Politop sipariş et - Order polytope

Matematikte politop sipariş etmek sonlu kısmen sıralı küme bir dışbükey politop setten tanımlanmıştır. Politop siparişinin noktaları, monoton işlevler verilen setten birim aralığı köşeleri, üst takımlar Kısmi düzenin ve boyutu, kısmi düzendeki öğelerin sayısıdır. Politop sipariş bir dağıtıcı politop yani, noktalarının çiftlerinin koordinat olarak minimum ve maksimumlarının politop içinde kaldığı anlamına gelir.

Kısmi bir düzenin sıra politopu, aşağıdakilerden ayırt edilmelidir: doğrusal sıralama politopubir sayıdan tanımlanan bir politop ${ displaystyle n}$ olarak dışbükey örtü nın-nin gösterge vektörleri kenar kümelerinin ${ displaystyle n}$ -vertex geçişli turnuvalar.^[1]

Tanım ve örnek

Bir kısmen sıralı küme bir çift ${ displaystyle (S, leq)}$ nerede ${ displaystyle S}$ keyfi bir kümedir ve ${ displaystyle leq}$ bir ikili ilişki çiftleri üzerinde ${ displaystyle S}$ bu dönüşlü (herkes için) ${ displaystyle x S'de}$ , ${ displaystyle x leq x}$ ), antisimetrik (tümü için ${ displaystyle x, y S’de}$ ile ${ displaystyle x neq y}$ en fazla biri ${ displaystyle x leq y}$ ve ${ displaystyle y leq x}$ doğru olabilir) ve geçişli (herkes için $S içinde { displaystyle x, y, z }$ , Eğer ${ displaystyle x leq y}$ ve ${ displaystyle y leq z}$ sonra ${ displaystyle x leq z}$ ).

Kısmen sıralı bir set ${ displaystyle (S, leq)}$ ne zaman sonlu olduğu söylenir ${ displaystyle S}$ bir Sınırlı set. Bu durumda, tüm işlevlerin toplanması ${ displaystyle f}$ o harita ${ displaystyle S}$ için gerçek sayılar sonlu boyutlu oluşturur vektör alanı, ile noktasal toplama fonksiyonların vektör toplamı işlemi olarak. Mekanın boyutu, yalnızca nesnelerin sayısıdır. ${ displaystyle S}$ . Sıra politop, fonksiyonlardan oluşan bu boşluğun alt kümesi olarak tanımlanır. ${ displaystyle f}$ aşağıdaki iki özelliğe sahiptir:^[2]^[3]

Her biri için ${ displaystyle x S'de}$ , ${ displaystyle 0 leq f (x) leq 1}$ . Yani, ${ displaystyle f}$ öğelerini eşler ${ displaystyle S}$ için birim aralığı.
Her biri için ${ displaystyle x, y S’de}$ ile ${ displaystyle x leq y}$ , ${ displaystyle f (x) leq f (y)}$ . Yani, ${ displaystyle f}$ bir tekdüze işlev

Örneğin, iki öğeden oluşan kısmen sıralı bir küme için ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle y}$ , ile ${ displaystyle x leq y}$ kısmi sırayla, fonksiyonlar ${ displaystyle f}$ bu noktalardan gerçek sayılara kadar noktalar ile tanımlanabilir ${ displaystyle (f (x), f (y))}$ içinde Kartezyen düzlem. Bu örnek için, politop sırası, içindeki tüm noktalardan oluşur. ${ displaystyle (x, y)}$ ile uçak ${ displaystyle 0 leq x leq y leq 1}$ . Bu bir ikizkenar dik üçgen köşeleri (0,0), (0,1) ve (1,1).

Tepe noktaları ve yönler

Sıralı politopun köşeleri, tekdüze fonksiyonlardan oluşur. ${ displaystyle S}$ -e ${ displaystyle {0,1 }}$ . Yani, politop sırası bir integral politop; kesirli koordinatlara sahip köşeleri yoktur. Bu işlevler tam olarak gösterge fonksiyonları nın-nin üst takımlar kısmi düzenin. Bu nedenle, köşelerin sayısı üstteki kümelerin sayısına eşittir.^[2]

yönler sipariş politopunun üç türü vardır:^[2]

Eşitsizlikler ${ displaystyle 0 leq f (x)}$ her minimal eleman için ${ displaystyle x}$ Kısmen sıralı setin
Eşitsizlikler ${ displaystyle f (y) leq 1}$ her maksimal eleman için ${ displaystyle y}$ Kısmen sıralı kümenin ve
Eşitsizlikler ${ displaystyle f (x) leq f (y)}$ her iki farklı öğe için ${ displaystyle x, y}$ üçüncü bir farklı unsuru olmayan ${ displaystyle z}$ onların arasında; yani her çift için ${ displaystyle (x, y)}$ içinde kapsayan ilişki Kısmen sıralı kümenin.

