Açık kitap ayrıştırma - Open book decomposition

İçinde matematik, bir açık kitap ayrıştırma (veya sadece bir açık kitap) bir ayrışma bir kapalı yönelimli 3-manifold M bir birliğine yüzeyler (zorunlu olarak sınır ile) ve katı tori. Açık kitapların alaka düzeyi temas geometrisi ünlü bir teoremi ile Emmanuel Giroux (aşağıda verilmiştir) temas geometrisinin tamamen topolojik bir bakış açısından incelenebileceğini göstermektedir.

Tanım ve yapı

Tanım. Bir açık kitap ayrıştırma 3 boyutlu bir manifoldun M bir çifttir (B, π) nerede

  • B odaklı bağlantı içinde M, aradı bağlayıcı açık kitabın;
  • π: M  B → S1 bir liflenme of Tamamlayıcı nın-nin B öyle ki her θ ∈S1, π−1(θ) kompakt bir yüzeyin iç kısmıdır Σ ⊂M kimin sınırı B. Yüzeye denir sayfa açık kitabın.

Bu özel durum m = 3 bir açık kitap ayrıştırması mherhangi biri için boyutlu manifold m.

Σ bir yönlendirilmiş kompakt yüzey olduğunda n sınır bileşenleri ve φ: Σ → Σ bir homomorfizm sınıra yakın kimlik olan, ilk önce bir açık kitap oluşturabiliriz. haritalama simidi Σφ. Φ, ∂Σ üzerindeki kimlik olduğundan, ∂Σφ çemberlerin birliği üzerindeki önemsiz çember demeti, yani bir tori birliğidir; her sınır bileşeni için bir simit. İnşaatı tamamlamak için, katı tori sınır tori'yi doldurmak için yapıştırılmıştır, böylece her daire S1 × {p} ⊂ S1×∂D2 bir sayfanın sınırıyla tanımlanır. Bu durumda, bağlayıcı, n çekirdek S1× {q} / n katı tori, keyfi olarak seçilen eşleme simidine yapıştırılmış q ∈ D2. Herhangi bir açık kitabın bu şekilde inşa edilebileceği bilinmektedir. Yapıda kullanılan tek bilgi yüzey ve homeomorfizm olduğundan, açık kitabın alternatif bir tanımı, basitçe yapının anlaşıldığı (Σ, φ) çiftidir. Kısacası, açık bir kitap, her simitin çekirdek çemberinin lifin sınırına paralel ilerlemesi için katı tori yapıştırılmış bir eşleme simididir.

∂Σ'deki her simitφ ciltlemeye paralel dairelerle liflenir, her biri bir sayfanın sınır bileşenini daire içine alır. Biri bir Rolodex -bağlamanın bir mahallesi için görünümlü yapı (yani, katı simit ∂Σ'ye yapıştırılmışφ) - rolodex'in sayfaları açık kitabın sayfalarına bağlanır ve rolodex'in merkezi ciltleyicidir. Böylece terim açık kitap.

Elmar Winkelnkemper'in 1972 teoremidir. m > 6, basit bağlantılı mboyutlu manifold, ancak ve ancak 0 imzası varsa açık bir kitap ayrıştırmasına sahiptir. 1977'de Terry Lawson bunu garip bir şekilde kanıtladı m > 6, her mboyutlu manifold açık bir kitap ayrıştırmasına sahiptir. Çift için m > 6, bir mboyutlu manifold açık bir kitap ayrıştırmasına sahiptir ancak ve ancak asimetrik Witt grubu 1979 teoremine göre obstrüksiyon 0'dır. Frank Quinn.

Giroux yazışmaları

Emmanuel Giroux 2002'de şu sonucu yayınladı:

Teorem. İzin Vermek M kompakt odaklı 3-manifoldlu olun. Sonra bir var birebir örten odaklı dizi arasında temas yapıları açık M kadar izotopi ve açık kitap ayrıştırmaları kümesi M pozitif stabilizasyona kadar.

Pozitif stabilizasyon bir sayfa ekleyerek değiştirmekten oluşur 2 boyutlu 1 tutamaç ve bir pozitif ekleyerek monodromiyi değiştirmek Dehn büküm bu tutamacın üzerinden tam olarak bir kez geçen bir eğri boyunca. Bu teoremde örtük olan şey, yeni açık kitabın aynı kontak 3-manifoldunu tanımlamasıdır. Giroux'nun sonucu, daha yaygın olarak adlandırılan şeyde bazı atılımlara yol açtı temas topolojisi, belirli 3-manifold sınıfları üzerindeki temas yapılarının sınıflandırılması gibi. Kabaca konuşursak, bir temas yapısı açık bir kitaba karşılık gelir, eğer, ciltlemeden uzakta, temas dağılımı sayfaların teğet boşluklarına izotopik ise Confoliations. Kişi, temas düzlemlerini (neredeyse her yerde temas koşulunu koruyarak) sayfalara teğet olacak şekilde yumuşatmayı hayal eder.

Referanslar

  • Etnyre, John B. Açık kitap ayrıştırmaları ve temas yapıları üzerine dersler, ArXiv
  • Ranicki, Andrew, Yüksek boyutlu düğüm teorisiSpringer (1998)
  • Ranicki, Andrew, Bir manifoldun bir otomorfizminin simidini haritalama, Springer Çevrimiçi Matematik Ansiklopedisi