Musselmans teoremi - Musselmans theorem - Wikipedia

İçinde Öklid geometrisi, Musselman teoremi kesin bir özelliktir daireler keyfi olarak tanımlanmış üçgen.

Özellikle, izin ver ${ displaystyle T}$ bir üçgen ol ve ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$, ve ${ displaystyle C}$ onun köşeler. İzin Vermek ${ displaystyle A ^ {*}}$, ${ displaystyle B ^ {*}}$, ve ${ displaystyle C ^ {*}}$ köşeleri olmak yansıma üçgeni ${ displaystyle T ^ {*}}$, her köşesinin aynalanmasıyla elde edilir ${ displaystyle T}$ karşı tarafın karşısında.^[1] İzin Vermek ${ displaystyle O}$ ol çevreleyen nın-nin ${ displaystyle T}$. Üç daireyi düşünün ${ displaystyle S_ {A}}$, ${ displaystyle S_ {B}}$, ve ${ displaystyle S_ {C}}$ puanlarla tanımlanır ${ displaystyle A , O , A ^ {*}}$, ${ displaystyle B , O , B ^ {*}}$, ve ${ displaystyle C , O , C ^ {*}}$, sırasıyla. Teorem, bu üçünün Musselman çevreleri bir noktada buluşmak ${ displaystyle M}$, bu ters çevresine göre ${ displaystyle T}$ of izogonal eşlenik ya da dokuz noktalı merkez nın-nin ${ displaystyle T}$.^[2]

Ortak nokta ${ displaystyle M}$ nokta ${ displaystyle X_ {1157}}$ içinde Clark Kimberling'in listesi nın-nin üçgen merkezleri.^[2][3]

Tarih

Teorem ileri bir problem olarak önerildi John Rogers Musselman ve René Goormaghtigh 1939'da^[4] ve onlar tarafından 1941'de bir kanıt sunuldu.^[5] Bu sonucun bir genellemesi Goormaghtigh tarafından belirtilmiş ve kanıtlanmıştır.^[6]

Goormaghtigh’in genellemesi

Musselman'ın teoreminin Goormaghtigh tarafından genelleştirilmesi, çevrelerden açıkça bahsetmez.

Daha önce olduğu gibi ${ displaystyle A}$, ${ displaystyle B}$, ve ${ displaystyle C}$ bir üçgenin köşeleri olmak ${ displaystyle T}$, ve ${ displaystyle O}$ çevresi. İzin Vermek ${ displaystyle H}$ ol diklik merkezi nın-nin ${ displaystyle T}$yani üçünün kesişimi irtifa çizgileri. İzin Vermek ${ displaystyle A '}$, ${ displaystyle B '}$, ve ${ displaystyle C '}$ segmentlerde üç puan olmak ${ displaystyle OA}$, ${ displaystyle OB}$, ve ${ displaystyle OC}$, öyle ki ${ displaystyle OA '/ OA = OB' / OB = OC '/ OC = t}$. Üç satırı düşünün ${ displaystyle L_ {A}}$, ${ displaystyle L_ {B}}$, ve ${ displaystyle L_ {C}}$dik ${ displaystyle OA}$, ${ displaystyle OB}$, ve ${ displaystyle OC}$ noktalar olsa da ${ displaystyle A '}$, ${ displaystyle B '}$, ve ${ displaystyle C '}$, sırasıyla. İzin Vermek ${ displaystyle P_ {A}}$, ${ displaystyle P_ {B}}$, ve ${ displaystyle P_ {C}}$ bunların çizgilerle dikey kesişimleri olsun ${ displaystyle BC}$, ${ displaystyle CA}$, ve ${ displaystyle AB}$, sırasıyla.

Tarafından gözlemlenmiştir Joseph Neuberg 1884'te üç nokta ${ displaystyle P_ {A}}$, ${ displaystyle P_ {B}}$, ve ${ displaystyle P_ {C}}$ ortak bir çizgide uzanmak ${ displaystyle R}$.^[7] İzin Vermek ${ displaystyle N}$ çevrenin izdüşümü olmak ${ displaystyle O}$ çizgide ${ displaystyle R}$, ve ${ displaystyle N '}$ nokta ${ displaystyle AÇIK}$ öyle ki ${ displaystyle AÇIK '/ AÇIK = t}$. Goormaghtigh bunu kanıtladı ${ displaystyle N '}$ çevresine göre tersi ${ displaystyle T}$ noktanın izogonal eşleniğinin ${ displaystyle Q}$ üzerinde Euler hattı ${ displaystyle OH}$, öyle ki ${ displaystyle QH / QO = 2t}$.^[8][9]

Referanslar