Mutasyon (Ürdün cebiri) - Mutation (Jordan algebra) - Wikipedia

İçinde matematik, bir mutasyon, ayrıca denir homotop, unital Jordan cebiri Jordan cebirinin belirli bir elemanıyla tanımlanan yeni bir Jordan cebiridir. Mutasyonun bir birimi vardır, ancak ve ancak verilen öğe ters çevrilebilirse, bu durumda mutasyona bir uygun mutasyon veya bir izotop. Mutasyonlar ilk olarak Max Koecher Ürdün cebirsel yaklaşımında Hermit simetrik uzaylar ve sınırlı simetrik alanlar tüp tipi. İşlevsel özellikleri, sonlu boyutlu karmaşık yarı-basit Jordan cebirinin bir sıkıştırması olarak kompakt tipteki karşılık gelen Hermit simetrik uzayının açık bir inşasına izin verir. Kompaktlaştırmanın otomorfizm grubu bir karmaşık alt grup, karmaşıklaştırma onun maksimum kompakt alt grup. Her iki grup da kompaktlaştırma üzerinde geçişli olarak hareket eder. Teori, tüm Hermit simetrik uzayları kapsayacak şekilde genişletilmiştir. Ürdün çiftleri veya Ürdün üçlü sistemler. Koecher, daha genel durumdaki sonuçları, sadece Jordan cebirlerinin periyot iki otomorfizmiyle ilişkili Jordan çiftlerinin gerekli olduğu gerçeğini kullanarak doğrudan Jordan cebir durumundan elde etti.

Tanımlar

İzin Vermek Bir alan üzerinde unital Jordan cebiri olmak k karakteristik ≠ 2.[1] İçin a içinde Bir Jordan çarpma operatörünü tanımla Bir tarafından

ve ikinci dereceden temsil Q(a) tarafından

Tatmin ediyor

temel kimlik

değiştirme veya homotopi kimliği

nerede

Özellikle eğer a veya b o zaman tersinir

Bunu takip eder Bir operasyonlarla Q ve R ve kimlik öğesi bir ikinci dereceden Jordan cebiri, burada bir ikinci dereceden Jordan cebiri bir vektör uzayından oluşur Bir seçkin bir öğe 1 ve ikinci dereceden bir haritası ile Bir endomorfizmlerine Bir, aQ(a), koşulları karşılayan:

  • Q(1) = kimlik
  • Q(Q(a)b) = Q(a)Q(b)Q(a) ("temel kimlik")
  • Q(a)R(b,a) = R(a,b)Q(a) ("değişme veya homotopi kimliği"), burada R(a,b)c = (Q(a + c) − Q(a) − Q(c))b

Ürdün üçlü ürünü şu şekilde tanımlanır:

Böylece

Formüller de var

İçin y içinde Bir mutasyon Biry vektör uzayına tanımlıdır Bir çarpma ile

Eğer Q(y) tersine çevrilebilir, karşılıklı olana uygun mutasyon veya izotop.

Kuadratik Jordan cebirleri

İzin Vermek Bir bir alan üzerinde ikinci dereceden bir Jordan cebiri olmak k karakteristik ≠ 2. Aşağıdaki Jacobson (1969) doğrusal bir Jordan cebir yapısı ile ilişkilendirilebilir Bir öyle ki, eğer L(a) Jordan çarpımıdır, ikinci dereceden yapı şu şekilde verilir: Q(a) = 2L(a)2L(a2).

İlk olarak aksiyom Q(a)R(b,a) = R(a,b)Q(a) güçlendirilebilir

Nitekim, uygulandı cilk iki terim verir

Anahtarlama b ve c sonra verir

Şimdi izin ver

Değiştiriliyor b tarafından a ve a 1 ile yukarıdaki kimlik verir

Özellikle

Ürdün ürünü,

Böylece

Yukarıdaki formül 1'in bir özdeşlik olduğunu göstermektedir. Tanımlama a2 tarafından aa = Q(a) 1, doğrulanması gereken tek koşul Ürdün kimliğidir

Temel kimlikte

Değiştir a tarafından a + t1, ayarla b = 1 ve katsayılarını karşılaştırın t2 iki tarafta da:

Ayar b = 1 ikinci aksiyomda verir

ve bu nedenle L(a) ile gidip gelmeli L(a2).

Tersler

İzin Vermek Bir alan üzerinde unital Jordan cebiri olmak k karakteristik ≠ 2. Bir eleman a unital Jordan cebirinde Bir olduğu söyleniyor ters çevrilebilir bir eleman varsa b öyle ki ab = 1 ve a2b = a.[2]

Özellikleri.[3]

*a tersine çevrilebilir ancak ve ancak bir eleman varsa b öyle ki Q(a)b = a ve Q(a)b2 =1. Bu durumda ab = 1 ve a2b = a.

Eğer ab = 1 ve a2b = a, sonra Q(a)b = 2a(ab) − (a2)b = a. Ürdün kimliği [L(x),L(x2)] = 0 değiştirilerek polarize edilebilir x tarafından x + ty ve katsayısını alarak t. Bu verir

Alma x = a veya b ve y = b veya a gösterir ki L(a2) ile gidip gelir L(b) ve L(b2) ile gidip gelir L(a). Bu nedenle (b2)(a2) = 1. Uygulanıyor L(b) verir b2a = b. Bu nedenle Q(a)b2 = 1. Tersine eğer Q(a)b = a ve Q(a)b2 = 1, sonra ikinci ilişki verir Q(a)Q(b)2 Q(a) = ben. Yani ikisi de Q(a) ve Q(b) ters çevrilebilir. İlk verir Q(a)Q(b)Q(a) = Q(a) Böylece Q(a) ve Q(b) birbirlerinin tersidir. Dan beri L(b) ile gidip gelir Q(b) tersiyle gidip gelir Q(a). benzer şekilde L(a) ile gidip gelir Q(b). Yani (a2)b = L(b)a2 = Q(a)b = a ve ab = L(b)Q(a)b= Q(a)Q(b)1= 1.

*a tersinir ise ve keşke Q(a) bir bijeksiyon tanımlar Bir. Bu durumda a−1 = Q(a)−1a. Bu durumda Q(a)−1 = Q(a−1).

Gerçekten, eğer a tersine çevrilebilir, sonra yukarıdakiler ima eder Q(a) ters ile ters çevrilebilir Q(b). Herhangi bir ters b tatmin eder Q(a)b = a, yani b = Q(a)−1a. Tersine eğer Q(a) tersinir mi b = Q(a)−1a. SonraQ(a)b = a. Temel kimlik daha sonra şunu ima eder: Q(b) ve Q(a) birbirlerinin tersi mi yani Q(a)b2 = Q(a)Q(b)1=1.

*Tersi varsa benzersizdir. Eğer a ters çevrilebilir, tersi ile gösterilir a−1.

Bu formülden izler a−1 = Q(a)−1a.

*a tersine çevrilebilir ancak ve ancak 1 imajında ​​yatıyor Q(a).

Farz et ki Q(a)c = 1. Sonra temel kimlikle Q(a) tersinir, yani a ters çevrilebilir.

*Q(a)b tersine çevrilebilir ancak ve ancak a ve b ters çevrilebilir, bu durumda (Q(a)b)−1 = Q(a−1)b−1.

Bu, temel kimliğin acil bir sonucudur ve STS sadece ve sadece S ve T ters çevrilebilir.

*Eğer a tersinir, o zaman Q(a) L (a−1) = L(a).

Komütasyon kimliğinde Q(a)R(b,a) = Q (Q (a)b,a), Ayarlamak b = c2 ile c = a−1. Sonra Q (a)b = 1 ve Q(1,a) = L(a). Dan beri L(a) ile gidip gelir L(c2), R(b,a) = L(c) = L(a−1).

*a tersine çevrilebilir ancak ve ancak bir eleman varsa b öyle ki ab = 1 ve [L(a),L(b)] = 0 (a ve b "işe gidip gelme"). Bu durumda b = a−1.

Eğer L(a) ve L(b) işe gidip gel, sonra ba = 1 ima eder b(a2) = a. Tersine varsayalım ki a ters ile ters çevrilebilir b. Sonra ab = 1. Morevoer L(b) ile gidip gelir Q(b) ve dolayısıyla tersi Q(a). Yani onunla gidip geliyor L(a) = Q(a)L(b).

*Ne zaman Bir sonlu boyutludur k, bir element a tersine çevrilebilir ancak ve ancak içinde ters çevrilebilirse k[a], bu durumda a−1 yatıyor k[a].

Cebir k[a] değişmeli ve ilişkiseldir, öyleyse b tersi var ab =1 ve a2b = a. Tersine Q(a) yapraklar k[a] değişmez. Öyleyse önyargılı ise Bir orada önyargılıdır. Böylece a−1 = Q(a)−1a yatıyor k[a].

Uygun mutasyonların temel özellikleri

* Mutasyon Biry unitaldir ancak ve ancak y tersinirdir, bu durumda birim tarafından verilir y−1.
  • Mutasyon Biry ünital bir Jordan cebiridir eğer y tersinir
  • İkinci dereceden temsili Biry tarafından verilir Qy(x) = Q(x)Q(y).

Aslında [4]cebirde çarpma Biry tarafından verilir

bu yüzden tanım gereği değişmeli. Bunu takip eder

ile

Eğer e tatmin eder ae = asonra alıyor a = 1 verir

Alma a = e verir

Böylece L(y) ve L(e) işe gidip gelme. Bu nedenle y ters çevrilebilir ve e = y−1.

Şimdi için y ters çevrilebilir set

Sonra

Dahası,

En sonunda

dan beri

Bu nedenle

Böylece (Bir,Qy,y−1) bir unital ikinci dereceden Jordan cebiridir. Bu nedenle, ilişkili Jordan çarpım operatörü ile doğrusal bir Jordan cebirine karşılık gelir. M(a) tarafından verilen

Bu, operatörlerin Ly(a) Jordan kimliğini tatmin edin, böylece uygun mutasyon veya izotop Biry ünital bir Jordan cebiridir. Kuadratik Jordan cebirleri ile olan yazışma, onun ikinci dereceden temsilinin şu şekilde verildiğini gösterir: Qy.

