Polinom zaman sayma azaltma - Polynomial-time counting reduction

İçinde hesaplama karmaşıklığı teorisi nın-nin sayma problemleri, bir polinom zaman sayma azaltma bir tür indirgeme (bir sorundan diğerine bir dönüşüm) kavramını tanımlamak için kullanılır tamlık karmaşıklık sınıfı için ♯P.^[1] Bu indirimler de denilebilir polinom çok bir sayım azaltmaları veya zayıf cimri indirimler; benzerler birden çok indirim için karar problemleri ve genelleştiriyorlar cimri indirimler.^[2]

Tanım

Polinom zaman sayma azaltma genellikle bilinen zor bir problemin örneklerini dönüştürmek için kullanılır. ${ displaystyle X}$ başka bir problemin örneklerine ${ displaystyle Y}$ bunun zor olduğu kanıtlanmalıdır. İki işlevden oluşur ${ displaystyle f}$ ve ${ displaystyle g}$her ikisi de hesaplanabilir olmalıdır polinom zamanı. İşlev ${ displaystyle f}$ için girdileri dönüştürür ${ displaystyle X}$ girişlerine ${ displaystyle Y}$ve işlev ${ displaystyle g}$ için çıktıları dönüştürür ${ displaystyle Y}$ için çıktılara ${ displaystyle X}$.^[1][2]

Bu iki işlev çıktının doğruluğunu korumalıdır. Yani, birinin bir girdiyi dönüştürdüğünü varsayalım ${ displaystyle x}$ problem için ${ displaystyle X}$ bir girişe ${ displaystyle y = f (x)}$ problem için ${ displaystyle Y}$ve sonra biri çözer ${ displaystyle y}$ çıktı üretmek ${ displaystyle z}$. Dönüştürülen çıktının ${ displaystyle g (z)}$ orijinal giriş için doğru çıktı ${ displaystyle x}$. Yani, girdi-çıktı ilişkileri ${ displaystyle X}$ ve ${ displaystyle Y}$ fonksiyonlar olarak ifade edilir, sonra onların işlev bileşimi uymak zorunda Kimlik ${ displaystyle X = g circ Y circ f}$. Alternatif olarak, terimleriyle ifade edilir algoritmalar, çözmek için olası bir algoritma ${ displaystyle X}$ başvurmak olurdu ${ displaystyle f}$ sorunu bir örneğine dönüştürmek ${ displaystyle Y}$, bu örneği çözün ve ardından uygulayın ${ displaystyle g}$ çıktısını dönüştürmek ${ displaystyle Y}$ için doğru cevaba ${ displaystyle X}$.^[1][2]

Diğer indirim türleriyle ilişki

Özel bir durum olarak cimri indirgeme polinom zamanlı bir dönüşümdür ${ displaystyle f}$ çıktıların tam değerlerini koruyan sorunların girdilerinde. Böyle bir azalma, bir polinom zaman sayımının azaltılması olarak görülebilir. kimlik işlevi fonksiyon olarak ${ displaystyle g}$.^[1][2]

Karmaşıklık teorisindeki uygulamalar

İşlevsel bir problem (girdileri ve istenen çıktıları ile belirtilir) karmaşıklık sınıfına aittir. ♯P eğer varsa deterministik olmayan Turing makinesi bu polinom zamanda çalışır, bunun için problemin çıktısı Turing makinesinin kabul eden yollarının sayısıdır. Sezgisel olarak, bu tür sorunlar karmaşıklık sınıfındaki sorunlara verilen çözümlerin sayısını sayar. NP. İşlevsel bir problem ${ displaystyle Y}$ Her sorundan bir polinom zaman sayımı azalması varsa, ♯P-zor olduğu söylenir ${ displaystyle X}$ ♯P'de ${ displaystyle Y}$. Ek olarak, ${ displaystyle Y}$ kendisi ♯P'ye aittir, o zaman ${ displaystyle Y}$ olduğu söyleniyor ♯P-tamamlandı.^[1][2] (Bazen, Valiant'ın orijinal makalesinde olduğu gibi 0–1 matrislerinin kalıcılığının tamlığını kanıtlamak daha zayıf bir indirgeme kavramı, Turing azaltma, bunun yerine ♯P-tamlığını tanımlamak için kullanılır.^[3])

Bir sorunu kanıtlamanın olağan yöntemi ${ displaystyle Y}$ ♯P'de ♯P-tamamlanmış olmak, bilinen tek bir ♯P-tamamlanmış problemle başlamaktır ${ displaystyle X}$ ve bir polinom zaman sayımında azalma bul ${ displaystyle X}$ -e ${ displaystyle Y}$. Bu azalma mevcutsa, ♯P'deki diğer herhangi bir problemden ${ displaystyle Y}$, tarafından edinilmiş beste yapmak diğer sorundan bir azalma ${ displaystyle X}$ indirgeme ile ${ displaystyle X}$ -e ${ displaystyle Y}$.^[1][2]

Referanslar