Parsevals teoremi - Parsevals theorem - Wikipedia

İçinde matematik, Parseval teoremi^[1] genellikle sonucu ifade eder Fourier dönüşümü dır-dir üniter; gevşek bir şekilde, bir fonksiyonun karesinin toplamı (veya integrali), dönüşümünün karesinin toplamına (veya integraline) eşittir. 1799 teoreminden kaynaklanmaktadır. dizi tarafından Marc-Antoine Parseval, daha sonra uygulandı Fourier serisi. Olarak da bilinir Rayleigh'in enerji teoremiveya Rayleigh kimliği, sonra John William Strutt Lord Rayleigh.^[2]

"Parseval teoremi" terimi, genellikle hiç Fourier dönüşümü, özellikle fizik, bu mülkün en genel biçimi daha doğru bir şekilde Plancherel teoremi.^[3]

Parseval teoreminin ifadesi

Farz et ki ${ displaystyle A (x)}$ ve ${ displaystyle B (x)}$ karmaşık değerli iki işlevdir ${ displaystyle mathbb {R}}$ dönem ${ displaystyle 2 pi}$ bunlar kare entegre edilebilir (saygıyla Lebesgue ölçümü ) dönem uzunluğundaki aralıklarla, Fourier serisi

{ displaystyle A (x) = toplam _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} e ^ {inx}}

ve

{ displaystyle B (x) = toplam _ {n = - infty} ^ { infty} b_ {n} e ^ {inx}}

sırasıyla. Sonra

{ displaystyle sum _ {n = - infty} ^ { infty} a_ {n} { overline {b_ {n}}} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} A (x) { overline {B (x)}} , mathrm {d} x,}

(Denklem.1)

nerede ${ displaystyle i}$ ... hayali birim ve yatay çubuklar karmaşık çekim.

Daha genel olarak, bir değişmeli yerel olarak kompakt grup G ile Pontryagin ikili G ^Parseval'ın teoremi, Pontryagin-Fourier dönüşümünün Hilbert uzayları arasındaki üniter bir operatör olduğunu söyler. L²(G) ve L²(G ^) (entegrasyon, uygun şekilde ölçeklendirilmiş Haar önlemleri iki grupta.) Ne zaman G ... birim çember T, G ^ tam sayılardır ve yukarıda tartışılan durum budur. Ne zaman G gerçek çizgi ${ displaystyle mathbb {R}}$ , G ^ aynı zamanda ${ displaystyle mathbb {R}}$ ve üniter dönüşüm, Fourier dönüşümü gerçek hatta. Ne zaman G ... döngüsel grup Z_n, yine öz-ikilidir ve Pontryagin-Fourier dönüşümü denir ayrık Fourier dönüşümü uygulamalı bağlamlarda.

Parseval teoremi şu şekilde de ifade edilebilir: Varsayalım ${ displaystyle f (x)}$ üzerinden kare integral alabilir bir fonksiyondur ${ displaystyle [- pi, pi]}$ (yani ${ displaystyle f (x)}$ ve ${ displaystyle f ^ {2} (x)}$ bu aralıkta integrallenebilir), Fourier serisiyle

{ displaystyle f (x) simeq { frac {a_ {0}} {2}} + toplamı _ {n = 1} ^ { infty} (a_ {n} cos (nx) + b_ {n } sin (nx)).}

Sonra^[4]^[5]^[6]

{ displaystyle { frac {1} { pi}} int _ {- pi} ^ { pi} f ^ {2} (x) , mathrm {d} x = { frac {a_ { 0} ^ {2}} {2}} + sum _ {n = 1} ^ { infty} (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2}).}

Fizikte kullanılan gösterim

İçinde fizik ve mühendislik, Parseval teoremi genellikle şu şekilde yazılır:

{ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} | x (t) | ^ {2} , mathrm {d} t = { frac {1} {2 pi}} int _ {- infty} ^ { infty} | X ( omega) | ^ {2} , mathrm {d} omega = int _ {- infty} ^ { infty} | X (2 pi f) | ^ {2} , mathrm {d} f}

nerede ${ displaystyle X ( omega) = { mathcal {F}} _ { omega} {x (t) }}$ temsil etmek sürekli Fourier dönüşümü (normalleştirilmiş, üniter biçimde) ${ displaystyle x (t)}$ , ve ${ displaystyle omega = 2 pi f}$ saniyede radyan cinsinden frekanstır.