Birlik olmayan mutasyonlar

Mutasyon tanımı aynı zamanda tersinmez elemanlar için de geçerlidir. y. Eğer Bir sonlu boyutludur R veya C, ters çevrilebilir elemanlar a içinde Bir yoğun, çünkü tersinirlik det. Q(a) ≠ 0. Yani süreklilikle uygun mutasyonlar için Jordan kimliği, keyfi mutasyonlar için Jordan kimliğini ifade eder. Genel olarak Jordan kimliği, Macdonald'ın Jordan cebirleri için teoreminden çıkarılabilir çünkü Jordan cebirinin yalnızca iki unsurunu içerir. Alternatif olarak, Ürdün kimliği, tekil ikinci dereceden bir cebir içindeki mutasyonu gerçekleştirerek çıkarılabilir.[5]

İçin a içinde Bir üzerinde ikinci dereceden bir yapı tanımlamak Bir1 = Birk tarafından

Daha sonra doğrulanabilir (Bir1, Q1, 1) bir ünital ikinci dereceden Jordan cebiridir. Karşılık gelen ünital Ürdün cebiri, Biry ideal olarak, böylece özellikle Biry Jordan kimliğini tatmin ediyor. Bir ünital ikinci dereceden Jordan cebiri için özdeşlikler, kuadratik haritanın aşağıdaki uyumluluk özelliklerinden gelir Qy(a) = Q(a)Q(y) ve kare haritası Sy(a) = Q(a)y:

  • Ry(a,a) = Ly(Sy(a)).
  • [Qy(a),Ly(a)] = 0.
  • Qy(a)Sy(a) = Sy(Sy(a)).
  • QySy = SyQy.
  • Qy(a) Qy(b) Sy(a) = Sy(Qy(a)b).
  • Qy(Qy(a)b) = Qy(a) Qy(b) Qy(a).

Hua'nın kimliği

İzin Vermek Bir ünital bir Jordan cebiri olabilir. Eğer a, b ve ab tersinir, o zaman Hua kimliği tutar:[6]

:

Özellikle eğer x ve 1 - x tersinir, o zaman da 1 - x−1 ile

Kimliğini kanıtlamak için x, Ayarlamak y = (1 – x)−1. Sonra L(y) = Q(1 – x)−1L(1 – x). Böylece L(y) ile gidip gelir L(x) ve Q(x). Dan beri Q(y) = Q(1 – x)−1, aynı zamanda L(x) ve Q(x). Dan beri L(x−1) = Q(x)−1L(x), L(y) ile de gidip gelir L(x−1) ve Q(x−1).

Bunu takip eder (x−1 – 1)xy =(1 – x) y = 1. Dahası, y – 1 = xy dan beri (1 – x)y = 1. Yani L(xy) ile gidip gelir L(x) ve dolayısıyla L(x−1 – 1). Böylece 1 – x−1 tersi var 1 – y.

Şimdi izin ver Bira mutasyonu olmak Bir tarafından tanımlandı a. Kimlik öğesi Bira dır-dir a−1. Dahası, ters çevrilebilir bir eleman c içinde Bir aynı zamanda ters çevrilebilir Bira ters ile Q(a)−1 c−1.

İzin Vermek x = Q(a)−1b içinde Bira. Ters çevrilebilir Birolduğu gibi a−1Q(a)−1b = Q(a)−1(ab). Yani Hua'nın kimliğinin özel durumu x içinde Bira

Bergman operatörü

Eğer Bir ünital bir Jordan cebiridir, Bergman operatörü için tanımlanmıştır a, b içinde Bir tarafından[7]

Eğer a o zaman tersinir

eğer b o zaman tersinir

Aslında eğer a tersinir

Q(a)Q(a−1b) = Q(a)[Q(a−1 − 2Q(a−1,b) + Q(b)]=ben − 2Q(a) Q (a−1,b) + Q(a)Q(b)=benR(a,b) + Q(a)Q(b)

ve benzer şekilde eğer b ters çevrilebilir.

Daha genel olarak Bergman operatörü, değişme veya homotopi kimliğinin bir versiyonunu karşılar:

ve temel kimliğin bir versiyonu:

Ayrıca üçüncü bir teknik kimlik var:

Yarı tersinirlik

İzin Vermek Bir bir alan üzerinde sonlu boyutlu bir ünital Jordan cebiri olmak k karakteristik ≠ 2.[8] Bir çift için (a,b) ile a ve a−1b tersinir tanımlama

:

Bu durumda Bergman operatörü B(a,b) = Q(a)Q(a−1b) üzerinde ters çevrilebilir bir operatör tanımlar Bir ve

:

Aslında

Dahası, tanım gereği a−1bc tersine çevrilebilir ancak ve ancak (ab)−1c ters çevrilebilir. Bu durumda

:

Aslında,

Varsayımı a ters çevrilebilir olduğu için bırakılabilir ab yalnızca Bergman operatörünün B(a,b) ters çevrilebilir. Çift (a,b) daha sonra olduğu söylenir yarı tersinir. Bu durumda ab formülle tanımlanır

Eğer B(a,b) tersinir, o zaman B(a,b)c = 1 bazı c. Temel kimlik şunu ima eder: B(a,b)Q(c)B(b,a) = ben. Yani sonlu boyutsallıkla B(b,a) ters çevrilebilir. Böylece (a,b) tersine çevrilebilir ancak ve ancak (b,a) ters çevrilebilir ve bu durumda

Aslında

B(a,b)(a + Q(a)ba) = a − 2R(a,b)a + Q(a)Q(b)a + Q(a)(bQ(b)a) = aQ(a)b,

böylece formül uygulayarak gelir B(a,b)−1 her iki tarafa.

Eskisi gibi (a,b+c) yarı-tersinirdir ancak ve ancak (ab,c) yarı tersine çevrilebilir; ve bu durumda

Eğer k = R veya Cbu, özel durumdan süreklilik ile takip edilir. a ve a−1b ters çevrilebilirdi. Genelde ispat, Bergman operatörü için dört kimlik gerektirir:

Aslında uygulanıyor Q kimliğe B(a,b)ab = aQ(a)b verim

İlk kimlik, iptal ederek takip eder B(a,b) ve B(b,a). İkinci kimlik, benzer bir iptal ile takip eder.

B(a,b)Q(ab,c)B(b,a) = Q(B(a,b)ab,B(a,b)c) = Q(aQ(a)b,B(a,b)c) = B(a,b)(Q(a,c) − R(c,b)Q(a)) = (Q(a,c) − Q(a)R(b,c))B(b,a).

Üçüncü kimlik, ikinci kimliği bir öğeye uygulayarak takip eder d ve sonra rollerini değiştir c ve d. Dördüncü, çünkü

B(a,b)B(ab,c) = B(a,b)(benR(ab,c) + Q(ab)Q(c)) = benR(a,b + c) + Q(a) Q(b + c) = B(a,b+c).

Aslında (a,b) yarı-tersinirdir ancak ve ancak a mutasyonda yarı tersine çevrilebilir Birb. Bu mutasyon tek başına olmayabileceğinden, bu, bir kimlik birleştiğinde 1 − a tersinir hale gelir Birbk1. Bu durum, mutasyon veya homotoptan bahsetmeden şu şekilde ifade edilebilir:

:(a,b) yarı-tersine çevrilebilir ancak ve ancak bir eleman varsa c öyle ki B(a,b)c = aQ(a)b ve B(a,b)Q(c)b = Q(a)b. Bu durumda c = ab.

Aslında eğer (a,b) yarı tersine çevrilebilir, o zaman c = ab tanım gereği ilk kimliği karşılar. İkincisi, çünkü B(a,b)Q(ab) = Q(a). Tersine, koşullar şunu belirtir: Birbk1 koşullar şunu ima ediyor 1 + c tersidir 1 − a. Diğer taraftan, ( 1 − a) ∘ x = B(a,b)x için x içinde Birb. Bu nedenle B(a,b) ters çevrilebilir.

Eşdeğerlik ilişkisi

İzin Vermek Bir bir alan üzerinde sonlu boyutlu bir ünital Jordan cebiri olmak k karakteristik ≠ 2.[9]İki çift (aben,bben) ile aben tersinir olduğu söyleniyor eşdeğer Eğer (a1)−1b1 + b2 ters çevrilebilir ve a2 = (a1)b1b2.

Bu bir eşdeğerlik ilişkisidir, çünkü eğer a tersinir a0 = a böylece bir çift (a,b) kendisine eşdeğerdir. Tanımından beri simetriktir a1 = (a2)b2b1. Geçişlidir. Varsayalım ki (a3,b3) üçüncü bir çifttir (a2)−1b2 + b3 ters çevrilebilir ve a3 = (a2)b2b3. Yukarıdan

ters çevrilebilir ve

Yarı tersinirlik söz konusu olduğunda, bu tanım şu duruma genişletilebilir: a ve a−1b tersinir olduğu varsayılmaz.

İki çift (aben,bben) Olduğu söyleniyor eşdeğer Eğer (a1, b1b2) yarı tersine çevrilebilir ve a2 = (a1)b1b2. Ne zaman k = R veya CBu daha genel tanımın aynı zamanda bir denklik bağıntısı da vermesi, tersinmez durumdan süreklilikle çıkarılabilir. Genel olarak kdoğrudan da doğrulanabilir:

  • İlişki dönüşlüdür çünkü (a,0) yarı tersine çevrilebilir ve a0 = a.
  • İlişki simetriktir, çünkü a1 = (a2)b2b1.
  • İlişki geçişlidir. Varsayalım ki (a3,b3) üçüncü bir çifttir (a2, b2b3) yarı tersinir ve a3 = (a2)b2b3. Bu durumda
Böylece (a1,b1b3) ile yarı tersine çevrilebilir

Eşdeğerlik sınıfı (a,b) ile gösterilir (a:b).

Yapı grupları

İzin Vermek Bir sonlu boyutlu karmaşık yarı basit tek Ürdün cebiri olabilir. Eğer T üzerinde bir operatör Bir, İzin Vermek Tt iz formuna göre devrik olması. BöyleceL(a)t = L(a), Q(a)t = Q(a), R(a,b)t = R(b,a) ve B(a,b)t = B(b,a). yapı grubu nın-nin Bir içerir g içinde GL (Bir) öyle ki

Bir grup oluştururlar Γ (Bir). Otomorfizm grubu Aut Bir nın-nin Bir tersinir karmaşık doğrusal operatörlerden oluşur g öyle ki L(ga) = gL(a)g−1 ve g1 = 1. Bir otomorfizmden beri g iz formunu korur, g−1 = gt.

