Permütasyon gösterimi - Permutation representation

İçinde matematik, dönem permütasyon temsili bir (tipik olarak sonlu) grup ${ displaystyle G}$ yakından ilişkili iki kavramdan birine atıfta bulunabilir: a temsil nın-nin ${ displaystyle G}$ bir grup olarak permütasyonlar veya bir grup olarak permütasyon matrisleri. Terim aynı zamanda ikisinin kombinasyonunu da ifade eder.

Soyut permütasyon gösterimi

Bir permütasyon temsili bir grup ${ displaystyle G}$ bir Ayarlamak ${ displaystyle X}$ bir homomorfizm itibaren ${ displaystyle G}$ için simetrik grup nın-nin ${ displaystyle X}$:

${ displaystyle rho kolon G ila operatöradı {Sym} (X).}$

Görüntü ${ displaystyle rho (G) alt küme operatöradı {Sym} (X)}$ bir permütasyon grubu ve unsurları ${ displaystyle G}$ permütasyonları olarak temsil edilir ${ displaystyle X}$.^[1] Bir permütasyon temsili, bir aksiyon nın-nin ${ displaystyle G}$ sette ${ displaystyle X}$:

${ displaystyle G times X ila X.}$

Şu makaleye bakın: grup eylemi daha fazla detay için.

Doğrusal permütasyon gösterimi

Eğer ${ displaystyle G}$ bir permütasyon grubu derece ${ displaystyle n}$, sonra permütasyon temsili nın-nin ${ displaystyle G}$ ... doğrusal gösterim nın-nin ${ displaystyle G}$

${ displaystyle rho iki nokta üst üste G ila operatöradı {GL} _ {n} (K)}$

hangi haritalar $G'de { displaystyle g }$ karşılık gelen permütasyon matrisi (İşte ${ displaystyle K}$ keyfi alan ).^[2] Yani, ${ displaystyle G}$ Üzerinde davranır ${ displaystyle K ^ {n}}$ standart temel vektörleri değiştirerek.

Bu permütasyon temsili kavramı, elbette, keyfi bir soyut grubu temsil etmek için öncekiyle oluşturulabilir. ${ displaystyle G}$ permütasyon matrisleri grubu olarak. Birincisi temsil eder ${ displaystyle G}$ bir permütasyon grubu olarak ve ardından her permütasyonu karşılık gelen matrise eşler. Temsil eden ${ displaystyle G}$ kendi başına hareket eden bir permütasyon grubu olarak tercüme, elde edilir düzenli temsil.

Permütasyon temsilinin karakteri

Bir grup verildiğinde ${ displaystyle G}$ ve sonlu bir küme ${ displaystyle X}$ ile ${ displaystyle G}$ sette hareket etmek ${ displaystyle X}$ sonra karakter ${ displaystyle chi}$ permütasyon temsilinin tam olarak sabit noktalarının sayısıdır ${ displaystyle X}$ eylemi altında ${ displaystyle rho (g)}$ açık ${ displaystyle X}$. Yani ${ displaystyle chi (g) =}$ nokta sayısı ${ displaystyle X}$ tarafından sabitlendi ${ displaystyle rho (g)}$.

Bu, haritayı temsil edersek ${ displaystyle rho (g)}$ unsurları tarafından tanımlanan temeli olan bir matris ile ${ displaystyle X}$ bir permütasyon matrisi alıyoruz ${ displaystyle X}$. Şimdi bu temsilin karakteri, bu permütasyon matrisinin izi olarak tanımlanır. Bir permütasyon matrisinin köşegeni üzerindeki bir eleman, eğer ${ displaystyle X}$ sabittir, aksi takdirde 0. Böylece permütasyon matrisinin izinin, sabit nokta sayısına tam olarak eşit olduğu sonucuna varabiliriz. ${ displaystyle X}$.

Örneğin, eğer ${ displaystyle G = S_ {3}}$ ve ${ displaystyle X = {1,2,3 }}$ permütasyon temsilinin karakteri formülle hesaplanabilir ${ displaystyle chi (g) =}$ nokta sayısı ${ displaystyle X}$ tarafından sabitlendi ${ displaystyle g}$.Yani

${ displaystyle chi ((12)) = operatöradı {tr} ({ başlar {bmatrix} 0 ve 1 ve 0 1 ve 0 ve 0 0 ve 0 ve 1 uç {bmatrix}}) = 1}$ sadece 3 sabit olduğu için

${ displaystyle chi ((123)) = operatöradı {tr} ({ başlar {bmatrix} 0 ve 1 ve 0 0 ve 0 ve 1 1 ve 0 ve 0 uç {bmatrix}}) = 0}$ hiçbir unsuru olarak ${ displaystyle X}$ düzeltildi ve

${ displaystyle chi (1) = operatöradı {tr} ({ başla {bmatrix} 1 ve 0 ve 0 0 ve 1 ve 0 0 ve 0 ve 1 uç {bmatrix}}) = 3}$ her unsuru gibi ${ displaystyle X}$ düzeltildi.

Referanslar

Dış bağlantılar

• https://mathoverflow.net/questions/286393/how-do-i-know-if-an-irreducible-representation-is-a-permutation-representation

Bu soyut cebir ile ilgili makale bir Taslak. Wikipedia'ya şu yolla yardım edebilirsiniz: genişletmek.