Serbest gruplar için normal form ve grupların serbest ürünü - Normal form for free groups and free product of groups - Wikipedia

Bu makale çoğu okuyucunun anlayamayacağı kadar teknik olabilir. Lütfen geliştirmeye yardım et -e uzman olmayanlar için anlaşılır hale getirinteknik detayları kaldırmadan. (Mayıs 2012) (Bu şablon mesajını nasıl ve ne zaman kaldıracağınızı öğrenin)

Matematikte, özellikle kombinatoryal grup teorisi, bir normal form için ücretsiz grup bir dizi jeneratörler veya bir grupların ücretsiz ürünü bir elemanın daha basit bir elemanla temsilidir, eleman ya serbest grupta ya da grubun serbest ürünlerindedir. Serbest grup durumunda bu daha basit öğeler azaltılmış kelimeler ve grupların serbest ürünü olması durumunda bunlar, indirgenmiş dizilerdir. Bunların kesin tanımları aşağıda verilmiştir. Anlaşıldığı üzere, özgür bir grup ve grupların özgür ürünü için benzersiz bir normal form vardır, yani her bir öğe daha basit bir öğe tarafından temsil edilebilir ve bu temsil benzersizdir. Bu, serbest gruplar ve grupların serbest çarpımı için Normal Form Teoremidir. Normal Form Teoreminin buradaki kanıtı şu fikri izler: Artin ve van der Waerden.

Ücretsiz Gruplar için Normal Form

İzin Vermek ${ displaystyle G}$ olmak ücretsiz grup ile jeneratör ${ displaystyle S}$. İçindeki her eleman ${ displaystyle G}$ bir kelime ile temsil edilir ${ displaystyle w = a_ {1} cdots a_ {n},}$ nerede ${ displaystyle a_ {j} in S ^ { pm}, 1 leqslant j leqslant n.}$

Tanım. Bir kelime denir indirgenmiş form dizesi içermiyorsa ${ displaystyle aa ^ {- 1}, S ^ { pm} içinde bir .}$

Tanım. Bir normal form için ücretsiz grup ${ displaystyle G}$ ile jeneratör ${ displaystyle S}$ bir seçimdir azaltılmış kelime içinde ${ displaystyle S}$ her bir element için ${ displaystyle G}$.

Serbest Gruplar İçin Normal Form Teoremi. Serbest bir grubun benzersiz bir normal formu vardır, yani içindeki her öğe ${ displaystyle G}$ benzersiz bir küçültülmüş sözcük ile temsil edilir.

Kanıt. Bir kelimenin temel dönüşümü ${ displaystyle w G’de}$ formun bir bölümünü eklemekten veya silmekten oluşur ${ displaystyle aa ^ {- 1}}$ ile ${ displaystyle a S ^ { pm}}$. İki kelime ${ displaystyle w_ {1}}$ ve ${ displaystyle w_ {2}}$ eşdeğerdir, ${ displaystyle w_ {1} equiv w_ {2}}$bir temel dönüşümler zinciri varsa ${ displaystyle w_ {1}}$ -e ${ displaystyle w_ {2}}$. Bu açıkça bir denklik ilişkisidir ${ displaystyle G}$. İzin Vermek ${ displaystyle G_ {0}}$ azaltılmış kelimeler kümesi. Her eşdeğerlik sınıfının tam olarak bir azaltılmış kelime içerdiğini göstereceğiz. Parçaların art arda silinmesi nedeniyle her eşdeğerlik sınıfının azaltılmış bir kelime içerdiği açıktır. ${ displaystyle aa ^ {- 1}}$ herhangi bir kelimeden ${ displaystyle w}$ azaltılmış bir kelimeye yol açmalıdır. O halde, belirgin indirgenmiş kelimeleri göstermek yeterli olacaktır. ${ displaystyle u}$ ve ${ displaystyle v}$ eşdeğer değildir. Her biri için ${ displaystyle x S'de}$ bir permütasyon tanımlamak ${ displaystyle x Delta}$ nın-nin ${ displaystyle G_ {0}}$ ayarlayarak ${ displaystyle w (x Delta) = wx}$ Eğer ${ displaystyle wx}$ azalır ve ${ displaystyle w (x Delta) = u}$ Eğer ${ displaystyle w = ux ^ {- 1}}$. İzin Vermek ${ displaystyle P}$ permütasyon grubu olmak ${ displaystyle G_ {0}}$ tarafından üretilen ${ displaystyle x Delta, x S içinde}$. İzin Vermek ${ displaystyle Delta ^ {*}}$ çarpımsal uzantısı olmak ${ displaystyle Delta}$ haritaya ${ displaystyle Delta ^ {*}: W mapsto P}$. Eğer ${ displaystyle u_ {1} equiv u_ {2},}$ sonra ${ displaystyle u_ {1} Delta ^ {*} = u_ {2} Delta ^ {*}}$; Dahası ${ displaystyle 1 (u Delta ^ {*}) = u_ {0}}$ ile azaltılır ${ displaystyle u_ {0} equiv u.}$ Bunu takip eder eğer ${ displaystyle u_ {1} equiv u_ {2}}$ ile ${ displaystyle u_ {1}, u_ {2}}$ azaltılmış, sonra ${ displaystyle u_ {1} = u_ {2}}$.