  • Yapı grubu transpoze altında kapalıdır ggt ve bitişik gg*.
  • Yapı grubu, otomorfizm grubunu içerir. Otomorfizm grubu, yapı grubundaki 1 stabilizatörü ile tanımlanabilir.
  • Eğer a ters çevrilebilir Q(a) yapı grubunda yer alır.
  • Eğer g yapı grubundadır ve a ters çevrilebilir ga aynı zamanda (ga)−1 = (gt)−1a−1.
  • Yapı grubu Γ (Bir) invertibl elemanlar kümesi üzerinde geçişli olarak hareket eder. Bir.
  • Her g içinde Γ (Bir) forma sahiptir g = h Q(a) ile h bir otomorfizm ve a tersinir.

Karmaşık Jordan cebiri Bir gerçek bir karmaşıklaşmadır Öklid Ürdün cebiri E, bunun için izleme formu bir iç çarpımı tanımlar. İlişkili bir evrim var aa* açık Bir karmaşık bir iç çarpıma yol açan Bir. üniter yapı grubu Γsen(Bir) Γ'nin alt grubudur (Bir) üniter operatörlerden oluşur, böylece Γsen(Bir) = Γ (Bir) ∩ U (Bir). Kimlik bileşeni Γsen(Bir) ile gösterilir K. Bağlı bir kapalı alt gruptur U (Bir).

  • 1 inçlik sabitleyicisen(Bir) Aut E.
  • Her g Γ içindesen(Bir) forma sahiptir g = h Q(sen) ile h Aut'da E ve sen ters çevrilebilir Bir ile sen* = sen−1.
  • Γ (Bir) karmaşıklaşmasıdır ificationsen(Bir).
  • Set S tersinir elemanların sen içinde Bir öyle ki sen* = sen−1 bunlarla eşdeğer olarak karakterize edilebilir sen hangisi için L(sen) ile normal bir operatördür uu* = 1 veya bunlar gibi sen formun exp ia bazı a içinde E. Özellikle S bağlandı.
  • Γ'nin kimlik bileşenisen(Bir) üzerinde geçişli davranır S
  • Verilen bir Jordan çerçeve (eben) ve v içinde Birbir operatör var sen Γ'nin kimlik bileşenindesen(Bir) öyle ki uv = ∑ αben eben α ileben ≥ 0. Eğer v ters çevrilebilir, sonra αben > 0.

Yapı grubu Γ (Bir) doğal olarak etki eder X.[10] İçin g içinde Γ (Bir), Ayarlamak

Sonra (x,y) yarı-tersinirdir ancak ve ancak (gx,(gt)−1y) yarı tersine çevrilebilir ve

Aslında kovaryans ilişkileri g ile Q ve tersi şu anlama gelir

Eğer x tersine çevrilebilir ve dolayısıyla her yerde yoğunluğa göre. Buna karşılık bu, yarı-ters ilişkiyi ima eder. Eğer a o zaman tersinir Q(a) Γ (Bir) ve eğer (a,b) yarı tersine çevrilebilir B(a,b) Γ (Bir). Yani her iki tür operatör de X.

Yapı grubu için tanımlayıcı ilişkiler, bunun kapalı bir alt grup olduğunu gösterir. nın-nin GL (Bir). Dan beri Q(ea) = e2L(a), karşılık gelen karmaşık Lie cebiri operatörleri içerir L(a). Komütatörler [L(a),L(b)] türevlerinin karmaşık Lie cebirini kapsar Bir. Operatörler R(a,b) = [L(a),L(b)] + L(ab) açıklık ve tatmin etmek R(a,b)t = R(b,a) ve[R(a,b),R(c,d)]=R(R(a,b)c,d) − R(c,R(b,a)d).

Bölüm uzayının geometrik özellikleri

İzin Vermek Bir sonlu boyutlu karmaşık bir ünital Jordan cebiri olmak yarı basit, yani izleme formu Tr L(ab) dejenere değildir. İzin Vermek X bölümü olmak Bir×Bir denklik ilişkisi ile. İzin Vermek Xb alt kümesi olmak X sınıfların (a:b). Harita φb:XbBir, (a:b) ↦ a enjekte edici. Bir alt küme U nın-nin X açık olacak şekilde tanımlanır, ancak ve ancak UXb herkese açık b.

geçiş haritaları of Atlas çizelgelerle φb tarafından verilir

ve o zamandan beri enjekte edici ve holomorfik

türev ile

Bu, karmaşık bir manifoldun yapısını tanımlar X Çünkü φdc ∘ φcb = φdb açık φb(XbXcXd).

Sonlu bir nokta kümesi verildiğinde (aben:bben) içinde X, ortak bir yerde bulunurlar Xb.

Aslında, tüm polinom fonksiyonlar pben(b) = det B(aben,bbenb) beri önemsiz değil pben(bben) = 1. Bu nedenle, bir b öyle ki pben(b) ≠ 0 hepsi için bentam olarak bunun kriteri olan (aben:bben) yalan söylemek Xb.

X kompakttır.

Loos (1977) bir açık oluşturmak için Bergman operatörlerini kullanır biholomorfizm arasında X ve bir kapalı pürüzsüz cebirsel alt çeşitlilik nın-nin karmaşık projektif uzay.[11] Bu özellikle şu anlama gelir: X kompakttır. Simetri gruplarını kullanan daha doğrudan bir kompaktlık kanıtı vardır.

Verilen bir Jordan çerçeve (eben) içinde Eher biri için a içinde Bir var k içinde U = Γsen(Bir) öyle ki a=k(∑ αben eben)ile αben ≥ 0 (ve αben > 0 Eğer a tersinir). Aslında, eğer (a,b) içinde X o zaman eşdeğerdir k(c,d) ile c ve d unital Jordan alt cebirinde Bire = ⊕ Cebenkarmaşıklaşması olan Ee = ⊕ Reben.İzin Vermek Z karmaşık bir manifold olabilir Bire. Çünkü Bire doğrudan kopyalarının toplamıdır C, Z Riemann kürelerinin her biri için bir ürünüdür eben. Özellikle kompakttır. Doğal bir harita var Z içine X sürekli olan. İzin Vermek Y imajı olmak Z. Kompakttır ve bu nedenle kapanışıyla çakışır Y0 = BireBir = X0. Set UY kompakt setin sürekli görüntüsüdür U × Y. Bu nedenle kompakttır. Diğer taraftan, UY0 = X0, bu nedenle yoğun bir alt kümesini içerir X ve bu nedenle çakışmalıdır X. Yani X kompakttır.

Yukarıdaki argüman gösteriyor ki her (a,b) içinde X eşdeğerdir k(c,d) ile c ve d içinde Bire ve k içindeΓsen(Bir). Haritalama Z içine X aslında bir katıştırmadır. Bu bir sonucudur (x,y) yarı tersinir olmak Bire eğer ve sadece içinde yarı-tersinir ise Bir. Gerçekten, eğer B(x,y) enjekte ediyor Bir, sınırlaması Bire aynı zamanda enjekte edici. Tersine, yarı-tersi için iki denklem Bire bunun da yarı-ters olduğunu ima etmek Bir.

Möbius dönüşümleri

İzin Vermek Bir sonlu boyutlu karmaşık yarı basit tek Ürdün cebiri olabilir. SL grubu (2,C) tarafından hareket eder Möbius dönüşümü üzerinde Riemann küresi C ∪ {∞}, tek noktalı sıkıştırma nın-nin C. Eğer g SL'de (2,C) matris tarafından verilir

sonra

SL'nin bu eyleminin bir genellemesi var (2,C) için Bir ve sıkıştırılması X. Bu eylemi tanımlamak için, SL (2,C), alt ve üst birim üçgen matrislerin ve köşegen matrislerin üç alt grubu tarafından oluşturulur. Ayrıca alt (veya üst) birim üçgen matrisler, köşegen matrisler ve matris tarafından üretilir.

Matris J Möbius dönüşümüne karşılık gelir j(z) = −z−1 ve yazılabilir

∞ sabitleyen Möbius dönüşümleri sadece üst üçgen matrislerdir. Eğer g ∞'ı sabitlemez, ∞'ı sonlu bir noktaya gönderir a. Ama sonra g göndermek için bir üst birim üçgen ile oluşturulabilir a 0'a ve sonra J 0'ı sonsuza göndermek için.

Bir eleman için a nın-nin Bireylemi g SL'de (2,C) aynı formülle tanımlanır

Bu, bir öğesini tanımlar C[a] şartıyla γa + δ1 tersinir Bir. Eylem böylece her yerde tanımlanır Bir Eğer g üst üçgendir. Öte yandan, eylem X daha düşük üçgen matrisler için tanımlamak basittir.[12]

  • Çapraz matrisler için g çapraz girişli α ve α−1, g(a,b) = (α2a, α−2b) üzerinde iyi tanımlanmış bir holomorfik eylemdir Bir2 bölüme geçen X. Açık X0 = Bir Möbius eylemine katılıyor.
  • Alt köşegenli matrisler için, köşegen dışı γ parametresi ile, g(a,b) = (a,b - γ1). Yine bu holomorfiktir Bir2 ve bölüme geçer X. Ne zaman b = 0 ve γ ≠ 0,
Eğer γa + 1 tersine çevrilebilir, bu nedenle bu Möbius eyleminin bir uzantısıdır.
  • Çapraz olmayan parametre rices ile üst birim üçgen matrisler için, X0 = (Bir:0) tarafından tanımlanır g(a,0) = (a + β1). Loos (1977) bunun karmaşık bir tek parametreli akışı tanımladığını gösterdi Bir. Karşılık gelen holomorfik kompleks vektör alanı, X, böylece kompakt karmaşık manifold üzerindeki eylem X ilişkili karmaşık akışla tanımlanabilir. Daha basit bir yöntem, operatörün J üniter yapı grubu ile iç içe geçmiş ilişkileri kullanılarak doğrudan uygulanabilir.

Aslında tersinir elemanlarda Bir, operatör j(a) = −a−1 tatmin eder j(ga) = (gt)−1j(a). Bir biholomorfizmi tanımlamak için j açık X öyle ki jg = (gt)−1jbunları tanımlamak için yeterli (a:b) bazı uygun yörüngede Γ (Bir) veya Γsen(Bir). Öte yandan, yukarıda belirtildiği gibi bir Jordan çerçeve (eben) içinde Eher biri için a içinde Bir var k içinde U = Γsen(Bir) öyle ki a=k(∑ αben eben) ile αben ≥ 0.

