeleri önemli ölçüde artırır. Deplasmanların büyümesinin maksimum olduğu kritik hız mühendislik projelerinde dikkate alınmalıdır. Hareketli yük taşıyan yapılar sonlu boyutlara sahip olabilir veya sonsuz olabilir ve periyodik olarak desteklenebilir veya elastik temel üzerine yerleştirilebilir.

Uzunluğun basitçe desteklenen dizesini düşünün l, kesit alanı Bir, kütle yoğunluğu ρ, çekme kuvveti Nsabit bir kuvvete maruz kaldı Psabit hızla hareket etmek v. İpin hareketli kuvvetin altındaki hareket denklemi bir şekle sahiptir.

{ displaystyle -N { frac { kısmi ^ {2} w (x, t)} { kısmi x ^ {2}}} + rho A { frac { kısmi ^ {2} w (x, t)} { kısmi t ^ {2}}} = delta (x-vt) P .}

Basitçe desteklenen dizginin herhangi bir noktasının yer değiştirmesi sinüs serisi ile verilir.

{ displaystyle w (x, t) = { frac {2P} { rho Al}} toplamı _ {j = 1} ^ { infty} { frac {1} { omega _ {(j)} ^ {2} - omega ^ {2}}} left ( sin ( omega t) - { frac { omega} { omega _ {(j)}}} sin ( omega _ {( j)} t) doğru) sin { frac {j pi x} {l}} ,}

nerede

{ displaystyle omega = { frac {j pi v} {l}} ,}

ve ipin doğal dairesel frekansı

{ displaystyle omega _ {(j)} ^ {2} = { frac {j ^ {2} pi ^ {2}} {l ^ {2}}} { frac {N} { rho A }} .}

Eylemsizlik hareketli yük durumunda analitik çözümler bilinmemektedir. Hareket denklemi, hareketli yükün eylemsizliği ile ilgili terim kadar artırılır. Konsantre bir kütle m bir nokta kuvveti eşliğinde P:

{ displaystyle -N { frac { kısmi ^ {2} w (x, t)} { kısmi x ^ {2}}} + rho A { frac { kısmi ^ {2} w (x, t)} { kısmi t ^ {2}}} = delta (x-vt) P- delta (x-vt) m { frac {{ mbox {d}} ^ {2} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t ^ {2}}} .}

Farklı terim sayısı için çözümün yakınsaması.

Son terim, hesaplamaların karmaşıklığı nedeniyle mühendisler tarafından genellikle ihmal edilir. Yük etkisi, kütlesiz yük terimine indirgenmiştir. Bazen osilatör temas noktasına yerleştirilir. Bu tür yaklaşımlar, yalnızca hareket eden yük hızının düşük aralığında kabul edilebilir. Daha yüksek aralıklarda, her iki tip yük durumunda titreşimlerin hem genliği hem de frekansı önemli ölçüde farklılık gösterir.

Diferansiyel denklem sadece basit problemler için yarı analitik bir şekilde çözülebilir. Çözümü belirleyen seriler birbirine çok yakışır ve pratikte 2-3 terim yeterlidir. Daha karmaşık problemler, sonlu eleman yöntemi veya uzay-zaman sonlu eleman yöntemi.

kütlesiz yük	eylemsizlik yükü
Hareketli bir kütlesiz kuvvet altında bir ipin titreşimleri (v=0.1c); c dalga hızıdır. Hareketli bir kütlesiz kuvvet altında bir ipin titreşimleri (v=0.5c); c dalga hızıdır.	Hareketli bir eylemsizlik kuvveti altında bir ipin titreşimleri (v=0.1c); c dalga hızıdır. Hareketli bir eylemsizlik kuvveti altında bir ipin titreşimleri (v=0.5c); c dalga hızıdır.

Kitle yörüngesinin süreksizliği de Timoşenko ışınında gayet iyi görülebilir. Yüksek kesme sertliği fenomeni vurgular.

Timoşenko ışınının titreşimleri: kırmızı çizgiler - zaman içindeki ışın eksenleri, siyah çizgi - kütle yörüngesi (w₀- statik sapma).

Renaudot yaklaşımı ve Yakushev yaklaşımı
Renaudot yaklaşımı

{ displaystyle delta (x-vt) { frac { mbox {d}} {{ mbox {d}} t}} sol [m { frac {{ mbox {d}} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t}} right] = delta (x-vt) m { frac {{ mbox {d}} ^ {2} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t ^ {2}}} .}

Yakushev yaklaşımı

{ displaystyle { frac { mbox {d}} {{ mbox {d}} t}} sol [ delta (x-vt) m { frac {{ mbox {d}} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t}} right] = - delta ^ { prime} (x-vt) mv { frac {{ mbox {d}} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t}} + delta (x-vt) m { frac {{ mbox {d}} ^ {2} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t ^ {2}}} .}

Hareketli atalet yükü altında kütlesiz ip
Özel bir hareketli eylemsizlik yükü problemi olan kütlesiz bir ip düşünün. İlk Smith problemini çöz.^[7]Analiz, Fryba'nın çözümünü takip edecektir.^[4] Varsayım $ρ$ = 0, bir dizginin hareketli bir kütle altındaki hareket denklemi aşağıdaki forma getirilebilir

{ displaystyle -N { frac { kısmi ^ {2} w (x, t)} { kısmi x ^ {2}}} = delta (x-vt) P- delta (x-vt) , m { frac {{ mbox {d}} ^ {2} w (vt, t)} {{ mbox {d}} t ^ {2}}} .}

Basitçe desteklenen sınır koşulları ve sıfır başlangıç koşulları dayatıyoruz. Bu denklemi çözmek için evrişim özelliğini kullanıyoruz. İpin boyutsuz yer değiştirmelerini varsayıyoruz $y$ ve boyutsuz zaman $τ$ :

Kütlesiz sicim ve hareketli bir kütle - kütle yörüngesi.

