Poisson rastgele ölçüsü - Poisson random measure

İzin Vermek ${displaystyle (E, {mathcal {A}}, mu)}$ biraz ol alanı ölçmek ile ${displaystyle sigma}$-sonlu ölçü ${displaystyle mu}$. Poisson rastgele ölçüsü yoğunluklu ölçü ${displaystyle mu}$ bir aile rastgele değişkenler ${displaystyle {N_ {A}} _ {Ain {mathcal {A}}}}$ bazılarında tanımlanmış olasılık uzayı ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, mathrm {P})}$ öyle ki

ben) ${displaystyle forall Ain {mathcal {A}}, quad N_ {A}}$ bir Poisson rastgele değişkeni oranla ${displaystyle mu (A)}$.

ii) Eğer setlerse ${displaystyle A_ {1}, A_ {2}, ldots, A_ {n} in {mathcal {A}}}$ kesişmeyin sonra karşılık gelen rastgele değişkenler i) karşılıklı olarak bağımsız.

iii) ${displaystyle forall omega in Omega; N_ {ullet} (omega)}$ bir ölçüdür ${displaystyle (E, {mathcal {A}})}$

Varoluş

Eğer ${displaystyle mu equiv 0}$ sonra ${displaystyle Nequiv 0}$ i) –iii) koşullarını karşılar. Aksi takdirde, sonlu ölçü ${displaystyle mu}$, verilen ${displaystyle Z}$, bir Poisson rastgele değişkeni oranla ${displaystyle mu (E)}$, ve ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots}$karşılıklı olarak bağımsız rastgele değişkenler ile dağıtım ${displaystyle {frac {mu} {mu (E)}}}$, tanımlamak ${displaystyle N_ {cdot} (omega) = toplam sınırları _ {i = 1} ^ {Z (omega)} delta _ {X_ {i} (omega)} (cdot)}$ nerede ${displaystyle delta _ {c} (A)}$ bir dejenere önlem konumlanmış ${displaystyle c}$. Sonra ${displaystyle N}$ Poisson rastgele bir ölçü olacaktır. Durumda ${displaystyle mu}$ sonlu değil ölçü ${displaystyle N}$ yukarıda inşa edilen önlemlerden elde edilebilir. ${displaystyle E}$ nerede ${displaystyle mu}$ sonludur.

Başvurular

Bu tür rastgele ölçü genellikle atlamaları açıklarken kullanılır Stokastik süreçler özellikle Lévy – Itō ayrışma of Lévy süreçleri.

Genellemeler

Poisson rasgele ölçüsü, Poisson tipi rastgele ölçümler, PT ailesinin üyelerinin bir altuzay kısıtlaması altında değişmez olduğu durumlarda.

Referanslar

• Sato, K. (2010). Lévy Süreçleri ve Sonsuz Bölünebilir Dağılımlar. Cambridge University Press. ISBN  0-521-55302-4.