Hesaplanması j ilişkisel değişmeli cebirde Bire doğrudan bir ürün olduğu için basittir. İçin c = ∑ αben eben ve d = ∑ βben ebenBergman operatörü Bire belirleyicidir det B(c,d) = ∏ (1 - αbenβben)2. Özellikle det B(c,d - λ) ≠ 0 bazı λ ≠ 0 için (c,d) eşdeğerdir (x, λ). İzin Vermek μ = −λ−1. Açık Biryoğun bir dizi için a, çift (a, λ) eşdeğerdir (b,0) ile b tersinir. Sonra (−b−1,0) eşdeğerdir (μ - μ2a, μ). Dan beri a ↦ μ - μ2a holomorfik mi onu takip eder j benzersiz bir sürekli uzantısı vardır X öyle ki jg = (gt)−1j için g içinde Γ (Bir), uzantı holomorfiktir ve λ ≠ 0, μ = −λ−1

Üst birim üçgen matrislere karşılık gelen holomorfik dönüşümler, eşlenik oldukları gerçeği kullanılarak tanımlanabilir. J eylemi zaten bilinen daha düşük birim üçgen matrisler. Doğrudan cebirsel bir yapı verilmiştir. Dineen, Mackey ve Mellon (1999).

Bu eylem SL (2,C) inklüzyonlarla uyumludur. Daha genel olarak eğer e1, ..., em bir Jordan çerçevesi var, bir eylem var SL (2,C)m açık Bire hangisine kadar uzanır Bir. Eğer c = ∑ γbeneben ve b = ∑ βbeneben, sonra S(c) ve T(b) alt ve üst birim üçgen matrislerin çarpımının etkisini verir. Eğer a = ∑ αbeneben tersine çevrilebilir, diyagonal matrislerin karşılık gelen çarpımı şu şekilde hareket eder: W = Q(a).[13] Özellikle köşegen matrisler bir eylem verir (C*)m ve Tm.

Holomorfik simetri grubu

İzin Vermek Bir sonlu boyutlu karmaşık yarı basit tek Ürdün cebiri olabilir. Karmaşık bir matris grubunun geçişli bir holomorfik eylemi vardır. G kompakt karmaşık manifoldda X. Koecher (1967) tarif G benzer şekilde SL (2,C) jeneratörler ve ilişkiler açısından. G ile sınırlı holomorfik vektör alanlarının karşılık gelen sonlu boyutlu Lie cebirine etki eder X0 = Bir, Böylece G kapalı bir matris grubu olarak gerçekleştirilmiştir. Merkezsiz kompakt bir Lie grubunun, yani yarı-basit bir cebirsel grubun karmaşıklaştırılmasıdır. Kimlik bileşeni H kompakt grup, geçişli olarak X, Böylece X olarak tanımlanabilir Hermit simetrik uzay kompakt tip.[14]

Grup G üzerinde üç tür holomorfik dönüşüm tarafından üretilir X:

  • Operatörler W öğelere karşılık gelen W içinde Γ (Bir) veren W(a,b) = (WA, (Wt)−1b). Bunlar zaten yukarıda açıklanmıştır. Açık X0 = Birtarafından verilir aWA.
  • Operatörler Sc tarafından tanımlandı Sc(a,b) = (a,b + c). Bunlar, alt birim üçgen matrislerin analoglarıdır ve toplamsal gruba izomorfik bir alt grup oluştururlar. Bir, verilen parametreleştirme ile. Yine bunlar holomorfik olarak hareket eder Bir2 ve eylem bölüme geçer X. Açık Bir eylem tarafından verilir aac Eğer (a,c) yarı tersine çevrilebilir.
  • Dönüşüm j karşılık gelen J içinde SL (2,C). Yukarıda eyleminin bir parçası olarak inşa edilmiştir. PSL (2,C) = SL (2,C) / {± I} üzerinde X. İçindeki ters çevrilebilir elemanlar hakkında Bir tarafından verilir a ↦ −a−1.

Operatörler W operatör grubunu normalleştirmek Sc. Benzer şekilde operatör j yapı grubunu normalleştirir, jW = (Wt)−1j. Operatörler Tc = jScj ayrıca, ilave gruba izomorfik bir holomorfik dönüşüm grubu oluşturur. Bir. Üst birim üçgen alt grubunu genelleştirir. SL (2,C). Bu grup operatörler tarafından normalleştirilmiştir W yapı grubunun. Operatör Tc Üzerinde davranır Bir gibi aa + c. Eğer c skaler bir operatördür Sc ve Tc alt ve üst birim üçgen matrislere karşılık gelen operatörlerle çakışır SL (2,C). Buna göre bir ilişki var j = S1T1S1 ve PSL (2,C) alt grubudur G. Loos (1977) operatörleri tanımlar Tc holomorfik vektör alanıyla ilişkili akış açısından X, süre Dineen, Mackey ve Mellon (1999) doğrudan cebirsel bir tanım verin.

G üzerinde geçişli davranır X.

Aslında, SbTa(0:0) = (a:b).

İzin Vermek G−1 ve G+1 simetrilerin oluşturduğu karmaşık Abelyen gruplar olabilir Tc ve Sc sırasıyla. İzin Vermek G0 = Γ (Bir).

İçin iki ifade G aşağıdaki gibi eşlenik ile eşdeğerdir j.

İçin a tersinir, Hua'nın kimliği yeniden yazılabilir

Dahası, j = S1T1S1 veSc = jTcj.[15]

Konvaryans ilişkileri şunu göstermektedir: G setlere düşmekG0G1, G0G1jG1, G0G1jG1jG1, G0G1jG1jG1jG1. ... için ilk ifade G dördüncü veya sonraki kümelerde yeni öğelerin görünmediği belirlendiğinde bunu takip eder. Bunun için bunu göstermek yeterli[16]

jG1jG1jG0 G1jG1jG1.

O zaman üç veya daha fazla olay varsa j, sayı yinelemeli olarak ikiye düşürülebilir. Verilen a, b içinde Bir, toplamak λ ≠ 0 Böylece c = a - λ ve d = b - λ−1 ters çevrilebilir. Sonra

hangisinde yatıyor G0G1j G1jG1.

Dengeleyici (0:0) içinde G dır-dir G0G−1.

Kontrol etmek yeterlidir. SaTb(0:0) = (0:0), sonra b = 0. Öyleyse (b:0) = (0: −a) = (0:0), yani b = 0.

Değişim ilişkileri

G tarafından üretilir G±1.

İçin a tersinir, Hua'nın kimliği yeniden yazılabilir

Dan beri j = S1T1S1operatörler Q(a) tarafından oluşturulan gruba ait G±1.[17]

Yarı ters çevrilebilir çiftler için (a,b), Orada "değişim ilişkileri"[18]

SbTa = TabB(a,b)−1Sba.

Bu kimlik gösteriyor ki B(a,b) tarafından oluşturulan grupta G±1. Ters almak, kimliğe eşdeğerdir TaSb = SbaB(a,b)Tab.

Değişim ilişkilerini kanıtlamak için yoğun noktalara uygulandığında geçerli olup olmadığını kontrol etmek yeterlidir. (c:0) içinde X hangisi için (a+c,b) yarı tersine çevrilebilir. Daha sonra kimliğe indirgenir:

Aslında, eğer (a,b) yarı tersine çevrilebilir, o zaman (a + c,b) yarı-tersinirdir ancak ve ancak (c,ba) yarı tersine çevrilebilir. Bu, çünkü (x,y) yarı-tersinirdir ancak ve ancak (y,x) dır-dir. Üstelik yukarıdaki formül bu durumda geçerlidir.

Kanıt için iki kimlik daha gerekiyor:

İlki, devrik uygulayarak önceki bir kimlikten çıkar. İkincisi için, devrik nedeniyle, birinci eşitliği ispatlamak yeterlidir. Ayar c = bQ(b)a kimlikte B(a,b)R(ab,c) =R(a,c) − Q(a)Q(b,c) verim

B(a,b)R(ab,bQ(b)c) = B(a,b)R(a,b),

böylece kimlik iptal ederek takip eder B(a,b).

Formülü, ilişkileri kanıtlamak için (a + c)b = B(a,c)−1(a + cQ(a + c)b)ve ab + B(a,b)−1c(ba) = B(a + c,b)−1(B(c,ba) (aQ(a)b) + cQ(c)ba) bunu kanıtlamanın yeterli olduğunu göster

a + cQ(a + c)b = B(c,ba) (aQ(a)b) + cQ(c)ba.

Aslında, B(c,ba) (aQ(a)b) + cQ(c)ba = a + cQ(a)b + 2R(c,ba)(aQ(a)b) − Q(c)[ baQ(ba)(aQ(a)b)]. Diğer taraftan, 2R(c,ba)(aQ(a)b) = 2R(c,aQ(a)b)ba = R(a,b)c = 2Q(a,c)b ve baQ(ba)(aQ(a)b) = baQ(b)B(a,b)−1(aQ(a)b) = baQ(b)ab = b. Yani B(c,ba) (aQ(a)b) + cQ(c)ba = a + cQ(a)b − 2Q(a,c)bQ(c)b = a + cQ(a + c)b.

Şimdi ayarlayın Ω = G+1G0G−1. O zaman değişim ilişkileri şunu ima eder: Sb Ta yatıyor Ω ancak ve ancak (a,b) yarı tersine çevrilebilir; ve şu g yatıyor Ω ancak ve ancak g(0:0) içinde X0.[19]

Aslında eğer Sb Ta yatıyor Ω, sonra (a,b) eşdeğerdir (x,0)yani yarı tersinir bir çift; sohbet, değişim ilişkilerinden gelir. Açıkça Ω (0: 0) = G1(0:0) = X0. Karşılık gelen G = G−1G1 G0G−1 ve için kriter Sb Ta yalan söylemek Ω.