Teoremin bu biçiminin yorumu, toplam enerji Bir sinyalin, zaman boyunca örnek başına güç veya frekans boyunca spektral güç toplanmasıyla hesaplanabilir.

İçin ayrık zaman sinyaller teorem şöyle olur:

{ displaystyle toplamı _ {n = - infty} ^ { infty} | x [n] | ^ {2} = { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} | X_ {2 pi} ({ phi}) | ^ {2} mathrm {d} phi}

nerede ${ displaystyle X_ {2 pi}}$ ... ayrık zamanlı Fourier dönüşümü (DTFT) / ${ displaystyle x}$ ve ${ displaystyle phi}$ temsil etmek açısal frekans (içinde radyan örnek başına) ${ displaystyle x}$ .

Alternatif olarak, ayrık Fourier dönüşümü (DFT), ilişki şöyle olur:

{ displaystyle toplamı _ {n = 0} ^ {N-1} | x [n] | ^ {2} = { frac {1} {N}} toplamı _ {k = 0} ^ {N- 1} | X [k] | ^ {2}}

nerede ${ displaystyle X [k]}$ DFT'si ${ displaystyle x [n]}$ , her ikisi de uzunluk ${ displaystyle N}$ .

Ayrıca bakınız

Parseval teoremi, üniter dönüşümleri içeren diğer matematiksel sonuçlarla yakından ilgilidir:

Notlar

^ Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partelles linéaire du second ordre, à coefficients constants ", Académie des Sciences (Paris) 5 Nisan 1799'da sunulmuştur. Bu makale yayınlanan Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, çeşitli bilginler, ve lus dans toplulukları. Bilimler, matematik ve fizik. (Savants étrangers.), cilt. 1, sayfalar 638–648 (1806).
^ Rayleigh, J.W.S. (1889) "Belirli bir sıcaklıkta tam radyasyonun karakteri üzerine," Felsefi Dergisi, cilt. 27, sayfalar 460–469. Çevrimiçi mevcut İşte.
^ Plancherel, Michel (1910) "Katkı à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, cilt. 30, sayfalar 298–335.
^ Arthur E. Danese (1965). Gelişmiş Hesap. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. s. 439.
^ Wilfred Kaplan (1991). Gelişmiş Hesap (4. baskı). Okuma, MA: Addison Wesley. s.519. ISBN 0-201-57888-3.
^ Georgi P. Tolstov (1962). Fourier Serisi. Silverman, Richard tarafından çevrildi. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. s.119.

Referanslar

Parseval, MacTutor Matematik Tarihi arşivi.
George B. Arfken ve Hans J. Weber, Fizikçiler için Matematiksel Yöntemler (Harcourt: San Diego, 2001).
Hubert Kennedy, Sekiz Matematiksel Biyografi (Kalıcı Yayınlar: San Francisco, 2002).
Alan V. Oppenheim ve Ronald W. Schafer, Ayrık Zamanlı Sinyal İşleme 2. Baskı (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) s 60.
William McC. Siebert, Devreler, Sinyaller ve Sistemler (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), s. 410–411.
David W. Kammler, Fourier Analizinde İlk Kurs (Prentice – Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) s. 74.

Dış bağlantılar

Parseval Teoremi Mathworld'de

[1] Parseval des Chênes, Marc-Antoine Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux différences partelles linéaire du second ordre, à coefficients constants ", Académie des Sciences (Paris) 5 Nisan 1799'da sunulmuştur. Bu makale yayınlanan Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, çeşitli bilginler, ve lus dans toplulukları. Bilimler, matematik ve fizik. (Savants étrangers.), cilt. 1, sayfalar 638–648 (1806).

[2] Rayleigh, J.W.S. (1889) "Belirli bir sıcaklıkta tam radyasyonun karakteri üzerine," Felsefi Dergisi, cilt. 27, sayfalar 460–469. Çevrimiçi mevcut İşte.

[3] Plancherel, Michel (1910) "Katkı à l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, cilt. 30, sayfalar 298–335.

[4] Arthur E. Danese (1965). Gelişmiş Hesap. 1. Boston, MA: Allyn and Bacon, Inc. s. 439.

[5] Wilfred Kaplan (1991). Gelişmiş Hesap (4. baskı). Okuma, MA: Addison Wesley. s.519. ISBN 0-201-57888-3.

[6] Georgi P. Tolstov (1962). Fourier Serisi. Silverman, Richard tarafından çevrildi. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. s.119.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]