Picard teoremi - Picard theorem

İçinde karmaşık analiz, Picard'ın harika teoremi ve Picard'ın küçük teoremi ilişkilidir teoremler hakkında Aralık bir analitik fonksiyon. Adını alırlar Emile Picard.

Teoremler

Exp fonksiyonunun grafiği (¹⁄_z), merkezindeki temel tekillik z = 0. Bir noktanın tonu z temsil etmek tartışma exp (¹⁄_z), parlaklık mutlak değerini temsil eder. Bu çizim, tekilliğe keyfi olarak yakın, sıfır olmayan tüm değerlere ulaşıldığını göstermektedir.

Küçük Picard Teoremi: Eğer bir işlevi f : C → C dır-dir tüm ve sabit olmayan değerler, ardından f(z) ya tüm karmaşık düzlemi ya da düzlem eksi tek bir nokta olduğunu varsayar.

İspat Kroki: Picard'ın orijinal kanıtı, modüler lambda işlevi, genellikle λ ile gösterilir ve modern terminoloji kullanılarak holomorfik evrensel kaplama birim disk tarafından iki kez delinmiş düzlemin. Bu işlev açıkça teoride inşa edilmiştir eliptik fonksiyonlar. Eğer f iki değeri, ardından bileşimini atlar f modüler fonksiyonun tersi ile düzlemi birim diske eşler ve bu da şunu ifade eder: f ile sabit Liouville teoremi.

Bu teorem, sabit olmayan bir fonksiyonun tüm görüntüsünün olması gerektiğini belirten Liouville teoreminin önemli bir güçlendirmesidir. sınırsız. Picard teoreminin birçok farklı kanıtı daha sonra bulundu ve Schottky teoremi bunun nicel bir versiyonu. Değerlerinin olduğu durumda f tek bir nokta eksikse, bu nokta lacunary değeri işlevin.

Büyük Picard Teoremi: Analitik bir fonksiyon ise f var temel tekillik bir noktada w, sonra herhangi biri delinmiş mahalle nın-nin w, f(z), en fazla tek bir istisna ile sonsuz sıklıkta olası tüm karmaşık değerleri alır.

Bu, önemli bir güçlenmedir. Casorati-Weierstrass teoremi, bu da yalnızca aralığının f dır-dir yoğun karmaşık düzlemde. Büyük Resim Teoreminin bir sonucu, herhangi bir bütün, polinom olmayan fonksiyonun, en fazla bir istisna ile, tüm olası karmaşık değerlere sonsuz sıklıkta ulaşmasıdır.

Burada gösterildiği gibi, her iki teoremde de "tek istisna" gereklidir:

• e^z hiçbir zaman 0 olmayan tamamen sabit olmayan bir işlevdir,
• e^1/z 0'da temel bir tekilliğe sahiptir, ancak yine de değer olarak 0'a asla ulaşmaz.

Genelleme ve güncel araştırma

Great Picard teoremi biraz daha genel bir biçimde doğrudur ve aynı zamanda meromorfik fonksiyonlar:

Great Picard'ın Teoremi (meromorfik versiyon): Eğer M bir Riemann yüzeyi, w bir nokta M, P¹(C) = C ∪ {∞}, Riemann küresi ve f : M\{w} → P¹(C) temel tekilliğe sahip holomorf bir fonksiyondur w, sonra herhangi bir açık alt kümesinde M kapsamak w, işlev f(z) her şeye erişir ama en fazla iki noktaları P¹(C) sonsuz sıklıkta.

Misal: Meromorfik fonksiyon f(z) = 1/(1 − e^1/z) temel bir tekilliğe sahiptir z = 0 ve 0'ın herhangi bir komşuluğunda sonsuz sıklıkta ∞ değerini alır; ancak 0 veya 1 değerlerine ulaşmaz.

Bu genelleme ile, Küçük Picard Teoremi takip eder Büyük Picard Teoremi çünkü bütün bir fonksiyon ya bir polinomdur ya da sonsuzda temel bir tekilliğe sahiptir. Küçük teoremde olduğu gibi, ulaşılamayan (en fazla iki) nokta, fonksiyonun lacunary değerleridir.

Aşağıdaki varsayım "Büyük Resim Teoremi" ile ilgilidir:^[1]

Varsayım: İzin Vermek {U₁, ..., U_n} açık bağlı alt kümelerin bir koleksiyonu olabilir C o örtmek delinmiş birim disk D {0}. Varsayalım ki her biri U_j bir enjekte edici holomorfik fonksiyon f_j, öyle ki df_j = df_k her kavşakta U_j ∩ U_k. Sonra diferansiyeller birbirine yapışarak bir meromorfik 1-form açık D.

Diferansiyellerin bir holomorfik 1-forma birbirine yapıştığı açıktır. g dz açık D {0}. Özel durumda kalıntı nın-nin g 0 sıfır olduğunda varsayım "Büyük Picard Teoremi" nden gelir.

Notlar

Referanslar

• Conway, John B. (1978). Bir Karmaşık Değişkenin Fonksiyonları I (2. baskı). Springer. ISBN  0-387-90328-3.
• Shurman, Jerry. "Picard Teoreminin Taslağı" (PDF). Alındı 2010-05-18.