Holomorfik vektör alanlarının Lie cebiri

Kompakt kompleks manifold X uzayda modellenmiştir Bir. Geçiş haritalarının türevleri, teğet demetini holomorfik geçiş fonksiyonları FM.Ö:XbXc → GL (Bir). Bunlar tarafından verilir FM.Ö(a,b) = B(a,bc), Böylece yapı grubu karşılık gelen ana lif demeti azaltır Γ (Bir)yapı grubu Bir.[20] Fiber ile ilgili holomorfik vektör demeti Bir karmaşık manifoldun teğet demetidir X. Holomorfik bölümleri, sadece holomorfik vektör alanlarıdır. X. Bilinen holomorfik simetrilerinin doğal ek etkisi altında değişmez olmaları gerektiği gerçeği kullanılarak doğrudan belirlenebilirler. X. Sonlu boyutlu karmaşık yarıbasit bir Lie cebiri oluştururlar. Bu vektör alanlarının kısıtlanması X0 açıkça tanımlanabilir. Bu tanımlamanın doğrudan bir sonucu, Lie cebirinin üç aşamalı olması ve holomorfik simetri grubunun X, üreticiler ve ilişkiler tarafından tanımlanan Koecher (1967) ve Loos (1979), karmaşık bir doğrusal yarı-basit cebirsel gruptur ve biholomorfizmler grubu ile çakışır X.

Holomorfik otomorfizmlerin üç alt grubunun Lie cebirleri X holomorfik vektör alanlarının doğrusal uzaylarına yol açar X ve dolayısıyla X0 = Bir.

  • Yapı grubu Γ (Bir) Lie cebiri var operatörler tarafından kapsayan R(x,y). Bunlar karmaşık bir Lie cebirini tanımlar doğrusal vektör alanları aR(x,y)a açık Bir.
  • Çeviri operatörleri Bir gibi Tc(a) = a + c. Karşılık gelen tek parametreli alt gruplar şu şekilde verilir: Ttc ve karşılık gelir sabit vektör alanları ac. Bunlar bir Abelian Lie cebiri verir vektör alanlarının Bir.
  • Operatörler Sc üzerinde tanımlanmış X tarafından Sc(a,b) = (a,bc). Karşılık gelen tek parametreli gruplar Stc tanımlamak ikinci dereceden vektör alanları aQ(a)c açık Bir. Bunlar bir Abelian Lie cebiri verir vektör alanlarının Bir.

İzin Vermek

Sonra tanımlayarak için ben ≠ −1, 0, 1, karmaşık bir Lie cebiri oluşturur

Bu, bir 3 dereceli Lie cebiri. Elemanlar için (a,T,b) içinde Lie parantezi şu şekilde verilir:

Grup PSL (2,C) Möbius dönüşümlerinin X Lie cebirini normalleştirir . Dönüşüm j(z) = −z−1 Weyl grup öğesine karşılık gelen J dahil edici otomorfizmi tetikler σ veren

Daha genel olarak bir Möbius dönüşümünün eylemi

açıkça tanımlanabilir. Jeneratörler açısından köşegen matrisler şu şekilde hareket eder:

Üst birim üçgen matrisler,

ve daha düşük birim üçgen matrisler,

Bu, matris gösteriminde tek tip olarak yazılabilir:

Özellikle derecelendirme, köşegen alt grubunun hareketine karşılık gelir. SL (2,C), | α | ile bile | = 1, dolayısıyla bir kopyası T.

Öldürme formu tarafından verilir

nerede β (T1,T2) tarafından tanımlanan simetrik çift doğrusal formdur

çift ​​doğrusal form ile (a,b) izleme formuna karşılık gelen: (a,b) = Tr L(ab).

Daha genel olarak grubun üreticileri G otomorfizmlerle hareket etmek gibi

Öldürme formu üzerinde dejenere değil .

Killing formunun dejenerasyonsuzluğu, açık formülden hemen gelir. Tarafından Cartan'ın kriteri, yarı basittir. Bir sonraki bölümde grup G olarak gerçekleşir karmaşıklaştırma bağlı bir kompakt Lie grubunun H önemsiz merkezi ile yarı basit. Bu, yarı basitliği doğrulamak için doğrudan bir yol sağlar. Grup H ayrıca geçişli olarak hareket eder X.

üzerindeki tüm holomorfik vektör alanlarının Lie cebiridir X.

Bunu kanıtlamak için holomorfik vektör alanlarını tüketir Xgrubu not et T holomorfik vektör alanlarına etki eder. Böyle bir vektör alanının kısıtlanması X0 = Bir holomorfik bir harita verir Bir içine Bir. 0 civarındaki güç serisi genişlemesi, derecenin homojen kısımlarının yakınsak bir toplamıdır. m ≥ 0. Eylemi T derecenin bir kısmını ölçeklendirir m tarafından α2m − 2. Fourier katsayılarını alarak Tderece kısmı m aynı zamanda bir holomorfik vektör alanıdır. Konjugasyondan beri J tersini verir T, bunun sonucu olarak mümkün olan tek dereceler 0, 1 ve 2'dir. Derece 0, sabit alanlar tarafından hesaplanır. Konjugasyondan beri J derece 0 ve derece 2 arasında değişirse, tüm bu holomorfik vektör alanlarını hesaba katın. Herhangi bir başka holomorfik vektör alanı, derece 1'de görünmek zorunda kalacak ve bu nedenle, aAnne bazı M içinde Son Bir. Tarafından konjugasyon J böyle bir harita daha verirdi N. Dahası, etM(a,0,0)= (etMa,0,0). Ama sonra

Ayarlamak Ut = etM ve Vt = etB. Sonra

Bunu takip eder Ut lies in Γ (Bir) hepsi için t and hence that M lies in . Yani is exactly the space of holomorphic vector fields on X.

Compact real form

Eylemi G açık is faithful.

Varsayalım g = WTxSy Tz acts trivially on . Sonra Sy Tz must leave the subalgebra (0,0,Bir) invariant. Hence so must Sy. This forces y = 0, Böylece g = WTx + z. Ama sonra Tx+z must leave the subalgebra (Bir,0,0) invariant, so that x + z = 0 ve g = W. Eğer W acts trivially, W = ben.[21]

Grup G can thus be identified with its image in GL .

İzin Vermek Bir = E + iE be the complexification of a Euclidean Jordan algebra E. İçin a = x + iy, Ayarlamak a* = xiy. The trace form on E defines a complex inner product on Bir and hence an adjoint operation. The unitary structure group Γsen(Bir) bunlardan oluşur g içinde Γ (Bir) that are in U(Bir), i.e. satisfy İyi oyun*=g*g = ben. It is a closed subgroup of U(Bir). Its Lie algebra consists of the skew-adjoint elements in . Define a conjugate linear involution θ açık tarafından

This is a period 2 conjugate-linear automorphism of the Lie algebra. It induces an automorphism of G, which on the generators is given by

İzin Vermek H be the fixed point subgroup of θ içinde G. İzin Vermek be the fixed point subalgebra of θ içinde . Define a sesquilinear form on tarafından (a,b) = −B(a,θ(b)). This defines a complex inner product on which restricts to a real inner product on . Both are preserved by H. İzin Vermek K be the identity component of Γsen(Bir). Yatıyor H. İzin Vermek Ke = Tm be the diagonal torus associated with a Jordan frame in E. Eylemi SL (2,C)m is compatible with θ which sends a unimodular matrix -e . In particular this gives a homomorphism of SU (2)m içine H.

Now every matrix M içinde SU (2) can be written as a product

The factor in the middle gives another maximal torus in SU (2) obtained by conjugating by J. Eğer a = ∑ αbeneben with |αben| = 1, then Q(a) gives the action of the diagonal torus T = Tm and corresponds to an element of KH. Eleman J lies in SU (2)m and its image is a Möbius transformation j lying in H. Böylece S = jTj is another torus in H ve TST coincides with the image of SU (2)m.

H üzerinde geçişli davranır X. The stabilizer of (0:0) dır-dir K. Ayrıca H = KSK, Böylece H is a connected closed subgroup of the unitary group on . Its Lie algebra is .

Dan beri Z = SU(2)m(0:0) for the compact complex manifold corresponding to Bire, if follows that Y = T S (0:0), nerede Y görüntüsü Z. Diğer taraftan, X = KY, BöyleceX = KTS(0:0) = KS(0:0). On the other hand, the stabilizer of (0:0) içinde H dır-dir K, since the fixed point subgroup of G0G−1 altında θ dır-dir K. Bu nedenle H = KSK. Özellikle H is compact and connected since both K ve S vardır. Because it is a closed subgroup of U , it is a Lie group. Bu içerir K and hence its Lie algebra contains the operators (0,T,0) ile T* = −T. It contains the image of SU (2)m and hence the elements (a,0,a*) ile a içinde Bire. Dan beri Bir = KAe ve (kt)−1(a*) = (ka)*, it follows that the Lie algebra nın-nin H içerir (a,0,a*) hepsi için a içinde Bir. Thus it contains .

They are equal because all skew-adjoint derivations of are inner. In fact, since H normalleştirir and the action by conjugation is faithful, the map of into the Lie algebra of derivations of is faithful. Özellikle has trivial center. To show that eşittir bunu göstermek yeterli coincides with . Derivations on are skew-adjoint for the inner product given by minus the Killing form. Değişmez iç çarpımı alın veren −Tr D1D2. Dan beri altında değişmez onun ortogonal tamamlayıcısı da öyle. İkisi de idealler , bu yüzden aralarındaki Lie parantezinin vanjsh olması gerekir. Ancak, ortogonal tamamlayıcıdaki herhangi bir türetme, 0 Lie parantezine sahip olacaktır. yani sıfır olmalıdır. Bu nedenle Lie cebiri H. (Bu aynı zamanda sönük X = sönük H - loş K.)

G genel doğrusal grubun kapalı bir alt grubuna izomorfiktir .

Yukarıdaki eylem için formüller W ve Sy şunun görüntüsünü göster G0G−1 kapalı GL . Dan beri H üzerinde geçişli davranır X ve stabilizatörü (0:0) içinde G dır-dir G0G−1bunu takip eder G = HG0G−1. Kompaktlığı H ve kapalılığı G0G−1 ima ediyor ki G kapalı GL .

G Lie cebiri ile bağlantılı karmaşık bir Lie grubudur . Karmaşıklaşmasıdır H.

G kapalı bir alt gruptur GL yani gerçek bir Lie grubu. İçerdiği için Gben ile ben = 0 veya ±1Lie cebiri . Dan beri karmaşıklaşması , sevmek tüm türevleri içseldir ve önemsiz bir merkeze sahiptir. Lie cebirinden beri G normalleştirir ve o, merkezileştiren tek unsurdur kompakt durumda olduğu gibi Lie cebiri G olmalıdır . (Bu aynı zamanda bir boyut sayımıyla da görülebilir. sönük X = sönük G - loş G0G−1.) Karmaşık bir alt uzay olduğundan, G karmaşık bir Lie grubudur. Bağlı setin sürekli görüntüsü olduğu için bağlı H × G0G−1.Dan beri karmaşıklaşması , G karmaşıklaşması H.