Ücretsiz Ürünler için Normal Form

İzin Vermek ${ displaystyle G = A * B}$ ol bedava ürün grupların ${ displaystyle A}$ ve ${ displaystyle B}$. Her öğe ${ displaystyle w G’de}$ ile temsil edilir ${ displaystyle w = g_ {1} cdots g_ {n}}$ nerede ${ displaystyle g_ {j} in A { text {veya}} B}$ için ${ displaystyle 1 leqslant j leqslant n}$.

Tanım. Bir azaltılmış sıra bir dizidir ${ displaystyle g_ {1}, cdots, g_ {n}}$ öyle ki için ${ displaystyle 1 leqslant j leqslant n}$ sahibiz ${ displaystyle g_ {j} in A { text {veya}} B, g_ {j} neq e}$ ve ${ displaystyle g_ {j}, g_ {j + 1}}$ aynı faktörde değiller ${ displaystyle A}$ veya ${ displaystyle B}$. Kimlik öğesi, boş küme ile temsil edilir.

Tanım. Bir normal form için grupların ücretsiz ürünü içindeki her bir öğe için azaltılmış bir dizinin temsili veya seçimidir. bedava ürün.

Grupların Serbest Çarpımı için Normal Form Teoremi. Ücretsiz ürünü düşünün ${ displaystyle A * B}$ iki grubun ${ displaystyle A}$ ve ${ displaystyle B}$. Daha sonra aşağıdaki iki eşdeğer ifade geçerlidir.

(1) Eğer ${ displaystyle w = g_ {1} cdots g_ {n}, n> 0}$, nerede ${ displaystyle g_ {1}, cdots, g_ {n}}$ küçültülmüş bir sıradır, o zaman ${ displaystyle w neq 1}$ içinde ${ displaystyle A * B.}$

(2) Her bir öğe ${ displaystyle A * B}$ benzersiz bir şekilde yazılabilir ${ displaystyle w = g_ {1} cdots g_ {n}}$ nerede ${ displaystyle g_ {1}, cdots, g_ {n}}$ indirgenmiş bir dizidir.

Kanıt

Eşdeğerlik

İkinci ifadenin birinciyi ima etmesi gerçeği kolaydır. Şimdi ilk ifadenin geçerli olduğunu varsayalım ve şunu yapalım:

${ displaystyle g_ {1} cdots g_ {m} = w = h_ {1} cdots h_ {n}.}$

Bu ima eder

${ displaystyle h_ {n} ^ {- 1} cdots h_ {1} ^ {- 1} g_ {1} cdots g_ {m} = 1.}$

Bu nedenle ilk ifadeyle sol taraf azaltılamaz. Bu sadece eğer ${ displaystyle h_ {1} ^ {- 1} g_ {1} = 1,}$ yani ${ displaystyle g_ {1} = h_ {1}.}$ Endüktif olarak ilerliyoruz ${ displaystyle m = n}$ ve ${ displaystyle g_ {i} = h_ {i}}$ hepsi için ${ displaystyle 1 leqslant i leqslant n.}$ Bu, her iki ifadenin de eşdeğer olduğunu gösterir.

Kanıtı (2)

İzin Vermek W tüm indirgenmiş dizilerin kümesi olun Bir ∗ B ve S(W) permütasyon grubu olabilir. Tanımlamak φ : Bir → S(W) aşağıdaki gibi:

${ displaystyle varphi (a) (g_ {1}, g_ {2}, cdots, g_ {m}) = { begin {case} (g_ {1}, g_ {2}, cdots, g_ { m}) & { text {if}} a = 1 (a, g_ {1}, g_ {2}, cdots, g_ {m}) & { text {if}} g_ {1} B (ag_ {1}, g_ {2}, cdots, g_ {m}) & { text {if}} g_ {1} içinde A { text {ve}} ag_ {1} neq 1 (g_ {2}, g_ {3}, cdots, g_ {m}) & { text {if}} g_ {1} in A { text {ve}} ag_ {1} = 1. end {vakalar}}}$

Benzer şekilde tanımlarız ψ : B → S(W).

Bunu kontrol etmek kolaydır φ ve ψ homomorfizmlerdir. Bu nedenle, ücretsiz ürünün evrensel özelliği sayesinde benzersiz bir harita elde edeceğiz φ ∗ ψ : Bir ∗ B → S(W) öyle ki φ ∗ ψ (kimlik) (1) = kimlik (1) = 1.

Şimdi varsayalım ${ displaystyle w = g_ {1} cdots g_ {n}, n> 0,}$ nerede ${ displaystyle (g_ {1}, cdots, g_ {n})}$ küçültülmüş bir sıradır, o zaman ${ displaystyle phi * psi (w) (1) = (g_ {1}, cdots, g_ {n}).}$ Bu nedenle w = 1 içinde Bir ∗ B çelişen n > 0.

Referanslar

• Lyndon, Roger C.; Schupp, Paul E. (1977). Kombinatoryal Grup Teorisi. Springer. ISBN  978-3-540-41158-1..