Özel unsurlar eklenerek yüzler daha simetrik bir şekilde düşünülebilir. ${ displaystyle bot}$ kısmi sıradaki tüm öğelerin altında ve ${ displaystyle top}$ her şeyden önce, tarafından eşleştirilen ${ displaystyle f}$ Sırasıyla 0 ve 1'e ve sonuçta ortaya çıkan artırılmış kısmen sıralı küme için yalnızca üçüncü türdeki eşitsizlikler tutulur.^[2]

Daha genel olarak, aynı artırmayla ${ displaystyle bot}$ ve ${ displaystyle top}$ , politop düzeninin tüm boyutlarının yüzleri, kısmi düzenin bölümleriyle 1'e 1'e karşılık gelir. Her yüz, karşılık gelen bölüm kısmi düzeninin politop düzenine uygundur.^[2]

Hacim ve Ehrhart polinomu

A'nın düzen politopu doğrusal sıra özel bir tür basit aradı tek taraflı sipariş veya ortoşema. Her noktası birim küp Koordinatları birbirinden farklı olan bu ortoşemlerden, koordinatlarının doğrusal sıralaması için sıralama simpleksidir. uyumlu birbirlerine ve (emirler için ${ displaystyle n}$ elemanlar) var ${ displaystyle n!}$ farklı doğrusal sıralar, Ses her siparişin tek yönlü ${ displaystyle 1 / n!}$ .^[2]^[3] Daha genel olarak, bir düzen politopu, her biri için bir tek yönlü olmak üzere, kanonik bir şekilde basitliklere bölünebilir. doğrusal uzantı karşılık gelen kısmen sıralı kümenin.^[2]Bu nedenle, herhangi bir dereceden politopun hacmi ${ displaystyle 1 / n!}$ karşılık gelen kısmen sıralı kümenin doğrusal uzantılarının sayısı ile çarpılır.^[2]^[3] Doğrusal uzantıların sayısı ile hacim arasındaki bu bağlantı, herhangi bir kısmi düzenin doğrusal uzantılarının sayısını verimli bir şekilde tahmin etmek için kullanılabilir (bu sayının tam olarak hesaplanmasına rağmen, # P-tamamlandı ) uygulayarak rasgele polinom zaman yaklaşım şeması politop hacmi için.^[4]

Ehrhart polinomu mertebeden politop, değerleri tamsayı değerlerinde olan bir polinomdur ${ displaystyle x}$ politopun bir kopyasındaki tamsayı noktalarının sayısını, çarpanıyla ölçeklenmiş olarak verin ${ displaystyle x}$ . Sıralı politop için, Ehrhart polinomu eşittir (değişkenlerde küçük bir değişikliğin ardından) sıra polinomu karşılık gelen kısmen sıralı kümenin. Bu polinom, hacmi (polinomun önde gelen katsayısı ve köşelerin sayısı (katsayıların toplamı) dahil olmak üzere politop hakkında birkaç bilgi parçasını kodlar.^[2]^[3]

Sürekli kafes

Tarafından Birkhoff'un temsil teoremi sonlu için dağıtım kafesleri, üst takımlar Kısmen sıralı herhangi bir küme, sonlu bir dağıtım kafesi oluşturur ve her sonlu dağıtım kafes bu şekilde temsil edilebilir.^[5] Üst kümeler, politop sırasının tepe noktalarına karşılık gelir, bu nedenle üst kümelerden tepe noktalarına eşleme, herhangi bir sonlu dağıtım kafesinin geometrik bir temsilini sağlar. Bu temsilin altında, politopun kenarları, kafesin benzer elemanlarını birleştirir.

İki işlev varsa ${ displaystyle p}$ ve ${ displaystyle q}$ her ikisi de kısmen sıralı bir kümenin politop düzenine aittir ${ displaystyle (S, leq)}$ sonra işlev ${ displaystyle p kama q}$ bu haritalar ${ displaystyle x}$ -e ${ displaystyle min (p (x), q (x))}$ ve işlev ${ displaystyle p vee q}$ bu haritalar ${ displaystyle x}$ -e ${ displaystyle max (p (x), q (x))}$ her ikisi de politop düzenine aittir. ${ displaystyle kama}$ ve ${ displaystyle vee}$ politop siparişine sürekli bir yapıyı verin dağıtıcı kafes İçinde Birkhoff teoreminin sonlu dağılım kafesinin gömülü olduğu, yani her mertebeden politop bir dağıtıcı politop. Tüm tepe koordinatları 0 veya 1'e eşit olan dağıtıcı politoplar, tam olarak politopların düzenidir.^[6]