Kompakt olmayan gerçek form

İçin a içinde Bir spektral norm ||a|| olarak tanımlandı max αben Eğer a = u ∑ αbeneben ile αben ≥ 0 ve sen içinde K. Seçimlerden bağımsızdır ve bir norm tanımlar Bir. İzin Vermek D seti olmak a ile ||a|| <1 ve izin ver H* kapalı alt grubunun kimlik bileşeni olmak G taşıma D kendi üzerine. Tarafından üretilir KMöbius dönüşümleri PSU (1,1) ve görüntüsü SU (1,1)m Jordan çerçevesine karşılık gelir. Τ, eşlenik-doğrusal periyot 2'nin otomorfizmi olsun tarafından tanımlandı

İzin Vermek τ'nin sabit nokta cebiri olabilir. Lie cebiridir H*. Periyot 2 otomorfizmasını indükler. G sabit nokta alt grubu ile H*. Grup H* üzerinde geçişli davranır D. 0'ın sabitleyicisi K.[22]

Kompakt olmayan gerçek yarı basit Lie grubu H* Üzerinde davranır X açık yörüngeli D. Eyleminde olduğu gibi SU (1,1) Riemann küresinde, yalnızca sonlu sayıda yörünge vardır. Bu yörünge yapısı, Jordan cebiri Bir basit. İzin Vermek X0(r,s) alt kümesi olmak Bir elementlerden oluşan a = sen ∑ αbenaben tam olarak r α'nınben birden az ve tam olarak s bunlardan birden büyük. Böylece 0 ≤ r + sm. Bu setler yörüngelerin kesişme noktalarıdır X(r,s) nın-nin H* ile X0. Yörüngeler r + s = m açıklar. Eşsiz bir kompakt yörünge var X(0,0). O Shilov sınırı S nın-nin D elementlerden oluşan eix ile x içinde E, temelde yatan Öklid Ürdün cebiri. X(p,q) kapanışta X(r,s) ancak ve ancak pr ve qs.Özellikle S her yörüngenin kapanışındadır.[23]

Evrim ile Ürdün cebirleri

Önceki teori, tek parça Ürdün cebirleri açısından tüp tipi indirgenemez Hermitian simetrik uzayları tanımlamaktadır. İçinde Loos (1977) Genel Hermit simetrik uzaylar, yukarıdaki teorinin sistematik bir uzantısı ile tanımlanmaktadır. Ürdün çiftleri. Geliştirilmesinde Koecher (1969)ancak, tüp tipi olmayan indirgenemez Hermit simetrik uzaylar, basit Öklid Ürdün cebirlerinin dönem iki otomorfizması açısından tanımlanır. Aslında herhangi bir 2. periyot otomorfizmi bir Jordan çiftini tanımlar: genel sonuçları Loos (1977) Ürdün'de çiftler bu ayar için özelleştirilebilir.

Τ basit bir Öklid cebirinin iki otomorfizmi periyodu olsun E karmaşıklaştırma ile Bir. Karşılık gelen ayrışmalar var E = E+E ve Bir = Bir+Bir τ'nin ± 1 öz uzayına. İzin Vermek VBirτ = Bir. τ, izleme formunun ek koşulu karşıladığı varsayılır. V bir iç çarpımı tanımlar. İçin a içinde V, tanımlamak Qτ(a) kısıtlama olmak Q(a) -e V. Bir çift için (a,b) içinde V2, tanımlamak Bτ(a,b) ve Rτ(a,b) kısıtlama olmak B(a,b) ve R(a,b) -e V. Sonra V basittir, ancak ve ancak tüm operatörler altındaki alt uzaylar değişmez ise Qτ(a) ve Rτ(a,b) vardır (0) ve V.

Yarı tersinirlik koşulları Bir olduğunu göstermektedir Bτ(a,b) tersine çevrilebilir ancak ve ancak B(a,b) ters çevrilebilir. Yarı-ters ab hesaplansa da aynıdır Bir veya V. Bir denklik sınıfları alanı Xτ çiftler üzerinde tanımlanabilir V2. Kapalı bir alt uzaydır X, çok kompakt. Aynı zamanda, modellenen karmaşık bir manifoldun yapısına sahiptir. V. Yapı grubu Γ (V) açısından tanımlanabilir Qτ ve bir alt grup olarak üniter yapı grubuna sahiptir Γsen(V) = Γ (V) ∩ U (V) kimlik bileşeni ile Kτ. Grup Kτ τ sabit nokta alt grubunun kimlik bileşenidir. K. İzin Vermek Gτ biholomorfizmler grubu olmak Xτ tarafından oluşturuldu W içinde Gτ, 0kimlik bileşeni Γ (V)ve Abelian grupları Gτ, −1 oluşan Sa ve Gτ, + 1 oluşan Tb ilea ve b içinde V. Geçişli olarak hareket eder Xτ dengeleyici ile Gτ, 0Gτ, −1 veGτ = Gτ, 0Gτ, −1Gτ, + 1Gτ, −1. Lie cebiri holomorfik vektör alanlarının Xτ 3 kademeli bir Lie cebiridir,

Sınırlı V bileşenler daha önce olduğu gibi sabit fonksiyonlar tarafından üretilir. Voperatörler tarafından Rτ(a,b) ve operatörler tarafından Qτ(a). Lie parantezleri, öncekiyle tamamen aynı formülle verilir.

Spektral ayrışma Eτ ve V kullanılarak yapılır Tripotentler, yani öğeler e öyle ki e3 = e. Bu durumda f = e2 bir idempotenttir E+. Bir Pierce ayrışması var E = E0(f) ⊕ E½(f) ⊕ E1(f) sekiz uzayına L(f). Operatörler L(e) ve L(f) işe gidip gelmek, yani L(e) özuzayları değişmezin üstünde bırakır. Aslında L(e)2 0 olarak hareket eder E0(f)1/4 açık E½(f) ve 1 E1(f). Bu, bir Pierce ayrışmasına neden olur Eτ = Eτ, 0(f) ⊕ Eτ, ½(f) ⊕ Eτ, 1(f). Alt uzay Eτ, 1(f) birimi olan bir Öklid Ürdün cebiri olur f mutasyon altında Ürdün ürünü xy = {x,e,y}.

İki tripotent e1 ve e2 Olduğu söyleniyor dikey tüm operatörler [L(a),L(b)] = 0 ne zaman a ve b yetkileri e1 ve e2 ve karşılık gelen idempotentler f1 ve f2 ortogonaldir. Bu durumda e1 ve e2 değişmeli bir ilişkisel cebir üretir ve e1e2 = 0, dan beri (e1e2,e1e2) =(f1,f2) =0. İzin Vermek a içinde olmak Eτ. İzin Vermek F tek güçlerin yaydığı sonlu boyutlu gerçek alt uzay a. İşe gidip gelme öz-eş operatörler L(x)L(y) ile x, y garip güçleri a harekete geçmek Fböylelikle aynı anda bir ortonormal bazda köşegenleştirilebilir eben. Dan beri (eben)3 pozitif bir katıdır eben, gerekirse yeniden ölçeklendirme, eben tripotent olarak seçilebilir. Yapım yoluyla ortogonal bir aile oluştururlar. Dan beri a içinde Fyazılabilir a = ∑ αben eben ile αben gerçek. Bunlara özdeğerler denir a (τ ile ilgili olarak). Başka herhangi bir tripotent e içinde F forma sahip a = ∑ εben eben ile εben = 0, ±1, Böylece eben asgari tripotentleri imzalayacak F.

Maksimal bir ortogonal tripotent ailesi Eτ denir Jordan çerçeve. Tripotentler mutlaka minimumdur. Tüm Jordan kareleri aynı sayıda öğeye sahiptir. sıra nın-nin Eτ. Herhangi iki çerçeve, yapı grubunun alt grubundaki bir öğe ile ilişkilidir. Eτ iz formunu korumak. Belirli bir Jordan çerçevesi için (eben)herhangi bir öğe a içinde V şeklinde yazılabilir a = sen ∑ αben eben ile αben ≥ 0 ve sen bir operatör Kτ. spektral norm nın-nin a || ile tanımlanıra|| = sup αben ve seçimlerden bağımsızdır. Karesi, operatör normuna eşittir Qτ(a). Böylece V açık birim topuyla karmaşık, normlu bir alan olur Dτ.

İçin unutmayın x içinde E, operatör Q(x) kendine eşleniktir, böylece norm ||Q(x)n|| = ||Q(x)||n. Dan beri Q(x)n = Q(xn), bunu takip eder ||xn|| = ||x||n. Özellikle spektral normu x = ∑ αben eben içinde Bir spektral normun kareköküdür x2 = ∑ (αben)2 fben. Bunun spektral normunun x hesaplansa da aynıdır Bir veya Birτ. Dan beri Kτ her iki normu, spektral normu korur Birτ spektral normu kısıtlayarak elde edilir Bir.

Jordan çerçeve için e1, ..., em, İzin Vermek Ve = ⊕ C eben. Bir eylem var SL (2,C)m açık Ve hangisine kadar uzanır V. Eğer c = ∑ γbeneben ve b = ∑ βbeneben, sonra S(c) ve T(b) alt ve üst birim üçgen matrislerin çarpımının etkisini verir. Eğer a = ∑ αbeneben ile αben ≠ 0, sonra köşegen matrislerin karşılık gelen çarpımı şu şekilde davranır: W = Bτ(a, ea), nerede e = ∑ eben.[24] Özellikle köşegen matrisler bir eylem verir (C*)m ve Tm.

Otomorfizmanın τ olmadığı durumda olduğu gibi, bir otomorfizm θ vardır. Gτ. Aynı argümanlar, sabit nokta alt grubunun Hτ tarafından üretilir Kτ ve görüntüsü SU (2)m. Kompakt bağlantılı bir Lie grubudur. Geçişli olarak hareket eder Xτ; stabilizatörü (0:0) dır-dir Kτ. Böylece Xτ = Hτ/Kτ, kompakt tipte bir Hermit simetrik uzay.

