Palais – Küçük kompaktlık koşulu - Palais–Smale compactness condition

Palais – Küçük kompaktlık koşulu, adını Richard Palais ve Stephen Smale, bazı teoremler için bir hipotezdir varyasyonlar hesabı. Bazı türlerin varlığını garanti etmek için kullanışlıdır. kritik noktalar, özellikle eyer noktaları. Palais-Smale koşulu, işlevsel aşırıya kaçmaya çalışıyor.

Sonlu boyutlu uzaylarda, sürekli türevlenebilir gerçek değerli bir fonksiyon için Palais – Smale koşulu, aşağıdakiler için otomatik olarak sağlanır: uygun haritalar: sınırsız kümeleri sınırlı kümelere almayan işlevler. Tipik olarak sonsuz boyutlu ile ilgilenen varyasyonlar hesabında işlev alanları, koşul gereklidir çünkü bazı ekstra kavramlar kompaktlık basit sınırların ötesinde gereklidir. Örneğin bkz. dağ geçidi teoremi Evans'ın 8.5 bölümünde.

Güçlü formülasyon

A sürekli Fréchet türevlenebilir işlevsel ${displaystyle Iin C ^ {1} (H, mathbb {R})}$ bir Hilbert uzayı H için gerçekler Palais – Smale koşulunu karşılar. sıra ${displaystyle {u_ {k}} _ {k = 1} ^ {infty} alt küme H}$ öyle ki:

• ${displaystyle {I [u_ {k}]} _ {k = 1} ^ {infty}}$ sınırlıdır ve
• ${displaystyle I '[u_ {k}] ightarrow 0}$ içinde H

yakınsak bir alt diziye sahiptir H.

Zayıf formülasyon

İzin Vermek X olmak Banach alanı ve ${displaystyle Phi iki nokta üst üste X o mathbf {R}}$ olmak Gateaux diferensiyellenebilir işlevsel. İşlevsel ${displaystyle Phi}$ tatmin ettiği söyleniyor zayıf Palais - Smale durumu eğer her sıra için ${displaystyle {x_ {n}} alt kümesi X}$ öyle ki

• ${displaystyle sup | Phi (x_ {n}) |$,
• ${displaystyle lim Phi '(x_ {n}) = 0}$ içinde ${displaystyle X ^ {*}}$,
• ${displaystyle Phi (x_ {n}) eq 0}$ hepsi için ${displaystyle nin mathbf {N}}$,

kritik bir nokta var $X} {displaystyle {overline {x}}$ nın-nin ${displaystyle Phi}$ ile

${displaystyle liminf Phi (x_ {n}) leq Phi ({overline {x}}) leq limsup Phi (x_ {n}).}$

Referanslar

• Evans, Lawrence C. (1998). Kısmi Diferansiyel Denklemler. Providence, Rhode Island: Amerikan Matematik Derneği. ISBN  0-8218-0772-2.
• Mawhin, Jean; Willem Michel (2010). "Kritik Nokta Teorisinde Palais-Smale Durumunun Kökeni ve Evrimi". Sabit Nokta Teorisi ve Uygulamaları Dergisi. 7 (2): 265–290. doi:10.1007 / s11784-010-0019-7.