Çok değişkenli enterpolasyon - Multivariate interpolation

İçinde Sayısal analiz, çok değişkenli enterpolasyon veya uzamsal enterpolasyon dır-dir interpolasyon birden fazla değişkenli fonksiyonlar üzerinde.

Enterpolasyon yapılacak fonksiyon, verilen noktalarda bilinir. ${displaystyle (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i}, noktalar)}$ ve enterpolasyon problemi, keyfi noktalarda değer üretmekten oluşur ${displaystyle (x, y, z, noktalar)}$.

Çok değişkenli enterpolasyon, özellikle jeoistatistik, oluşturmak için kullanıldığı yerde Dijital yükseltme modeli Dünya yüzeyindeki bir dizi noktadan (örneğin, bir topografik araştırma veya derinlikler hidrografik araştırma ).

Normal ızgara

Bazı 1 ve 2 boyutlu enterpolasyonların karşılaştırılması. Siyah ve kırmızı / sarı / yeşil / mavi noktalar, sırasıyla enterpolasyonlu noktaya ve komşu örneklere karşılık gelir. Yerden yükseklikleri değerlerine karşılık gelir.

A'da bilinen fonksiyon değerleri için normal ızgara (önceden belirlenmiş, tekdüze olması gerekmez), aşağıdaki yöntemler mevcuttur.

Herhangi bir boyut

• En yakın komşu enterpolasyonu
• Kriging
• Ters mesafe ağırlıklandırma
• Doğal komşu enterpolasyonu
• Spline enterpolasyonu
• Radyal temel fonksiyon enterpolasyonu

2 boyut

• Barnes enterpolasyonu
• Çift doğrusal enterpolasyon
• Bikübik enterpolasyon
• Bézier yüzeyi
• Lanczos yeniden örnekleme
• Delaunay nirengi

Bitmap yeniden örnekleme 2D çok değişkenli enterpolasyon uygulamasıdır. görüntü işleme.

Siyah noktalarda bulunan 25 değerden aynı veri setine uygulanan yöntemlerden üçü. Renkler, enterpolasyonlu değerleri temsil eder.

Ayrıca bakınız Padua noktaları, için polinom enterpolasyonu iki değişken halinde.

3 boyut

• Trilinear interpolasyon
• Trikübik enterpolasyon

Ayrıca bakınız bitmap yeniden örnekleme.

Tensör ürün kamaları N boyutları

Catmull-Rom spline'lar herhangi bir sayıda boyuta kolayca genelleştirilebilir. kübik Hermite eğri makale size şunu hatırlatacak ${displaystyle mathrm {CINT} _ {x} (f _ {- 1}, f_ {0}, f_ {1}, f_ {2}) = mathbf {b} (x) cdot sol (f _ {- 1} f_ { 0} f_ {1} f_ {2} ight)}$ bazı 4-vektör için ${displaystyle mathbf {b} (x)}$ bir fonksiyonu olan x yalnız nerede ${displaystyle f_ {j}}$ değerdir ${displaystyle j}$ Enterpolasyon yapılacak fonksiyonun bu yaklaşımı şu şekilde yeniden yaz:

${displaystyle mathrm {CR} (x) subseteq sum _ {i = -1} ^ {2} f_ {i} b_ {i} (x)}$

Bu formül doğrudan N boyuta genelleştirilebilir:^[1]

$_ {i_ {1}, noktalar, i_ {N} = - 1} ^ {2} f_ {i_ {1} nokta i_ toplamında {displaystyle mathrm {CR} (x_ {1}, noktalar, x_ {N}) {N}} toplam _ {j = 1} ^ {N} b_ {i_ {j}} (x_ {j})}$

Hermite spline'lar da dahil olmak üzere diğer spline interpolasyon türleri için benzer genellemeler yapılabileceğini unutmayın.Verimlilik açısından genel formül aslında ardışık bir bileşim olarak hesaplanabilir. ${displaystyle mathrm {CINT}}$-her türlü tensör ürün eğrisi için tip işlemler, üç kübik enterpolasyon Ancak, gerçek şu ki, eğer varsa ${displaystyle n}$ 1 boyutlu terimler ${displaystyle mathrm {CR}}$-bir toplama benzeyen, o zaman olacak ${displaystyle n ^ {N}}$ şartlar ${displaystyle N}$boyutlu toplama.

Düzensiz ızgara (dağınık veriler)

Dağınık veriler için tanımlanan şemalar bir düzensiz ızgara hepsi normal bir ızgara üzerinde çalışmalı ve tipik olarak bilinen başka bir yönteme indirgenmelidir.

• En yakın komşu enterpolasyonu
• Düzensiz üçgen ağ tabanlı doğal komşu
• Düzensiz üçgen ağ tabanlı doğrusal enterpolasyon (bir tür parçalı doğrusal fonksiyon )
• Ters mesafe ağırlıklandırma
• Kriging
• Gradyan ile geliştirilmiş kriging (GEK)
• İnce plaka eğri
• Çok harmonik eğri (ince plakalı spline, poliharmonik spline'ın özel bir durumudur)
• Radyal temel işlevi (Çok harmonik eğriler düşük dereceli polinom terimleri olan radyal temel fonksiyonların özel bir durumudur)
• En küçük kareler eğri
• Doğal komşu enterpolasyonu

Notlar

Dış bağlantılar

• Birkaç 1D, 2D ve 3D spline enterpolasyonları için örnek C ++ kodu (Catmull-Rom spline'lar dahil).
• Çok Boyutlu Hermite Enterpolasyon ve Yaklaşım, Prof. Chandrajit Bajaja, Purdue Üniversitesi
• 3D ve 4D spline enterpolasyon yöntemlerini içeren Python kütüphanesi.