İzin Vermek Hτ* kapalı alt grubunun kimlik bileşeni olmak Gτ taşıma Dτ kendi üzerine. Tarafından üretilir Kτ ve görüntüsü SU (1,1)m Jordan çerçevesine karşılık gelir. Ρ, eşlenik-doğrusal periyot 2'nin otomorfizmi olsun tarafından tanımlandı

İzin Vermek ρ'nın sabit nokta cebiri olabilir. Lie cebiridir Hτ*. Periyot 2 otomorfizmasını indükler. G sabit nokta alt grubu ile Hτ*. Grup Hτ* üzerinde geçişli davranır Dτ. 0 dengeleyici Kτ*.[25] Hτ*/Kτ kompakt olmayan tipin Hermitian simetrik uzayıdır. Hτ/Kτ.

Kompakt olmayan tipin Hermitian simetrik uzayı, sınırsız bir gerçekleştirime sahiptir, üst yarı düzlem içinde C. Möbius dönüşümleri PSL (2,C) Cayley dönüşümüne karşılık gelen ve tersi, birim diski ve üst yarı düzlemi değiştiren Riemann küresinin biholomorfizmlerini verir. Hermit simetrik uzay tüp tipinde olduğunda, aynı Möbius dönüşümleri diski eşler D içinde Bir tüp alanına T = E + iC -di C Öklid Ürdün cebirinde karelerin açık öz-ikili dışbükey konisidir E.

Hermit simetrik uzay için tüp tipi olmayan PSL (2,C) açık X, dolayısıyla benzer bir Cayley dönüşümü yok. Bu durumda herhangi bir maksimum tripotent için kısmi bir Cayley dönüşümü tanımlanabilir. e = ∑ εben eben içinde Eτ. Diski alır Dτ içinde Birτ = Birτ, 1(f) ⊕ Birτ, ½(f) üzerine Siegel alanı ikinci türden.

Bu durumda Eτ, 1(f) bir Öklid Ürdün cebiridir ve simetrik Eτ, 1(f)- değerli bilineer form Eτ, ½(f) öyle ki karşılık gelen ikinci dereceden form q pozitif konisinde değerler alır Cτ. Siegel alanı çiftlerden oluşur (x + iy,sen + iv) öyle ki yq(sen) − q(v) yatıyor Cτİkinci dereceden form q açık Eτ, ½(f) ve kare alma işlemi Eτ, 1(f) tarafından verilir xQτ(x)e. Pozitif koni Cτ karşılık gelir x ile Qτ(x) tersinir.[26]

Örnekler

Basit Öklid Ürdün cebirleri için E karmaşıklıkla Birkompakt tipin Hermit simetrik uzayları X Cartan'ın sınıflandırması kullanılarak açık bir şekilde aşağıdaki gibi tanımlanabilir.[27]

İ yazn. Bir Jordan cebiri n × n karmaşık matrisler Mn(C) operatör Jordan ürünü ile xy = ½(xy + yx). Karmaşıklaşmasıdır E = Hn(C), öz-eşleniklerin Öklid Ürdün cebiri n × n karmaşık matrisler. Bu durumda G = PSL (2n,C) üzerinde hareket etmek Bir ile gibi davranmak g(z) = (az + b)(cz + d)−1. Aslında, bu operatörlere karşılık gelen köşegen, üst ve alt birim üçgen matrisler için doğrudan doğrulanabilir. W, Sc ve Tb. Alt küme Ω matrislere karşılık gelir g ile d tersinir. Aslında, doğrusal haritaların uzayını düşünün. Cn -e C2n = CnCn. Bir çift ile tanımlanmıştır (T1|T2) ile Tben içinde Mn(C). Bu bir modüldür GL (2n,C) hedef alan üzerinde hareket etmek. Ayrıca bir eylem var GL (n,C) kaynak uzaydaki eylemin neden olduğu. Enjeksiyon haritalarının alanı U değişmez ve GL (n,C) üzerinde özgürce hareket eder. Bölüm Grassmannian M oluşan nboyutsal alt uzayları C2n. Bir harita tanımlayın Bir2 içine M göndererek (a,b) enjeksiyon haritasına (a|benbta). Bu harita bir izomorfizmi indükler X üstüne M.

Aslında izin ver V fasulye nboyutsal alt uzay CnCn. Genel konumdaysa, yani o ve ortogonal tamamlayıcısı ile önemsiz kesişme var. Cn ⊕ (0) ve(0) ⊕ Cn, tersinir bir operatörün grafiğidir TBöylece görüntü karşılık gelir (a|benbta) ile a = ben ve bt = benT.

Diğer uçta, V ve onun ortogonal tamamlayıcısı U ortogonal toplamlar olarak yazılabilir V = V1V2, U = U1U2, nerede V1 ve U1 ile kesişmeler Cn ⊕ (0) ve V2 ve U2 ile (0) ⊕ Cn. Sonra sönük V1 = sönük U2 ve sönük V2 = sönük U1. Dahası, Cn ⊕ (0) = V1U1 ve (0) ⊕ Cn = V2U2. Alt uzay V çifte karşılık gelir (e|bene), nerede e ortogonal izdüşümüdür Cn ⊕ (0) üstüne V1. Yani a = e ve b = ben.

Genel durum, bu iki durumun doğrudan bir toplamıdır. V ortogonal toplam olarak yazılabilir V = V0V1V2 nerede V1 ve V2 ile kesişmeler Cn ⊕ (0) ve(0) ⊕ Cn ve V0 ortogonal tamamlayıcıları V. Benzer şekilde ortogonal tamamlayıcı U nın-nin V yazılabilir U = U0U1U2. Böylece Cn ⊕ (0) = V1U1W1 ve (0) ⊕ Cn = V2U2W2, nerede Wben ortogonal tamamlayıcılardır. Doğrudan toplam (V1U1) ⊕ (V2U2) ⊆ CnCn ikinci türdendir ve birincisinin ortogonal tamamlayıcısıdır.

Haritalar W yapı grubunda karşılık gelir h içinde GL (n,C), ile W(a) = haht. İlgili harita M gönderir (x|y) için (hx|(ht)−1y). Benzer şekilde karşılık gelen harita Sc gönderir (x|y) için (x|y + c), karşılık gelen harita Tb gönderir (x|y) için (x + b|y) ve karşılık gelen harita J gönderir (x|y) için (y|x). Buna karşılık gelen haritanın g gönderir (x|y) için (balta + tarafından|cx + dyÖte yandan, eğer y ters çevrilebilir, (x|y) eşdeğerdir (xy−1|ben), buradan kesirli doğrusal dönüşüm formülü.

Tip IIIn. Bir Jordan cebiri n × n simetrik karmaşık matrisler Sn(C) operatör Jordan ürünü ile xy = ½(xy + yx). Karmaşıklaşmasıdır E = Hn(R), Öklid Ürdün cebiri n × n simetrik gerçek matrisler. Açık C2n = CnCn, dejenere olmayan alternatif bir çift doğrusal formu şu şekilde tanımlayın: ω (x1y1, x2y2) = x1y2y1x2. Matris gösteriminde eğer ,

İzin Vermek Sp (2n,C) kompleksi belirtmek semplektik grup alt grubu GL (2n,C) koruyarak ω. Bu oluşmaktadır g öyle ki gJgt = J ve altında kapalı ggt. Eğer ait olmak Sp (2n,C) sonra

Merkezi var ben}. Bu durumda G = Sp (2n,C)/{±ben} üzerinde hareket etmek Bir gibi g(z) = (az + b)(cz + d)−1. Aslında, bu operatörlere karşılık gelen köşegen, üst ve alt birim üçgen matrisler için doğrudan doğrulanabilir. W, Sc ve Tb. Alt küme Ω matrislere karşılık gelir g ile d tersinir. Aslında, doğrusal haritaların uzayını düşünün. Cn -e C2n = CnCn. Bir çift ile tanımlanmıştır (T1|T2) ile Tben içinde Mn(C). Bu bir modüldür Sp (2n,C) hedef alan üzerinde hareket etmek. Ayrıca bir eylem var GL (n,C) kaynak uzaydaki eylemin neden olduğu. Enjeksiyon haritalarının alanı U izotropik görüntü ile, yani görüntüde on kaybolur, değişmez. Dahası, GL (n,C) üzerinde özgürce hareket eder. Bölüm, semplektik Grassmannian M oluşan n-boyutlu Lagrange alt uzayları nın-nin C2n. Bir harita tanımlayın Bir2 içine M göndererek (a,b) enjeksiyon haritasına (a|benba). Bu harita bir izomorfizmi indükler X üstüne M.

Aslında izin ver V fasulye nboyutlu Lagrange alt uzayı CnCn. İzin Vermek U tamamlayıcı bir Lagrange altuzayı olmak V. Genel konumdaysa, yani ile önemsiz kesişiyorlarsa Cn ⊕ (0) ve(0) ⊕ Cn, daha V tersinir bir operatörün grafiği T ile Tt = T. Yani görüntü karşılık gelir (a|benba) ile a = ben ve b = benT.

Diğer uçta, V ve U doğrudan toplamlar olarak yazılabilir V = V1V2, U = U1U2, nerede V1 ve U1 ile kesişmeler Cn ⊕ (0) ve V2 ve U2 ile (0) ⊕ Cn. Sonra sönük V1 = sönük U2 ve sönük V2 = sönük U1. Dahası, Cn ⊕ (0) = V1U1 ve (0) ⊕ Cn = V2U2. Alt uzay V çifte karşılık gelir (e|bene), nerede e projeksiyonu Cn ⊕ (0) üstüne V1. Çiftin (Cn ⊕ (0), (0) ⊕ Cn), to'ye göre ikilik halindedir ve aralarındaki özdeşleşme, kanonik simetrik çift doğrusal formu Cn. Özellikle V1 ile tanımlanır U2 ve V2 ile U1. Üstelik onlar V1 ve U1 simetrik çift doğrusal forma göre ortogonaldir (Cn ⊕ (0). Dolayısıyla idempotent e tatmin eder et = e. Yani a = e ve b = ben geç saate kadar yatmak Bir ve V görüntüsüdür (a|benba).

Genel durum, bu iki durumun doğrudan bir toplamıdır. V doğrudan toplam olarak yazılabilir V = V0V1V2 nerede V1 ve V2 ile kesişmeler Cn ⊕ (0) ve(0) ⊕ Cn ve V0 bir tamamlayıcıdır V. benzer şekilde U yazılabilir U = U0U1U2. Böylece Cn ⊕ (0) = V1U1W1 ve (0) ⊕ Cn = V2U2W2, nerede Wben tamamlayıcıdır. Doğrudan toplam (V1U1) ⊕ (V2U2) ⊆ CnCn ikinci türdendir. Birinci türden bir tamamlayıcıya sahiptir.

