Poincaré – Lindstedt yöntemi - Poincaré–Lindstedt method

İçinde pertürbasyon teorisi, Poincaré – Lindstedt yöntemi veya Lindstedt-Poincaré yöntemi düzgün bir yaklaşım için bir tekniktir periyodik çözümler adi diferansiyel denklemler, düzenli tedirginlik yaklaşımları başarısız olduğunda. Yöntem kaldırır laik terimler —Sınırsız büyüyen koşullar — basit uygulamada ortaya çıkan pertürbasyon teorisi zayıf bir şekilde doğrusal olmayan sonlu salınımlı çözümlerle ilgili sorunlar.^[1]

Yöntemin adı Henri Poincaré,^[2] ve Anders Lindstedt.^[3]

Örnek: Duffing denklemi

Sönümsüz, zorlanmayan Duffing denklemi tarafından verilir

{displaystyle {ddot {x}} + x + varepsilon, x ^ {3} = 0,}

için t > 0, 0 ile <ε ≪ 1.^[4]

Başlangıç koşullarını düşünün

{displaystyle x (0) = 1 ,,}

{displaystyle {nokta {x}} (0) = 0.,}

Bir tedirginlik serisi formun çözümü x(t) = x₀(t) + ε x₁(t) +… Aranır. Serinin ilk iki terimi

{displaystyle x (t) = cos (t) + varepsilon sol [{frac {1} {32}}, sol (cos (3t) -cos (t) ight) - {frac {3} {8}}, t , günah (t) ight] + cdots.,}

Bu yaklaşım, zamana bağlı olmaksızın büyür ve bu, fiziksel sistemle tutarsızdır. denklem modeller.^[5] Bu sınırsız büyümeden sorumlu olan terim, laik terim, dır-dir ${displaystyle tsin (t)}$ . Poincaré – Lindstedt yöntemi, aşağıdaki gibi tüm zamanlar için doğru olan bir yaklaşımın oluşturulmasına izin verir.

Çözümün kendisini bir asimptotik seriler, zamanı ölçeklendirmek için başka bir seri oluşturun t:

{displaystyle au = omega t ,,}

nerede

{displaystyle omega = omega _ {0} + varepsilon omega _ {1} + cdots.,}

Kolaylık sağlamak için al ω₀ = 1 çünkü lider sipariş çözümün açısal frekans 1. O zaman asıl sorun

{displaystyle omega ^ {2}, x '' (au) + x (au) + varepsilon, x ^ {3} (au) = 0,}

aynı başlangıç koşullarıyla. Şimdi formun bir çözümünü arayın x(τ) = x₀(τ) + ε x₁(τ) +…. Sıfırıncı ve birinci dereceden problem için aşağıdaki çözümler ε elde edildi:

{displaystyle {egin {hizalı} x_ {0} & = cos (au) {ext {ve}} x_ {1} & = {frac {1} {32}}, sol (cos (3 au) -cos ( au) ight) + left (omega _ {1} - {frac {3} {8}} ight), au, sin (au) .son {hizalı}}}

Yani seküler terim şu seçimle kaldırılabilir: ω₁ = ³⁄₈. Bu şekilde pertürbasyon analizine devam edilerek daha yüksek doğruluk dereceleri elde edilebilir. Şu an itibariyle, yaklaşım - ilk sıraya kadar düzeltin ε-dır-dir

{displaystyle x (t) yaklaşık cos {Bigl (} sol (1+ {frac {3} {8}}, varepsilon ight), t {Bigr)} + ​​{frac {1} {32}}, varepsilon, sol [ cos {Bigl (} 3left (1+ {frac {3} {8}}, varepsilon, ight), t {Bigr)} - cos {Bigl (} left (1+ {frac {3} {8}}, varepsilon , ight), t {Bigr)} ight].,}

Referanslar ve notlar

^ Drazin, P.G. (1992), Doğrusal olmayan sistemler, Cambridge University Press, ISBN 0-521-40668-4, s. 181–186.
^ Poincaré, H. (1957) [1893], Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Célèste, II, New York: Dover Yay., §123–§128.
^ A. Lindstedt, Abh. K. Akad. Wiss. St.Petersburg 31, No. 4 (1882)
^ J. David Logan. Uygulamalı matematik, İkinci Baskı, John Wiley & Sons, 1997. ISBN 0-471-16513-1.
^ Duffing denkleminin değişmez bir enerjisi vardır ${displaystyle scriptstyle E = {frac {1} {2}}, {dot {x}} ^ {2} + {frac {1} {2}}, x ^ {2} + {frac {1} {4} }, varepsilon, x ^ {4}}$ = sabit, Duffing denklemini şununla çarparak görülebileceği gibi ${displaystyle scriptstyle {dot {x}}}$ ve zamanla bütünleşmekt. Ele alınan örnek için, başlangıç koşullarından şu şekilde bulunur: E = ½ + ¼ ε.

[1] Drazin, P.G. (1992), Doğrusal olmayan sistemler, Cambridge University Press, ISBN 0-521-40668-4, s. 181–186.

[2] Poincaré, H. (1957) [1893], Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Célèste, II, New York: Dover Yay., §123–§128.

[3] A. Lindstedt, Abh. K. Akad. Wiss. St.Petersburg 31, No. 4 (1882)

[logan-4] J. David Logan. Uygulamalı matematik, İkinci Baskı, John Wiley & Sons, 1997. ISBN 0-471-16513-1.

[5] Duffing denkleminin değişmez bir enerjisi vardır ${displaystyle scriptstyle E = {frac {1} {2}}, {dot {x}} ^ {2} + {frac {1} {2}}, x ^ {2} + {frac {1} {4} }, varepsilon, x ^ {4}}$ = sabit, Duffing denklemini şununla çarparak görülebileceği gibi ${displaystyle scriptstyle {dot {x}}}$ ve zamanla bütünleşmekt. Ele alınan örnek için, başlangıç koşullarından şu şekilde bulunur: E = ½ + ¼ ε.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]