{ displaystyle y ( tau) = { frac {w (vt, t)} {w_ {st}}} , tau = { frac {vt} {l}} , }

nerede $w$ _st dizginin ortasındaki statik sapmadır. Çözüm bir toplamla verilir

{ displaystyle y ( tau) = { frac {4 , alpha} { alpha , - , 1}} , tau , ( tau -1) , sum _ {k = 1} ^ { infty} , prod _ {i = 1} ^ {k} { frac {(a + i-1) (b + i-1)} {c + i-1}} ; { frac { tau ^ {k}} {k!}} ,}

nerede $α$ boyutsuz parametrelerdir:

{ displaystyle alpha = { frac {Nl} {2mv2}} ,> , 0 wedge alpha , neq , 1 .}

Parametreler $a$ , $b$ ve $c$ aşağıda verilmiştir

{ displaystyle a_ {1,2} = { frac {3 , pm , { sqrt {1 + 8 alpha}}} {2}} , b_ {1,2} = { frac {3 , mp , { sqrt {1 + 8 alpha}}} {2}} , c = 2 .}

Kütlesiz sicim ve hareketli bir kütle - kütle yörüngesi, α = 1.

Bu durumuda $α$ = 1 ele alınan sorunun kapalı bir çözümü var

{ displaystyle y ( tau) = sol [{ frac {4} {3}} tau (1- tau) - { frac {4} {3}} tau sol (1 + 2 tau ln (1- tau) +2 ln (1- tau) sağ) sağ] .}

Referanslar

^ C.E. Inglis. Demiryolu köprülerindeki titreşimler üzerine matematiksel bir inceleme. Cambridge University Press, 1934.
^ A. Schallenkamp. Schwingungen von Tragern bei bewegten Lasten. Ingenieur-Arşiv, 8, 182-198, 1937.
^ A.V. Pesterev; L.A. Bergman; CA. Tan; T.C. Tsao; B. Yang (2003). "Hareketli osilatör sorununun çözümünün asimptotiği üzerine" (PDF). J. Ses ve Titreşim. 260. s. 519–536. Arşivlenen orijinal (PDF) 2012-10-18 tarihinde. Alındı 2012-11-09.
^ ^a ^b L. Fryba (1999). Katıların ve yapıların hareketli yükler altındaki titreşimleri. Thomas Telford Evi. ISBN 9780727727411.
^ C.I. Bajer ve B. Dyniewicz (2012). Hareketli atalet yükü altındaki yapıların titreşimlerinin sayısal analizi. Uygulamalı ve Hesaplamalı Mekanik Ders Notları. 65. Springer. doi:10.1007/978-3-642-29548-5. ISBN 978-3-642-29547-8.
^ B. Dyniewicz ve C.I. Bajer (2009). "Parçacığın yörüngesinin bir ip üzerinde hareket etmesinin paradoksu". Arch. Appl. Mech. 79 (3). s. 213–223. doi:10.1007 / s00419-008-0222-9.
^ CE Smith (1964). "Hareket eden bir kütle parçacığı taşıyan gerilmiş bir ipin hareketi". J. Appl. Mech. 31 (1). s. 29–37.

[inglis-1] C.E. Inglis. Demiryolu köprülerindeki titreşimler üzerine matematiksel bir inceleme. Cambridge University Press, 1934.

[schalle-2] A. Schallenkamp. Schwingungen von Tragern bei bewegten Lasten. Ingenieur-Arşiv, 8, 182-198, 1937.

[bergman-3] A.V. Pesterev; L.A. Bergman; CA. Tan; T.C. Tsao; B. Yang (2003). "Hareketli osilatör sorununun çözümünün asimptotiği üzerine" (PDF). J. Ses ve Titreşim. 260. s. 519–536. Arşivlenen orijinal (PDF) 2012-10-18 tarihinde. Alındı 2012-11-09.

[fryba-4] L. Fryba (1999). Katıların ve yapıların hareketli yükler altındaki titreşimleri. Thomas Telford Evi. ISBN 9780727727411.

[cb_bd_b-5] C.I. Bajer ve B. Dyniewicz (2012). Hareketli atalet yükü altındaki yapıların titreşimlerinin sayısal analizi. Uygulamalı ve Hesaplamalı Mekanik Ders Notları. 65. Springer. doi:10.1007/978-3-642-29548-5. ISBN 978-3-642-29547-8.

[6] B. Dyniewicz ve C.I. Bajer (2009). "Parçacığın yörüngesinin bir ip üzerinde hareket etmesinin paradoksu". Arch. Appl. Mech. 79 (3). s. 213–223. doi:10.1007 / s00419-008-0222-9.

[smith64-7] CE Smith (1964). "Hareket eden bir kütle parçacığı taşıyan gerilmiş bir ipin hareketi". J. Appl. Mech. 31 (1). s. 29–37.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]