Pozitif harmonik fonksiyon - Positive harmonic function

İçinde matematik, bir pozitif harmonik fonksiyon üzerinde birim disk içinde Karışık sayılar olarak nitelendirilir Poisson integrali sonlu pozitif ölçü daire üzerinde. Bu sonuç, Herglotz-Riesz temsil teoremitarafından bağımsız olarak kanıtlandı Gustav Herglotz ve Frigyes Riesz Herhangi bir ilgili formül ve karakterizasyon vermek için kullanılabilir. holomorfik fonksiyon pozitif gerçek kısmı olan birim diskte. Bu tür işlevler, 1907'de, Constantin Carathéodory açısından pozitif kesinlik onların Taylor katsayıları.

Harmonik fonksiyonlar için Herglotz-Riesz gösterim teoremi

Olumlu bir işlev f ünite diskinde f(0) = 1 harmoniktir, ancak ve ancak bir olasılık ölçüsü μ birim çember üzerinde öyle ki

${ displaystyle f (re ^ {i theta}) = int _ {0} ^ {2 pi} {1-r ^ {2} 1-2r üzerinde cos ( theta - varphi) + r ^ {2}} , d mu ( varphi).}$

Formül, pozitif bir harmonik fonksiyonu açıkça tanımlar. f(0) = 1.

Tersine eğer f pozitif ve uyumludur ve r_n 1'e yükselir, tanımla

${ displaystyle f_ {n} (z) = f (r_ {n} z). ,}$

Sonra

${ displaystyle f_ {n} (re ^ {i theta}) = {1 2'den fazla pi} int _ {0} ^ {2 pi} {1-r ^ {2} 1-2r üzerinde cos ( theta - varphi) + r ^ {2}} , f_ {n} ( varphi) , d phi = int _ {0} ^ {2 pi} {1-r ^ { 2} 1-2r üzeri cos ( theta - varphi) + r ^ {2}} d mu _ {n} ( varphi)}$

nerede

${ displaystyle d mu _ {n} ( varphi) = {1 2'den fazla pi} f (r_ {n} e ^ {i varphi}) , d varphi}$

bir olasılık ölçüsüdür.

Bir kompaktlık argümanıyla (veya bu durumda eşdeğer olarakHelly'nin seçim teoremi için Stieltjes integralleri ), bu olasılık ölçülerinin bir alt dizisinin zayıf bir limiti vardır ve bu aynı zamanda bir olasılık ölçüsü μ'dur.

Dan beri r_n 1'e yükselir, böylece f_n(z) eğilimi f(z), Herglotz formülü aşağıdaki gibidir.

Holomorfik fonksiyonlar için Herglotz-Riesz gösterim teoremi

Holomorfik bir işlev f ünite diskinde f(0) = 1 pozitif gerçek kısma sahiptir ancak ve ancak birim çember üzerinde bir olasılık ölçüsü μ varsa öyle ki

${ displaystyle f (z) = int _ {0} ^ {2 pi} {1 + e ^ {- i theta} z 1-e üzerinde ^ {- i theta} z} , d mu ( theta).}$

Bu, önceki teoremi takip eder çünkü:

• Poisson çekirdeği, yukarıdaki integralin gerçek kısmıdır
• holomorfik bir fonksiyonun gerçek kısmı harmoniktir ve bir skaler ilaveye kadar holomorfik fonksiyonu belirler
• Yukarıdaki formül, gerçek kısmı önceki teorem tarafından verilen holomorfik bir işlevi tanımlar

Carathéodory'nin holomorf fonksiyonlar için pozitiflik kriteri

İzin Vermek

${ displaystyle f (z) = 1 + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} + cdots}$

birim diskte holomorfik bir işlev olabilir. Sonra f(z) diskif üzerinde pozitif gerçek kısmı vardır ve yalnızca

${ displaystyle sum _ {m} toplam _ {n} a_ {m-n} lambda _ {m} { overline { lambda _ {n}}} geq 0}$

herhangi bir karmaşık sayı için λ₀, λ₁, ..., λ_N, nerede

${ displaystyle a_ {0} = 2, , , , a _ {- m} = { overline {a_ {m}}}}$

için m > 0.

Aslında Herglotz temsilinden n > 0

${ displaystyle a_ {n} = 2 int _ {0} ^ {2 pi} e ^ {- içinde theta} , d mu ( theta).}$

Bu nedenle

${ displaystyle sum _ {m} toplam _ {n} a_ {mn} lambda _ {m} { overline { lambda _ {n}}} = int _ {0} ^ {2 pi} left | sum _ {n} lambda _ {n} e ^ {- içinde theta} sağ | ^ {2} , d mu ( theta) geq 0.}$

Tersine, λ ayarı_n = zⁿ,

${ displaystyle sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} a_ {mn} lambda _ {m} { overline { lambda _ {n}} } = 2 (1- | z | ^ {2}) , Re , f (z).}$

Ayrıca bakınız

• Bochner teoremi

Referanslar

• Carathéodory, C. (1907), "Über den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen" (PDF), Matematik. Ann., 64: 95–115, doi:10.1007 / bf01449883
• Duren, P.L. (1983), Tek değerli fonksiyonlar, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90795-5
• Herglotz, G. (1911), "Über Potenzreihen mit positivem, reellen Teil im Einheitskreis", Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig, 63: 501–511
• Pommerenke, C. (1975), Tek değerli fonksiyonlar, ikinci dereceden diferansiyeller üzerine Gerd Jensen tarafından yazılmıştır., Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15, Vandenhoeck ve Ruprecht
• Riesz, F. (1911), "Sur Certains systèmes singuliers d'équations intégrale", Ann. Sci. Éc. Norm. Süper., 28: 33–62, doi:10.24033 / asens.633