Haritalar W yapı grubunda karşılık gelir h içinde GL (n,C), ile W(a) = haht. İlgili harita M gönderir (x|y) için (hx|(ht)−1y). Benzer şekilde karşılık gelen harita Sc gönderir (x|y) için (x|y + c), karşılık gelen harita Tb gönderir (x|y) için (x + b|y) ve karşılık gelen harita J gönderir (x|y) için (y|x). Buna karşılık gelen haritanın g gönderir (x|y) için (balta + tarafından|cx + dyÖte yandan, eğer y ters çevrilebilir, (x|y) eşdeğerdir (xy−1|ben), buradan kesirli doğrusal dönüşüm formülü.

Tip II2n. Bir 2'nin Jordan cebirin × 2n çarpık simetrik karmaşık matrisler Birn(C) ve Ürdün ürünü xy = −½(x J y + y J x) birimin verdiği yer . Karmaşıklaşmasıdır E = Hn(H), öz-eşleniklerin Öklid Ürdün cebiri n × n kuaterniyonlarda girişli matrisler. Bu tartışılıyor Loos (1977) ve Koecher (1969).

Tip IVn. Bir Jordan cebiri CnC Ürdün ürünü ile (x, α) ∘ (y, β) = (βx + αy, αβ + xy). Aynı formüllerle ancak gerçek katsayılarla tanımlanan 2. sıra Öklid Ürdün cebirinin karmaşıklaştırılmasıdır. Bu tartışılıyor Loos (1977).

VI yazın. Karmaşık Albert cebiri. Bu tartışılıyor Faulkner (1972), Loos (1978) ve Drucker (1981).

Kompakt tipin Hermit simetrik uzayları X basit Öklid Ürdün cebirleri için E dönem ile iki otomorfizm, Cartan'ın sınıflandırması kullanılarak açıkça aşağıdaki gibi tanımlanabilir.[28]

İ yazp, q. İzin Vermek F alanı olmak q tarafından p matrisler bitti R ile pq. Bu, otomorfizmine karşılık gelir E = Hp + q(R) diyagonal matris ile konjuge edilerek verilir p çapraz girişler 1'e eşittir ve q -1. Genelliği kaybetmeden p daha büyük alınabilir q. Yapı, üçlü ürün tarafından verilmektedir. xytz. Boşluk X Grassmannian ile tanımlanabilir pboyutsal alt uzay Cp + q = CpCq. Bu, doğal bir C2p = CpCp sonuncuya 0 ekleyerek pq koordinatlar. Herhangi birinden beri pboyutsal alt uzay C2p şeklinde temsil edilebilir [benytx|x], aynı şey alt uzaylar için de geçerlidir Cp + q. Son pq sıraları x kaybolmalıdır ve eşleme sonuncusu ise değişmez pq sıraları y sıfıra eşit olarak ayarlanmıştır. Dolayısıyla, benzer bir temsil eşlemeler için geçerlidir, ancak şimdi q tarafından p matrisler. Tam olarak ne zaman p = q, bir eylem olduğu sonucu çıkar GL (p + q, C) kesirli doğrusal dönüşümler ile.[29]

Tip IIn F gerçek çarpık simetrik uzay m tarafından m matrisler. Bir faktör kaldırıldıktan sonra -1Bu, karmaşık eşlenik tarafından verilen 2. periyot otomorfizmine karşılık gelir. E = Hn(C).

V yazın. F 1'e 2 matris olarak kabul edilen Cayley sayılarının iki kopyasının doğrudan toplamıdır. Bu, herhangi bir minimal idempotent tarafından tanımlanan kanonik dönem 2 otomorfizmine karşılık gelir. E = H3(Ö).

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ^ Görmek:
  2. ^ Görmek:
  3. ^ Görmek:
  4. ^ Görmek:
  5. ^ Görmek:
  6. ^ McCrimmon 1978, s. 616–617
  7. ^ Loos 1975, s. 20–22
  8. ^ Ana uygulamada Loos (1977), Bir sonlu boyutludur. Bu durumda operatörlerin tersinirliği Bir enjektivite veya yüzeyselliğe eşdeğerdir. Genel durum şu şekilde ele alınır: Loos (1975) ve McCrimmond (2004).
  9. ^ Loos 1977
  10. ^ Loos & 77, s. 8.3–8.4
  11. ^ Loos 1977, s. 7.1−7.15
  12. ^ Görmek:
  13. ^ Loos 1977, s. 9.4–9.5
  14. ^ Görmek:
  15. ^ Koecher 1967, s. 144
  16. ^ Koecher 1967, s. 145
  17. ^ Koecher 1967, s. 144
  18. ^ Loos 1977, s. 8.9-8.10
  19. ^ Loos 1977
  20. ^ Görmek:
  21. ^ Koecher 1967, s. 164
  22. ^ Görmek:
  23. ^ Görmek:
  24. ^ Loos 1977, s. 9.4–9.5
  25. ^ Görmek:
  26. ^ Loos 1977, s. 10.1–10.13
  27. ^ Loos 1978, s. 125–128
  28. ^ Koecher 1969
  29. ^ Görmek:

Referanslar

  • Dineen, S .; Mackey, M .; Mellon, P. (1999), "JB ∗ -triples için yoğunluk özelliği", Studia Math., 137: 143–160, hdl:10197/7056
  • Drucker, D. (1978), "İstisnai Lie cebirleri ve Hermitesel simetrik uzayların yapısı", Mem. Amer. Matematik. Soc., 16 (208)
  • Drucker, D. (1981), "Olağanüstü sınırlı simetrik alanların basitleştirilmiş açıklamaları", Geom. Dedicata, 10 (1–4): 1–29, doi:10.1007 / bf01447407
  • Faraut, J .; Koranyi, A. (1994), Simetrik koniler üzerinde analiz, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-853477-8
  • Faulkner, J. R. (1972), "E için bir geometri7", Trans. Amer. Matematik. Soc., 167: 49–58, doi:10.1090 / s0002-9947-1972-0295205-4
  • Faulkner, J. R. (1983), "Alternatif halkalar için kararlı aralık ve doğrusal gruplar", Geom. Dedicata, 14 (2): 177–188, doi:10.1007 / bf00181623
  • Helgason, Sigurdur (1978), Diferansiyel Geometri, Lie Grupları ve Simetrik UzaylarAkademik Basın, New York, ISBN  978-0-12-338460-7
  • Jacobson, Nathan (1968), Jordan cebirlerinin yapısı ve temsilleri, American Mathematical Society Colloquium Publications, 39, Amerikan Matematik Derneği, Zbl  0218.17010
  • Jacobson, Nathan (1969), Kuadratik Jordan cebirleri üzerine dersler (PDF), Tata Institute of Basic Research Lectures on Mathematics, 45, Bombay: Tata Temel Araştırma Enstitüsü, BAY  0325715, Zbl  0253.17013
  • Jacobson, Nathan (1996), Alanlar üzerinden sonlu boyutlu bölme cebirleri, Berlin: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-57029-5, Zbl  0874.16002
  • Koecher, Max (1967), "Über eine Gruppe von rationalen Abbildungen", İcat etmek. Matematik., 3 (2): 136–171, doi:10.1007 / BF01389742, Zbl  0163.03002
  • Koecher, Max (1969a), "Gruppen und Lie-Algebren von rationalen Funktionen", Matematik. Z., 109 (5): 349–392, doi:10.1007 / bf01110558
  • Koecher, Max (1969b), Sınırlı simetrik alanlara temel bir yaklaşım, Ders Notları, Rice Üniversitesi
  • Koecher, Max (1999) [1962], Krieg, Aloys; Walcher, Sebastian (editörler), Minnesota, Ürdün Cebirleri ve Uygulamaları Üzerine NotlarMatematik Ders Notları, 1710, Berlin: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66360-7, Zbl  1072.17513
  • Koecher, Max (1971), "Jordan cebirleri ve diferansiyel geometri" (PDF), Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970), Tome I, Gauthier-Villars, s. 279–283
  • Kühn, Oda (1975), "Differentialgleichungen in Jordantripelsystemen", Manuscripta Math., 17: 363–381
  • Loos, Ottmar (1975), Ürdün çiftleriMatematik Ders Notları, 460, Springer-Verlag
  • Loos, Ottmar (1977), Sınırlı simetrik alanlar ve Jordan çiftleri (PDF), Matematik dersleri, California Üniversitesi, Irvine, arşivlenmiştir. orijinal (PDF) 2016-03-03 tarihinde, alındı 2013-05-12
  • Loos, Ottmar (1978), "Jordan çiftleri tarafından tanımlanan homojen cebirsel çeşitler", Monatsh. Matematik., 86 (2): 107–129, doi:10.1007 / bf01320204
  • Loos, Ottmar (1979), "Jordan çiftleriyle tanımlanan cebirsel gruplar hakkında", Nagoya Math. J., 74: 23–66
  • Loos, Ottmar (1995), "Ürdün çiftleri için temel gruplar ve kararlılık", K-Teorisi, 9: 77–116, doi:10.1007 / bf00965460
  • McCrimmon, Kevin (1978), "Jordan cebirleri ve uygulamaları", Boğa. Amer. Matematik. Soc., 84 (4): 612–627, doi:10.1090 / s0002-9904-1978-14503-0
  • McCrimmon Kevin (2004), Ürdün cebirlerinin tadı, Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / b97489, ISBN  978-0-387-95447-9, BAY  2014924, Hatalar
  • Meyberg, K. (1972), Cebirler ve üçlü sistemler üzerine dersler (PDF), Virginia Üniversitesi
  • Roos, Guy (2008), "Olağanüstü simetrik alanlar", Karmaşık analizde simetriler, Contemp. Matematik., 468, Amer. Matematik. Soc., S. 157–189
  • Springer, Tonny A. (1998), Jordan cebirleri ve cebirsel gruplar, Matematikte Klasikler, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-63632-8
  • Wolf, Joseph A. (1972), "Hermit simetrik uzayların ince yapısı", Boothby, William; Weiss, Guido (editörler), Simetrik uzaylar (Kısa Kurslar, Washington Üniversitesi), Saf ve Uygulamalı Matematik, 8, Dekker, s. 271–357